1、空間向量的數量積運算空間向量的數量積運算教學過程一、幾個概念一、幾個概念1 1 兩個向量的夾角的定義兩個向量的夾角的定義abbaba,0被唯一確定了，并且量的夾角就在這個規定下，兩個向范圍：bababa互相垂直，并記作：與則稱如果,2,babaAOBbOBaOAOba,.,記作：的夾角，與叫做向量則角作，在空間任取一點量如圖，已知兩個非零向O OA AB Baabb2 2兩個向量的數量積兩個向量的數量積留意：留意：兩個向量的數量積是數量，而不是向量兩個向量的數量積是數量，而不是向量.零向量與恣意向量的數量積等于零。零向量與恣意向量的數量積等于零。babababababababaaaOAaOA,

2、cos,cos,即記作：的數量積，叫做向量，則已知空間兩個向量記作：的長度或模的長度叫做向量則有向線段設3 3射影射影eaeaABBAelABBABlBAlAllelaAB,cos,111111射影。方向上的正射影，簡稱或在上的在軸叫做向量，則上的射影在作點上的射影在點同方向的單位向量。作上與是，和軸已知向量BAleA1B1留意：是軸留意：是軸l l上的正射影上的正射影A1B1A1B1是一個可正可負的實數，是一個可正可負的實數，它的符號代表向量與它的符號代表向量與l l的方向的相對關系，大小代表的方向的相對關系，大小代表在在l l上射影的長度。上射影的長度。ABAB4)4)空間向量的數量積性質

3、空間向量的數量積性質 aaababaeaaea2)30)2,cos) 1留意：留意：性質性質2 2是證明兩向量垂直的根據；是證明兩向量垂直的根據；性質性質3 3是求向量的長度模的根據；是求向量的長度模的根據；對于非零向量對于非零向量 ，有：，有：,a b 5)5)空間向量的數量積滿足的運算律空間向量的數量積滿足的運算律 留意：留意：分配律）交換律）()(3()2)()() 1cabacbaabbababa數量積不滿足結合律數量積不滿足結合律)()cbacba（二、二、 課堂練習課堂練習._,2,22,22. 1所夾的角為則已知bababa)()4)()()3)()()()2)(0, 0, 01

4、. 222222qpqpqpqpqpcbacbababa則若）判斷真假：ADFCBEACEFDCEFBDEFBAEFADABFEABCD)4()3()2(11. 3）（計算：的中點。、分別是、，點等于的每條邊和對角線長都如圖：已知空間四邊形三、典型例題三、典型例題例例1：知：知m,n是平面是平面內的兩條相交直線，直線內的兩條相交直線，直線l與與的交的交點為點為B，且，且lm，ln，求證：，求證：l分析：由定義可知，只需證分析：由定義可知，只需證l l與平面內與平面內恣意直線恣意直線g g垂直。垂直。n nm mgg gmnll l要證要證l l與與g g垂直，只需證垂直，只需證lglg0 0而

5、而m m，n n不平行，由共面向量定理知，不平行，由共面向量定理知，存在獨一的有序實數對存在獨一的有序實數對(x,y)(x,y)使得使得 g=xm+yn g=xm+yn 要證要證lglg0,0,只需只需l g= l g= xlm+yln=0 xlm+yln=0而而lmlm0 0 ，lnln0 0故故 lg lg0 0三、典型例題三、典型例題例例1：知：知m,n是平面是平面內的兩條相交直線，直線內的兩條相交直線，直線l與與的交的交點為點為B，且，且lm，ln，求證：，求證：ln nm mgg gmnll l證明：在證明：在內作不與內作不與m m、n n重合的任一重合的任一條直線條直線g,g,在在

6、l l、m m、n n、g g上取非零向上取非零向量量l l、m m、n n、g g，因，因m m與與n n相交，得向量相交，得向量m m、n n不平行，由共面向量定理不平行，由共面向量定理可知，存在獨一的有序實數對可知，存在獨一的有序實數對x x，y y，使使 g=xm+yn, g=xm+yn, lg=xlm+yln lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lm=0,ln=0 lg=0 lg=0 lg lg lg lg 這就證明了直線這就證明了直線l l垂直于平面垂直于平面內的內的任一條直線，所以任一條直線，所以ll例例2：知：在空間四邊形：知：在空間四邊形OABC中，中，OABC，OBA

7、C，求證：，求證：OCABACOBCBOA，證明：由已知A AB BC CO O0)(0)(0,0OAOCOBOBOCOAACOBBCOA所以OAOBOCOBOBOAOCOA所以00)(0OCBAOCOBOAOCOBOCOA所以ABOC 所以穩定練習：利用向量知識證明三垂線定理aA AO OP P.,0,0,0,PAaPAaaOAaPOaPAOAyPOxPAyxOAPOOAPOaOAaOAaPOaPOPOaa即使有序實數對定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量證明：在PAaOAaaPAOAPAPO求證：且內的射影，在是的垂線，斜線，分別是平面已知：,例例3 3 如圖，

8、知線段在平面如圖，知線段在平面 內，線段內，線段，線段，線段 ，線段，線段， ，如，如果，求、之間的間隔。果，求、之間的間隔。AC BDAB DD 30DBD ,ABaACBDb CDAB 解：由，可知解：由，可知. .由由 知知 . . AC ACAB 30DBD ,120CABD 22222222222|()|2222cos120CDCD CDCAABBDCAABBDCA ABCA BDAB BDbabbab 22CDabbab CABDD例例4 4知在平行六面體中，知在平行六面體中，, , ,求對角線的長。求對角線的長。ABCDA B C D 4AB 3 ,5 ,90 ,60ADAABA

9、DBAADAA AC DCBDABCA解：解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA |85AC 1.1.知線段知線段 、在平面、在平面 內，線段內，線段，假設，求、之間的間隔，假設，求、之間的間隔. .ABBD BDAB AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解：解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabc2.2.知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于 ，點分別是邊的中點。，點分別是邊的中點。求證：。求證：。ABCD

10、aMN、ABCD、,MNABMNCD NMABDC證明：由于證明：由于MNMAADDN 所以所以222()1110244AB MNAB MAADDNAB MAAB ADAB DNaaa MNAB 同理，同理，MNCD 3.3.知空間四邊形知空間四邊形，求證：。，求證：。,OABCOBOCAOBAOC OABC OACB證明：證明：()| |cos| |cos| |cos| |cos0OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOBOAOB OABC4.4.如圖，知正方體，如圖，知正方體， 和和 相交于相交于點，連結點，連結 ，求證：。，求證：。ABCDA B C D CD DC OAOAOCD ODCBADABC知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于, ,點分別是的中點，求以下向量的點分別是的中點，求以下向量的數量積：數量積：ABCDaEFG、 、ABADDC、(1) (2