1、第四章微分法:)?()( xF積分法:)()?(xf互逆運算不定積分 二、二、 根本積分表根本積分表 三、不定積分的性質三、不定積分的性質 一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)不定積分的概念與性質 第四章 一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念引例引例: 一個質量為一個質量為 m 的質點的質點,的作tAFsin下沿直線運動 ,).(tv因此問題轉化為: 知,sin)(tmAtv求?)(tv在變力試求質點的運動速度根據(jù)牛頓第二定律, 加速度mFta)(tmAsin定義定義 1 . 假設在區(qū)間假設在區(qū)間 I 上定義的兩個函數(shù)上定義的兩個函數(shù) F (x) 及及

2、 f (x)滿足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在區(qū)間 I 上的一個原函數(shù) .那么稱 F (x) 為f (x) 如引例中, tmAsin的原函數(shù)有 ,cos tmA, 3cos tmA問題問題: 1. 在什么條件下, 一個函數(shù)的原函數(shù)存在 ?2. 假設原函數(shù)存在, 它如何表示 ? 定理定理1. ,)(上連續(xù)在區(qū)間若函數(shù)Ixf上在則Ixf)( 存在原函數(shù) .(下章證明下章證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上延續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù),)()(的一個原函數(shù)是若xfxF定理定理 2. 的所有則)(xf原函數(shù)都在函數(shù)族CxF)( C 為恣意常數(shù) ) 內 .證證: 1)

3、的原函數(shù)是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函數(shù)是設)()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0為某個常數(shù)C它屬于函數(shù)族.)(CxF即定義定義 2. )(xf在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為Ixf在)(上的不定積分,d)(xxf其中 積分號;)(xf 被積函數(shù);xxfd)( 被積表達式.x 積分變量;(P185)假設, )()(xfxF那么CxFxxf)(d)( C 為恣意常數(shù) )C 稱為積分常數(shù),不可丟 !例如,xxdeCxexx d2Cx 331xxdsinCx cos記作不定積分的幾何意

4、義不定積分的幾何意義:)(xf的原函數(shù)的圖形稱為)(xfxxfd)(的圖形的一切積分曲線組成)(xf的平行曲線族.yxO0 x的積分曲線 . 例例1. 設曲線經(jīng)過點設曲線經(jīng)過點(1, 2), 且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍, 求此曲線的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲線過點 (1, 2) , 故有C2121 C因此所求曲線為12 xyyx)2 , 1 (O例例2. 質點在距地面質點在距地面0 x處以初速0v力, 求它的運動規(guī)律. 解解: 取質點運動軌跡為坐標軸取質點運動軌跡為坐標軸, 原點在地面原點在地面, 指向朝上指向朝上 ,)0(0 xx )(txx 質點拋出時辰

5、為,0t此時質點位置為初速為,0 x設時辰 t 質點所在位置為, )(txx 那么)(ddtvtx(運動速度)tvtxdddd22g(加速度).0v垂直上拋 , 不計阻 先由此求)(tv 再由此求)(txxO先求. )(tv,ddgtv由知tgtvd)()(1Ctg ,)0(0vv由,01vC 得0)(vtgtv再求. )(txtvtgtxd)()(020221Ctvtg,)0(0 xx由,02xC 得于是所求運動規(guī)律為00221)(xtvtgtx由)(ddtvtx,0vtg 知故)0(0 xx )(txx xOxdd) 1 (xxfd)()(xf二、二、 根本積分表根本積分表 (P188)從

6、不定積分定義可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思想利用逆向思想xkd) 1 ( k 為常數(shù))Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln時0 x) 1( )ln()ln(xxx121d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tan或Cx cotarc21d)5(xxCx arcsin或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cotxxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxxde)12(C

7、xexaxd)13(Caaxln例例3. 求求.d3xxx解解: 原式原式 =xxd34134Cx313例例4. 求求.dcossin22xxx解解: 原式原式=xxdsin21Cx cos21134xC三、不定積分的性質三、不定積分的性質xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2推論推論: 假設假設, )()(1xfkxfinii那么xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k例例5. 求求.d)5(e2xxx解解: 原式原式 xxxd 25e)2(e)2ln(e)2(x2ln25xCxx2ln512lne2C例例6. 求求.dtan2xx解解:

8、原式原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例7. 求求.d)1 (122xxxxx解解: 原式原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln例例8. 求求.d124xxx解解: 原式原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313內容小結內容小結1. 不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質 根本積分表 (見P188)2. 直接積分法:利用恒等變形, 及 根本積分公式進展積分 .常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式 , 代數(shù)公式 ,積分性質

9、積分性質思索與練習思索與練習1. 證明證明 xxxx1arctan2)21arccos(),12arcsin(和.12的原函數(shù)都是xx2. 假假設設則的原函數(shù)是,)(exfx d)(ln2xxfx(P193題7)提示提示:xe)(e)(xxfxlne)(lnxfx1Cx 2213. 假假設設)(xf是xe的原函數(shù) , 那么xxxfd)(ln提示提示: 知知xxfe)(0e)(Cxfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln104. 假假設設)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導函數(shù)為,sin x那么)(xf的一個原函數(shù)是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 知知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由題意,cos)(1Cxxf其原函數(shù)為xxfd)(21sinCxCx5. 求以下積分求以下積分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x6. 求不定積分求不定積分解：解：.d1e1e3xxxxxxd1e1e3xxxd1e) 1(e) 1e(e2xxxxxd) 1ee(2Cxxxee2127. 知知22