1、蘇教高中數學選修蘇教高中數學選修2-22-21.1(1)導數的概念導數的概念 平均變化率平均變化率* *世界充滿著變化世界充滿著變化,有些變化幾乎不為人們察覺有些變化幾乎不為人們察覺,而有而有些變化卻讓人們發出感嘆與驚呼！些變化卻讓人們發出感嘆與驚呼！微積分主要與四類問題的處理相關微積分主要與四類問題的處理相關:v一、已知物體運動的路程作為時間的函數一、已知物體運動的路程作為時間的函數,求物求物 體在任意時刻的速度與加速度等體在任意時刻的速度與加速度等;v二、求曲線的切線二、求曲線的切線;v三、求已知函數的最大值與最小值三、求已知函數的最大值與最小值;v四、求長度、面積、體積和重心等。四、求長

2、度、面積、體積和重心等。v 導數是微積分的核心概念之一它是研究函數導數是微積分的核心概念之一它是研究函數增減、變化快慢、最大增減、變化快慢、最大(小小)值等問題最一般、值等問題最一般、最有效的工具。最有效的工具。問題情境問題情境1法國法國 網站的文章稱劉翔以不可思議的速度統治了賽場。這網站的文章稱劉翔以不可思議的速度統治了賽場。這名名2121歲的中國人跑的幾乎比炮彈還快歲的中國人跑的幾乎比炮彈還快, ,賽道上顯示賽道上顯示12.9412.94秒的成績秒的成績已經打破了已經打破了12.9512.95奧運會記錄奧運會記錄, ,但經驗證他是以但經驗證他是以12.9112.91秒平了世界紀秒平了世界紀

3、錄，他的平均速度達到錄，他的平均速度達到8.52m/s8.52m/s。時時 間間3月月18日日4月月18日日4月月20日日日最高氣溫日最高氣溫3.518.633.4現有南京市某年現有南京市某年3月和月和4月某天日最高氣溫記載月某天日最高氣溫記載:問題情境問題情境2察看：察看：3月月18日到日到4月月18日與日與4月月18日到日到4月月20日的溫度日的溫度變化，用曲線圖表示為：變化，用曲線圖表示為： t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210（注（注: 3月月18日為第一天）日為第一天） t(d)203034210203

4、0A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210問題問題1 1：“氣溫陡增是一句生活用語，它的數學意義氣溫陡增是一句生活用語，它的數學意義是什么？（形與數兩方面）是什么？（形與數兩方面）問題問題2 2：如何量化數學化曲線上升的陡峭程度？：如何量化數學化曲線上升的陡峭程度？問題情境問題情境2問題情境問題情境3某人第某人第1 1秒到第秒到第3434秒的位移時間圖象如圖所示秒的位移時間圖象如圖所示: : t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210問題問題1:AB1:AB段與段與BCBC

5、段哪一段位移變化的多段哪一段位移變化的多? ?問題問題2:AB2:AB段與段與BCBC段哪一段位移變化的快段哪一段位移變化的快? ?問題問題3:3:在圖形上用什么方法可直接看出哪一段位移變化的快在圖形上用什么方法可直接看出哪一段位移變化的快? ? t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210容易看出容易看出BCBC之間的曲線比之間的曲線比ABAB之間的曲線更加峻峭之間的曲線更加峻峭”, ,陡陡峭的程度反映了位移變化的快與慢峭的程度反映了位移變化的快與慢. .問題問題4:4:如何量化曲線的陡峭程度呢如何量化曲線的陡峭程度

6、呢? ?問題情境問題情境3 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)2101.1.曲線上曲線上BCBC之間一段幾乎成了直線之間一段幾乎成了直線, ,由此聯想到如何量化直線的傾斜程度由此聯想到如何量化直線的傾斜程度. .2.2.由由B B點上升到點上升到C C點，必須考察點，必須考察yCyCyByB的大小，但僅僅注意的大小，但僅僅注意到到yCyCyB yB 的大小能否量化的大小能否量化BCBC段陡峭程度段陡峭程度? ?為什么？為什么？B在考察在考察yCyCyB yB 的同時必須考察的同時必須考察xCxCxB xB ，函數的

7、本質在于，函數的本質在于一個量的改變本身就隱含著這種改變必定相對于另一個量一個量的改變本身就隱含著這種改變必定相對于另一個量的改變而言。的改變而言。問題情境問題情境3 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)2103.我們用比值我們用比值 近似地量化近似地量化B、C這一段曲線的陡峭程度，并稱該比這一段曲線的陡峭程度，并稱該比值為位移在區間【值為位移在區間【32，34】上的平均變化率】上的平均變化率.C CB BC CB By y- - y yx x- - x x4.分別計算位移在區間【分別計算位移在區間【1，32】 【3

8、2，34】的平均變化率】的平均變化率.問題情境問題情境3 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210問題問題5:5:位移的平均變化率能否反映每一時刻位移的變化率位移的平均變化率能否反映每一時刻位移的變化率? ?位移的平均變化率只能表示這一段時間里位移大致的變化情位移的平均變化率只能表示這一段時間里位移大致的變化情況況, ,但不能精確的表示每一時刻的位移變化情況但不能精確的表示每一時刻的位移變化情況. .問題情境問題情境3問題情境問題情境32030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (3

9、4, 33.4)v (m/s) t (s)210 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210問題問題6:6:將位移曲線改成速度將位移曲線改成速度曲線曲線, ,你又能得到什么結論你又能得到什么結論? ?2121()()f xf xxx一般地一般地,函數函數f(x)在區間在區間x1，x2上的平均變化率為上的平均變化率為xy (1)曲線陡峭程度是平均變化率的曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化視覺化”(2)平均變化率是曲線陡峭程度的平均變化率是曲線陡峭程度的“數量化數量化”無形不直觀無形不直觀無數不入微無數不入微(3)平均變

10、化率量化一段曲線的陡峭程度是平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的粗糙不精確的”.數學建構數學建構注注(4)平均變化率公式記憶類似直線上兩點間的斜率公式平均變化率公式記憶類似直線上兩點間的斜率公式.例例1: (1)某嬰兒從出生到第某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示，試分個月的體重變化如圖所示，試分別計算從出生到第別計算從出生到第3個月及第個月及第6個月到第個月到第12個月該嬰兒體重的個月該嬰兒體重的平均變化率。平均變化率。T(月月)W(kg)639123.56.58.611問題問題: :這兩個平均變化率的實際意義是什么這兩個平均變化率的實際意義是什么? ?數學應用數學應用點撥

11、點撥: :求平均變化率關鍵有兩點求平均變化率關鍵有兩點 自變量的變化量自變量的變化量x=x2-x1x=x2-x1； 函數值的變化量函數值的變化量y=f(x2)-f(x1);y=f(x2)-f(x1);例例1: (2)水經過虹吸管從容器甲中流向容器乙，水經過虹吸管從容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中后容器甲中水的體積水的體積 （單位：（單位： ），計算第一個），計算第一個10s內內V的平均變化率。的平均變化率。ttV1 . 025)(3cm甲乙問題問題: (1)負號表示什么意思負號表示什么意思?(2)平均變化率可正可負平均變化率可正可負,那能否為那能否為0?請舉例說明請舉例說明. (3)0.2

12、5cm3/s能否表示能否表示10秒內每一時刻容器甲中水的秒內每一時刻容器甲中水的 體積體積V減少的速度減少的速度?0.25cm3/s數學應用數學應用練習練習1:在經營某種商品中在經營某種商品中,甲乙兩人投入相同的資金甲乙兩人投入相同的資金,甲掙到甲掙到10萬元萬元,乙掙到乙掙到2萬元萬元,能否比較和評價甲能否比較和評價甲,乙兩乙兩人的經營成果人的經營成果?(注注:甲用甲用5年時間掙到年時間掙到10萬元萬元,乙用乙用5個月掙到個月掙到2萬元萬元)解解:甲獲利的平均變化率為甲獲利的平均變化率為 (萬元萬元/月月)10015 1206乙獲利的平均變化率為乙獲利的平均變化率為 (萬元萬元/月月) 20

13、25051265由由 ，所以乙的經營成果好，所以乙的經營成果好.數學應用數學應用例例2:(1)已知函數已知函數f(x)=2x+1,g(x)=2x, 分別計算在區間分別計算在區間 -3，-1，0，5上函數上函數f(x)及及g(x)的平均變化率的平均變化率.問題問題1:1:一次函數一次函數f(x)=kx+bf(x)=kx+b在區間在區間mm，nn上的平均變化率有上的平均變化率有什么特點什么特點? ?一次函數在任意區間上的平均變化率都是斜率一次函數在任意區間上的平均變化率都是斜率. .問題問題2:2:其它函數在區間其它函數在區間mm，nn上的平均變化率有什么幾何意義上的平均變化率有什么幾何意義? ?

14、數學應用數學應用01mnPQ 平均變化率的幾何意義平均變化率的幾何意義: :函數函數f(x)f(x)曲線上兩點曲線上兩點P,QP,Q的連線的連線 （割線的斜率即為函數（割線的斜率即為函數f(x)f(x)在區間在區間XPXP，XQ XQ 上的平均變化率上的平均變化率. .函數函數f(x)在區間在區間m，n上的平均變化率為上的平均變化率為:( )( )f mf nkmnxy數學理論數學理論例例2:(2)已知函數已知函數f(x)=x2 ,分別計算分別計算f(x) 在下列區間上的平均在下列區間上的平均 變化率：變化率： 1）1，3；2）1，2；3）1，1.1；4）1，1.001. 432.12.001數學應用數學應用xy13P2O平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的粗糙不精確的”，但，但當當x2x1很小時，這種量化便由很小時，這種量化便由“粗糙逼近粗糙逼近“準確準確”.數學理論數學理論練習練習2: 已知函數已知函數f(x)=x2 ,分別計算分別計算f(x) 在下在下 列區間上的平均變化率：列區間上的平均變化率： （1）0.9，1；（2）0.99，1；（3）0.999，1;（4）0.9999，1;1.91.991.999（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001. 432.12.0011.9999數學