1、 鄭州郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料；更多學(xué)習(xí)資料及學(xué)習(xí)方法、考試技巧請百度郭氏數(shù)學(xué)公益教學(xué)博客。完全平方公式講解第一部分 概念導(dǎo)入1問題：根據(jù)乘方的定義，我們知道：a2=a·a，那么（a+b）2 應(yīng)該寫成什么樣的形式呢？（a+b）2的運算結(jié)果有什么規(guī)律？計算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_； （m+2）2=_；（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=_； （m-2）2=_；2學(xué)生計算3得到結(jié)果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1 （m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4 （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2

2、-2p+1 （m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+44分析推廣：結(jié)果中有兩個數(shù)的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是兩個數(shù)乘積的二倍。（1）（2）之間只差一個符號。 推廣：計算（a+b）2=_ _ （a-b）2=_ _ 【2】 得到公式，分析公式 （1）結(jié)論：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍（2）公式特征左邊：二項式的平方右邊：二項式中每一項的平方與這兩項乘積2倍的和注意：公式右邊2ab的符號取決于左邊二項式中兩項的符號若這兩項

3、同號，則2ab取“”，若這兩項異號，則2ab的符號為“”（3）公式中字母可代表的含義公式中的a和b可代表一個字母，一個數(shù)字及單項式（4）幾何解釋圖15圖15中最大正方形的面積可用兩種形式表示：（ab）2 a22abb2，由于這兩個代數(shù)式表示同一塊面積，所以應(yīng)相等，即（ab）2a22abb2因此，用幾何圖形證明了完全平方公式的正確性【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】例1計算（1）（3a2b）2 （2）（mnn2）2點撥：運用完全平方式的時候，要搞清楚公式中a，b在題目中分別代表什么，在展開的過程中要把它們當(dāng)作整體來做，適當(dāng)?shù)牡胤綉?yīng)打括號，如：進行平方的時候同時應(yīng)注意公式中2ab的符號解：（1）（3a2b）2（3a

4、）22·（3a）·（2b）（2b）29a212ab4b2注意：（2）中n2的指數(shù)2與公式中b2的二次方所代表含義不同，所以在展開過程中不要漏掉“二次方”例2計算（1）（mn）2 （2）（5a2）（5a2）點撥：（1）可直接用完全平方公式由于m與n是同號，所以公式中的2ab取“”（2）中兩個二項式雖然不同，但若將第一個括號中的“”提出，則剩下的兩個括號里的項完全相同，可利用完全平方公式進行計算解：（1）（mn）2（m）22·（m）（n）（n）2m22mnn2（2）（5a2）（5a2）（5a2）（5a2）（5a2）2（25a220a4）25a220a4小結(jié)：由（2）可

5、知，將兩個二項式相乘，兩個括號里的每一項都相反的話，可先作適當(dāng)調(diào)整，再利用完全平方公式進行計算例3計算（1）（x2y）2（xy）（xy）（2）（mn）（m2n2）（mn）點撥：（1）可分別應(yīng)用平方差公式與完全平方公式進行乘法運算，再化簡（2）可先利用平方差公式將mn與mn相乘，再將所得結(jié)果m2n2與中間括號里的m2n2相乘，可利用完全平方公式解：（1）（x2y）2（xy）（xy）（x24xy4y2）（x2y2）x24xy4y2x2y24xy5y2（2）（mn）（m2n2）（mn）（mn）（mn）（m2n2）（m2n2）（m2n2）（m2）22·m2·n2（n2）2m42m2

6、n2n4說明：這兩題在能用公式的地方盡量用公式，是因為應(yīng)用公式可以簡化運算，若想不到，用多乘多也可例4計算：（x）2（x）2點撥：第一種方法是利用完全平方公式直接展開，第二種方法是可利用平方差公式逆運算：a2b2（ab）（ab），將此題轉(zhuǎn)化為平方差公式進行計算解法一：（x）2（x）2（x2xy）（x2xy）x2xyx2xy2xy解法二：例5計算：（a2b1）（a2b1）點撥：此題“三項式乘三項式”，且這兩個括號中的三項只有符號不同先找出兩個括號中完全相同的項放在一起，再把互為相反數(shù)的項放在一起，構(gòu)成（ab）（ab）的形式，利用平方差公式進行簡化運算關(guān)鍵：此題最重要一步就是由到的過程轉(zhuǎn)化，要保證

7、代數(shù)式在形式發(fā)生變化的同時，大小不變！隨堂練習(xí)一、選擇題1下列運算中，正確的是（ ） A3a+2b=5ab B（a1）2=a22a+1 Ca6÷a3=a2 D（a4）5=a92下列運算中，利用完全平方公式計算正確的是（ ） A（x+y）2=x2+y2 B（xy）2=x2y2 C（x+y）2=x22xy+y2 D（xy）2=x22xy+y23下列各式計算結(jié)果為2xyx2y2的是（ ） A（xy）2 B（xy）2 C（x+y）2 D（xy）24若等式（x4）2=x28x+m2成立，則m的值是（ ） A16 B4 C4 D4或4二、填空題5（x2y）2=_6若（3x+4y）2=（3x4y）

8、2+B，則B=_7若ab=3，ab=2，則a2+b2=_8（_y）2=x2xy+_；（_）2=a26ab+_三、解答題9利用完全平方公式計算：（1）20082； （2）78210 先化簡，再求值：（2x1）（x+2）（x2）2（x+2）2，其中x=11.利用公式計算：196212.某正方形邊長a cm，若把這個正方形的邊長減小3 cm，則面積減少了多少？13. 已知x+y=1，求x2+xy+y2的值14.已知a+=5，分別求a2+，（a）2的值15.為了擴大綠化面積，若將一個正方形花壇的邊長增加3米，則它的面積就增加39平方米，求這個正方形花壇的邊長16.小明在計算時，找不到計算器，去向小華借

9、，小華看了看題說根本不需要用計算器，而且很快說出了答案你知道他是怎么做的嗎？17已知：ab5，ab6，求a2b218. 利用公式計算：992119. 計算 （1）； （2）； （3）102； （4）99. （5）；（6）.20.一個正方形的邊長增加3cm,它的面積就增加39,這個正方形的邊長是多少?21.當(dāng)?shù)闹?2. 求證：當(dāng)n為整數(shù)時，兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)23.觀察下列等式：，請用含自然數(shù)n的等式表示這種規(guī)律為：_.24. 已知是一個完全平方式,求M的值.25.2005年12月1日是星期四，請問：再過2005天的后一天是星期幾?答案一、1B2C 點撥：（x+y）2=x2+2xy+y

10、2，所以A不正確；（xy2=x22xy+y2，所以B不正確；（x+y）2=（x）2+2（x）·y+y2=x22xy+y2，所以C正確；（xy）2=（x+y）2=x2+2xy+y2，所以D也不正確，故選C3D4D 點撥：因為（x4）2=28x+16，所以若（x4）2=x28x+m2成立，則m2=16，從而得m=±4，故選D二、5x2+4xy+4y2 點撥：（x2y）2=（x+2y） 2=（x+2y）2=x2+4xy+4y2648xy 點撥：B=（3x+4y）2（3x4y）2=9x2+24xy+16y2（9x224xy+16y2）=9x2+24xy+16y292+24xy16y

11、2=48xy713 點撥：因為ab=3，ab=2，所以a2+b2=（ab）2+2ab=32+2×2=9+4=138x；y2；a4b；16b2三、9解：（1）20082=（2000+8）2=20002+2×2000×8+82=4000000+32000+64=4032064；（2）782=（802）2=8022×80×2+22=6400320+4=608410解：（2x1）（x+2）（x2）2（x+2）2=2x2+4xx2（x24x+4）（x2+4x+4）=2x2+3x2x2+4x4x24x4=3x10當(dāng)x=時，原式=3×（）10=11

12、0=1111.思路：196接近整數(shù)200，故1962004，則此題可化為（2004）2，利用完全平方公式計算解：1962（2004）220022×200×4424000016001638416說明：可轉(zhuǎn)化為完全平方的形式的數(shù)必須較接近一個整數(shù)才較易進行計算12.思路：先分別表示出新舊正方形的邊長，再根據(jù)“正方形面積邊長×邊長”，表示出兩個正方形的面積，用“大小”即可得出所求計算的關(guān)鍵在完全平方式的展開解：原正方形面積：a2現(xiàn)正方形面積：（a3）2面積減少了a2（a3）2a2（a26a9）a2a26a9（6a9）（cm2）答：面積減少了（6a9） cm213.解：因

13、為x+y=1，所以（x+y）2=1，即x2+2xy+y2=1所以x2+xy+y2=（x2+2xy+y2）=×1= 點撥：通過平方將已知條件轉(zhuǎn)化為完全平方公式，從而巧妙求值14.因為a+=5，所以a2+=（a+）22·a·=522=23，所以（a）2=a2+2·a·=232=21 點撥：注意公式的一些變形形式，例如：a2+b2=（a+b）22ab，a2+b2=（ab）2+2ab，（a+b）2=（ab）2+4ab，（ab）2=（a+b）24ab等等15.解：設(shè)這個正方形花壇的邊長為x米，依題意列方程得，（x+3）2x2=39，即x2+6x+9x2=

14、39，6x=30，x=5答：這個正方形花壇的邊長為5米 點撥：適當(dāng)引進未知數(shù)，根據(jù)題中的相等關(guān)系得到方程，解方程即可16解：知道，做法如下：= 點撥：由200920072=（200920081）2，200920092=（20092008+1）2，運用完全平方公式化簡即可17.點撥：同時存在ab，ab，a2b2的公式為完全平方公式（ab）2a22abb2，將題目中所給條件分別看作整體，代入公式即可注意：不要分別求出a和b，運算繁瑣若已知ab（或ab），ab，a2b2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者解：a2b2（ab）22ab當(dāng)ab5，ab6時原式（5）22×（6）2512371

15、8.點撥：可分別用完全平方公式或平方差公式兩種方法得到相同的答案19.【點撥】（1）符合平方差公式的特征，只要將ab看成是a，1看成是b來計算.（2）利用加法交換律將原式變形為,然后運用平方差公式計算.（3）可將102改寫為,利用兩數(shù)和的平方公式進行簡便運算.（4）可將99改寫為，利用兩數(shù)差的平方公式進行簡便運算.解：（1）=；（2）= =；（3）102= =；（4）99=. 【點撥】（5,6）兩個因式中都含有三項，把三項看成是兩項，符號相同的看作是一項，符號相反的看作是一項，運用公式計算，本題可將看作是一項.先將三項看成是兩項，用完全平方公式，然后再用完全平方公式計算.解：（5）=；（6）=

16、.【點評】1.在運用平方差公式時,應(yīng)分清兩個因式中是不是有一項完全相同,有一項互為相反數(shù),這樣才可以用平方差公式，否則不能用；2.完全平方公式就是求一個二項式的平方，其結(jié)果是一個完全平方式，兩數(shù)和或差的平方，等于這兩個數(shù)的平方和，加上或減去這兩個數(shù)乘積的2倍，在計算時不要發(fā)生：或這樣的錯誤；3.當(dāng)因式中含有三項或三項以上時,要適當(dāng)?shù)姆纸M,看成是兩項,用平方差公式或完全平方公式.20.【點撥】如果設(shè)原正方形的邊長為xcm,根據(jù)題意和正方形的面積公式可列出方程求解.解：設(shè)原正方形的邊長為xcm,則即，解得 x=5.答:這個正方形的邊長是5.21.【點撥】先用乘法公式計算,去括號、合并同類項后，再將a、b的值代入計算出結(jié)果.解：=；當(dāng) =8（-1）=-4.22.【點撥】運用完全平方公式將化簡，看所得的結(jié)果是否是8整數(shù)倍.證明:=，又n為整數(shù),8n也為整數(shù)且是8的倍數(shù).23.【點撥】本題是屬于閱讀理解，探索規(guī)律的題目，認真觀察、分