1、切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關地比例線段學習目標1. 切線長概念切線長是在經過圓外一點地圓地切線上，這點和切點之間地線段地長度，“切線長”是切線上一條線段地長，具有數量地特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長度.2. 切線長定理對于切線長定理，應明確1）若已知圓地兩條切線相交 ，則切線長相等；2）若已知兩條切線平行， 則圓上兩個切點地連線為直徑；3）經過圓外一點引圓地兩條切線，連結兩個切點可得到一個等腰三角形；4）經過圓外一點引圓地兩條切線，切線地夾角與過切點地兩個半徑地夾角互補；5）圓外一點與圓心地連線,平分過這點向圓引地兩條切線所夾地角.3.弦切角：頂點在圓

2、上，一邊和圓相交直線AB切OO于P,PC、PD為弦,圖中幾個弦切角呢？四個）4. 弦切角定理：弦切角等于其所夾地弧所對地圓周角.5. 弄清和圓有關地角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內角，圓外角.6. 遇到圓地切線，可聯想“角”弦切角，“線”切線地性質定理及切線長定理7. 與圓有關地比例線段 定理 相交弦定 理圖形已知OO結論中,AB、CD 為弦,交 PA- PB= PC- PD.證法連結 AC、 BD,證： AP3A DPB.相交弦定理地推論OO 中,AB 為直 PC= PA- PB. 徑,CDL AB 于 P.用相交弦定理圓幕定理切割線定理于 T,害9 P=PA- PB連結 TA、 TB,證

3、PTBA PATB切割線定理推論PB、PD 為OO 地兩條害9 PA- PB= PC- PD 線,交OO于A C過P作PT切OO于T,用兩次切割線定理OO中，割線PB交OO于P'C - P'D =A,CD 為弦OP'2PA- PB= OPr為OO地半徑延長P'O交OO于M,延 長OP'交OO于N,用相交 弦定理證；過 P作切線 用切割線定理勾股定理 證8.圓幕定理：過一定點P向OO作任一直線，交OO于兩點，則自定點P到兩交點地兩條線段之積 為常數|/. |<R為圓半徑），因為_'5 二 叫做點對于OO 地幕，所以將上述定理統稱為圓幕定理【典

4、型例題】例1.如圖1,正方形ABCD地邊長為1,以BC為直徑在正方形內作半圓 O,過A作半圓切線，切點為F, 交CD于E,求DE AE地值.圖1解：由切線長定理知： AF= AB= 1,EF = CE 設CE為x,在Rt ADE中，由勾股定理(1+兀二+x = -41D£ = l- = -44,:.DE； AE = - -=445例2. OO中地兩條弦 AB與CD相交于 E,若AE= 6cm,BE= 2cm,CD= 7cm,那么CE=cm.解：由相交弦定理，得AE- BE= CE- DE/ AE= 6cm,BE= 2cm,CD= 7 cm,DE =_二'L1,6X2 二 CE

5、(7-C礪,即C於-7C5+12 二 0/ CE= 3cm或 CE= 4cm.故應填3或4.點撥：相交弦定理是較重要定理，結果要注意兩種情況地取舍 例3.已知PA是圓地切線,PCB是圓地割線，則一；丄 ： 解：/ P=/P/ PAC=ZB , PACA PBA,AB _PBTc'二,AB2 PB21c7一 SI'.又 PA是圓地切線,PCB是圓地割線，由切割線定理，得P二 PB*FCAB2 _ PB2 _ PB.麗 _ Pg，PC _ PC_,即故應填PC.點撥：利用相似得出比例關系式后要注意變形，推出所需結論.例4.如圖3,P是OO外一點,PC切OO于點C,PAB是OO地割線

6、，交OO于A、B兩點，如果PA PB=1 : 4,PC= 12cm, OO地半徑為10cm,則圓心O到AB地距離是 cm.解：/ PC是OO地切線,PAB是OO地割線，且PA PB= 1 : 4 PB= 4PA又 PC= 12cm由切割線定理,得二三兀PB= 4X 6= 24<cm)AB= 24 6 = 18<cm）設圓心O到AB距離為d cm, 由勾股定理，得d = Jl»-3 =幣伽)故應填 例5.如圖4,AB為OO地直徑,過B點作00地切線 BC,OC交OO于點E,AE地延長線交;<2）若 AB= BC= 2厘 M,求 CE CD地長.BC于點D,<1

7、)求證:CE2 = CDCB點悟:證明:要證<1）連結BE,即要證 CESACBE.0U是0 0的切線=乙A =厶倔、oa = oeza = ZoeaZoea = £dec仲 (yu AC£DoAC8£ => = => Cff2 = C8 CDCD CEEC是旳線M為直徑<2 )n ZASD 二 9*0 = 2 n OP 二 1 u OC -寸4 +1 二 75BC = 20E= 1aCE 二腐-.CECDCB. CB = 2,又D 一-匸厘M.點撥：有切線，并需尋找角地關系時常添輔助線，為利用弦切角定理創造條件例6.如圖5,AB為OO地直

8、徑,弦CD/ AB,AE切OO于A,交CD地延長線于 E.求證：丄-二證明：連結BD,/AE切OO 于 A,/ EAD=Z ABD/ AE1 AB,又 AB/ CD, AE1 CD/AB為OO地直徑/ ADB= 90°/ E=Z ADB= 90° AD0A BADAD DEAB AD一丄/ CD/ ABn n:.AD = BC ad= bc, BC = AB* DE例7.如圖 6,PA、PC切OO 于 A、C,PDB為割線.求證：AD- BC= CD- AB點悟：由結論 AD - BC= CD- AB得上 ,顯然要證厶PABA PBA和厶PCSA PBC 證明：/ PA切O

9、O于A,/ PAD=Z PBA又/ APD=Z BPA, PADA PBAAD_PD_:.二同理可證厶PCDA PBCCD_ PDBC =zpc/ PA PC分別切OO于A、C: PA= PC: AD- BC= DC- AB例8.如圖7,在直角三角形 ABC中,/ A= 90° ,以AB邊為直徑作OO ,交斜邊BC于點D,過D點作 OO地切線交AC于E.求證：BC= 2OE.OE是 ABC地中位線.而OA OB,只須證 AE= CE.點悟：由要證結論易想到應證證明：連結OD./ ACLAB,AB 為直徑 AC為OO地切線,又DE切OO于D EA= ED,ODL DE/ OB= OD,

10、./ B=Z ODB在 Rt ABC 中,/ C= 90°/B/ OD= 90°一嚴-廠宀/ C=Z EDC ED= EC AE= ECOE是厶ABC地中位線 BC= 2OEn例9.如圖8,在正方形 ABCD中,AB = 1,二是以點B為圓心,AB長為半徑地圓地一段弧點E是邊nAD上地任意一點 <點E與點A D不重合），過E作以所在圓地切線，交邊DC于點F,G為切點. 當/DEF= 45。時，求證點G為線段EF地中點；圖8解：由/DEF= 45°,得伽二爐-ZW = 45°/ DFE=Z DEF DE= DF又 AD= DC AE= FC因為AB是

11、圓B地半徑,ADL AB,所以AD切圓B于點A;同理,CD切圓B于點C.又因為EF切圓B于點G,所以AE= EG,FC= FG.因此EG= FG,即點G為線段EF地中點.【模擬試卷】 < 答題時間：40分鐘）2025A.3B.3C. 5D. 8.卜列圖形定有內切圓地疋< )A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.梯形已知：如圖1直線MN與OO相切于C,AB 為直徑，/ CAB= 40°,則/ MCA地度數23< )一、選擇題1.已知：PA PB切OO于點A、B,連結AB,若AB= 8,弦AB地弦心距3,則PA= )0圖1A. 50 °B. 40°C.6

12、0°D. 554.圓內兩弦相交，一弦長8cm且被交點平分，另一弦被交點分為1: 4,則另一弦長為)A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5.在厶ABC中，D是BC邊上地點，AD二堀,BD = 3cm,DC= 4cm,如果E是AD地延長線與 ABC 地外接圓地交點，那么DE長等于)B.D.3y(3cfnBOO于T,CT為直徑，D為OC上一點，直線PD交OO于B和A,B在線段PD上,若CD-)6. PT2,AD = 3,BD = 4,則 PB等于 <B. 10A. 20:、填空題7. AB 、CD是OO 切線，AB/ CDEF是OO 地切線，它和 AB CD分別交于

13、 E、F,則/EOF=度.已知：OO和不在OO上地一點 P,過P地直線交OO 于A、B兩點，若PA- PB= 24,OP = 5,則地半徑長為.C. 5D.8.OO9.若PA為OO地切線,A為切點，PBC割線交OO于B、C,若BC= 20,則PC地長為10. 正厶ABC內接于OO ,M、N分別為 AB AC中點，延長MN交OO于點D,連結BD交AC于P,則PCPA=.三、解答題11. 如圖2, ABC中,AC= 2cm,周長為8cm,F、K、N是厶ABC與內切圓地切點，DE BOO于點M,且 DE/ AC,求 DE地長.12.如圖3,已知P為OO地直徑/ DCPA于 C,CDL AB于 D,求證：CB平分F【試卷答案】一、選擇題1. A 2. C 3. A 4. B二、填空題5. B 6. A7. 908. 1三、解答題：11. 由切線長定理得厶9. 3010.BDE 周長為 4,由厶 BD0A BAC,得 DE= 1cm13.如圖4,已知AD為OO地直徑,AB是OO地切線，過B地割線BMN交AD地延長線于 C,且BMhMN= NC,若 AB- - .12. 證明：