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文檔簡介

1、 (3可導與連續 若 w=f (z 在點 z0 處可導 Þ w=f (z 點 z0 處連續. Ü ? 證明 : 若f ( z 在z0可導, 則"e > 0, $d > 0, f ( z 0 + Dz - f ( z 0 使得當 0 < Dz < d , 時, 有 - f ¢( z 0 < e , Dz f ( z 0 + Dz - f ( z 0 令r (Dz ) = - f ¢( z0 , 則 lim r (Dz ) = 0, Dz ® 0 Dz 由此可得f ( z0 + Dz - f ( z0 = f

2、 ¢( z0 Dz + r (Dz )Dz , Dz ® 0 lim f ( z0 + Dz = f ( z0 , 所以f ( z 在z0連續 二. 解析函數的概念 定義 如果函數w=f (z在z0及z0的某個鄰域內處處 可導，則稱f (z在z0解析； 如果f (z在區域D內每一點都解析，則稱 f (z在D內解析，或稱f (z是D內的解析函數 (全純函數或正則函數）。 如果f (z在點z0不解析，就稱z0是f (z的奇點。 A (1 w=f (z 在 D 內解析 在D內可導。 Û (2 函數f (z在 z0 點可導，未必在z0解析。 例如 (1 w=z2 在整個復

3、平面處處可導，故是整個復平面 上的解析函數； (2 w=1/z，除去z=0點外，是整個復平面上的解析 函數； (3 w=zRez 在整個復平面上處處不解析(見例4。 定理1 設w=f (z及w=g(z是區域D內的解析函數， 則 f (z±g(z，f (zg(z 及 f (z ¤ g(z (g (z0時 均是D內的解析函數。 由以上討論Þ P ( z = a0 + a1 z + L + an z n是整個復平面上的解析 函數； P(z R( z = 是復平面上 (除分母為 0點外的解析函數 . Q( z 定理 2 設 w=f (h 在 h 平面上的區域 G 內解析, h=g(z 在 z 平面上的區域 D

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