1、初中數(shù)學(xué)-代數(shù)公式定理（1）發(fā)布:佚名 時間:2008-8-19 17:02:00 來源:京翰教育中心 第一章 有理數(shù)及其運算 1 自然數(shù)及其運算 11 自然數(shù) 零的符號是“0”,它表示沒有數(shù)量或進位制上的空位 除0之外,任何自然數(shù)都是由若干個“1”組成的,“1”是數(shù)個數(shù)的單位,稱作自然數(shù)的單位 自然數(shù)的全體：0,1,2,3,4,n,叫做自然數(shù)的集合,簡稱自然數(shù)集 能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù);不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù) 12 自然數(shù)的運算 1 加法: 求和的運算叫做加法 2 減法: 減法是加法的逆運算 3 乘法: 同一個自然數(shù)的連加運算,就叫做乘法 4 除法: 除法是乘法的逆運算,零不能做除數(shù) 13

2、 自然數(shù)的運算性質(zhì) 用字母表示任一個自然數(shù),來說明對于任何自然數(shù)的運算普遍成立的運算規(guī)律和運算特征即它們的共同性質(zhì),并簡稱為運算通性或運算律 1 加法交換律: a+b=b+a 2 加法結(jié)合律: (a+b)+c=a+(b+c) 3 乘法交換律: ab=ba 4 乘法對加法的分配律: (a+b)c=ac+bc 5 加法結(jié)合律: (ab)c=a(bc) 6 自然數(shù)0和1的運算特征 14 乘法運算及指數(shù)運算律 求同一個數(shù)得連乘運算,叫做乘方運算 a中,a叫做底數(shù),自然數(shù)n叫做指數(shù),乘方的結(jié)果a叫做冪(讀作“a的n次冪”或“a的n次方”) 零的n次方總等于零,1的n次方總等于1 同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,

3、只是指數(shù)相加 指數(shù)運算律(一) 同底數(shù)冪相乘,指數(shù)相加,底數(shù)不變,即aman =a(m+n), 指數(shù)運算律(二) 乘積的冪,等于各因數(shù)的冪的乘積,即(ab)n=anbn 指數(shù)運算律(三) 冪的乘方,指數(shù)相乘,底數(shù)不變,即(am)n=a(mn) 指數(shù)運算律(四) 同底數(shù)冪相除,指數(shù)相減,底數(shù)不變,即am ÷an=a(m-n)其中m>n,a0 兩個同底數(shù)(不為0)、同指數(shù)的冪相除,其商等于a0=1 (a0) 分數(shù)的意義與特點 a/bb=(a1/b)b=(b1/b)a=1a=a a/b=am/bm (m!=0) a/b=(a/b)/(b/n) (n!=0) 分數(shù)有一個重要的基本性質(zhì)：

4、一個分數(shù)的分子、分母同時乘以或除以同一個不為零的數(shù),分數(shù)的值不變 22 分數(shù)的運算及運算律 加、減法 a/b(+,-)c/d=ad/bd(+,-)bc/bd=(ad(+,-)bc)/bd 乘法 a/bc/d=ac/bd 除法 (a/b)/(c/d)=(a/b)(d/c)=ad/bc 乘方 (a/b)m=(a/b)(a/b)(a/b)m個括號=(am)/(bm) 分數(shù)加法的交換律是 a/b+c/d=c/d+a/b 3 有理數(shù)的意義 31 相反意義的量 在研究兩者的總效果時,可以互相抵消或一部分抵消 32 正數(shù)和負數(shù)、相反數(shù) 帶有正號的數(shù)叫做正數(shù)(“+”號也可省略不寫); 帶有負號的數(shù)叫做負數(shù) 負

5、數(shù)與正數(shù)合并時,其結(jié)果可以相消或部分抵消 數(shù)零,既不是正數(shù),也不是負數(shù) 對任一個數(shù)a,總能有一個數(shù)-a,使它們可以相消,像這樣只是符號不同的兩個數(shù),叫做互為相反數(shù) 零的相反數(shù),仍是零 33 有理數(shù)、數(shù)軸 整數(shù)包括正整數(shù)、負數(shù)和零 分數(shù)包括正分數(shù)、負分數(shù) 整數(shù)和分數(shù),統(tǒng)稱為有理數(shù) 全體有理數(shù)組成的集合,稱為有理數(shù)集合 全體整數(shù)組成的集合,稱為整數(shù)集合 全體自然數(shù)組成自然數(shù)集合 有理數(shù)可以用一條直線上的點來表示 規(guī)定了原點、正方向和單位程度的直線叫做數(shù)軸 對于任一個有理數(shù),在數(shù)軸上都可以有一個確定的點表示它 正數(shù)和負數(shù),可表示“相反意義”的量,而數(shù)零是它們的界限 互為相反數(shù)的一對數(shù),在數(shù)軸上總是表

6、示到原點距離相等的一對點零與它們的相反數(shù)都用原點表示 34 絕對值 一個有理數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點至原點距離叫做絕對值 一個正數(shù)的絕對值是它本身; 一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù); 零的絕對值是零 4 有理數(shù)的運算 41 有理數(shù)的加法與減法 加法 符號相同的兩個有理數(shù)相加,只要將兩數(shù)的絕對值相加,符號仍取原來的符號 兩個符號相反的有理數(shù)相加,將較大的絕對值減去較小的絕對值,符號取絕對值較大的加數(shù)的符號 減法 減法是加法的逆運算 減法法則是減去一個數(shù),等于加上這個有理數(shù)的相反數(shù) 在有理數(shù)范圍內(nèi),減法運算也是暢通無阻的 42 代數(shù)和 含有加減運算的式子,都能轉(zhuǎn)化成井含有加法運算的式子,我們稱它為“代數(shù)

7、和” 去括號法則：去掉緊接正號后面的括號時,括號里的各項都不變;去掉緊接負號后面的括號時,括號里的各項都要變號 添括號法則：緊接正號后面添加括號時,括號到括號里的各項都不變;緊接符號后面添加括號時,括到括號里的各項都要變號 43 有理數(shù)的乘法與除法 乘法 異號(一負一正)兩有理數(shù)相乘,將絕對值相乘,符號取負 兩個負有理數(shù)相乘,將絕對值相乘,符號取正 乘法法則：將絕對值相乘,積的符號是：同號得正,異號得負 當負乘數(shù)有奇數(shù)個時,成積為負;當負乘數(shù)有偶數(shù)個時,成積為正; 只要有一個乘數(shù)為零,那么乘積必定是零 除法 除法法則：將絕對值相除,商的符號是：同號相除得正,異號相除得負 零除以任一個非零有理數(shù)

8、,其商仍為零 零不能作除數(shù) 任一個非零有理數(shù)x,除1所得的商1/x,叫做這個數(shù)x的倒數(shù) 非零有理數(shù)x與1/x互為倒數(shù),其特征性質(zhì)是x1/x=1 零沒有倒數(shù) 除以一個非零有理數(shù),就等于誠意這個數(shù)的倒數(shù)a/b=a1/b=a/b 44 有理數(shù)的乘方 非零有理數(shù)的乘方,將其絕對值乘方,而結(jié)果的符號是：正數(shù)的任何次乘方都取正號;負數(shù)的奇數(shù)乘方取負號,負號的偶次乘方取正號 零的非零次都0;零的零次方?jīng)]有意義 45 有理數(shù)的混合運算 先乘方,再乘除,后加減;若有括號,則“先里后外”去括號,逐步計算 46 近似數(shù)和有效數(shù)字 與實際相符的數(shù),叫做準確數(shù) 與實際接近的數(shù),叫近似數(shù) 一般地,一個近似數(shù)四舍五入到哪一

9、位,就說這個近似數(shù)精確到哪一位這時,從左邊第一個非零數(shù)字起到精確到那一位數(shù)字止,所有的數(shù)字,都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字 5 有理數(shù)的基本性質(zhì) 51 有理數(shù)運算的“通性” 1 加、減、乘(乘方)、除運算的封閉性 任意兩個有理數(shù)的和、差、積、商(0不作除數(shù))都還是有理數(shù)這就是有理數(shù)四則運算的封閉性相比之下,在自然數(shù)范圍內(nèi),除法(除數(shù)不為0)、減法都不封閉;在整數(shù)范圍內(nèi),除法(除數(shù)不為0)也不封閉 2 加法、乘法運算滿足交換律、結(jié)合律和分配律 (1) 加法的交換律、結(jié)合律 對于有理數(shù)a、b、c來說 a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c) (2) 乘法的交換律、結(jié)合律 對于有理數(shù)a、b、c來說,

10、ab=ba; (ab)c=a(bc) (3)乘法對于加法的分配律 對于有理數(shù)a、b、c來說 a(b+c)=ab+ac 3 加、減法運算,乘、除運算的統(tǒng)一 (1) 加、減運算的統(tǒng)一 任意一個有理數(shù)a,總有它唯一的一個相反數(shù)-a,使得(-a)+a=a+(-a)=0因而,有理數(shù)減法,就可以轉(zhuǎn)化為加法,即a-b=a+(-b) (2) 乘、除運算的統(tǒng)一 任意一非零有理數(shù)b,總有它唯一的一個倒數(shù)1/b,使得b1/b=1/bb=1因而,有理數(shù)除法,就可以轉(zhuǎn)化為乘法,即a/b=a1/b(b0) 4 數(shù)0與1的特性 對于任意有理數(shù)a來說, a+0=0+a=a; a0=0a=0; a1=1a=a 5 乘方運算滿足

11、指數(shù)運算律 52 有理數(shù)的大小順序 負數(shù)<零<正數(shù) a-b>0, a>b; a-b=0, a=b; a-b<0, a<b 負數(shù)小于0,0小于正數(shù),負數(shù)小于正數(shù); 兩個整數(shù)比較時,絕對值大的數(shù)較大; 兩個負數(shù)比較時,絕對值大的數(shù)反而較小 負數(shù)按絕對值由大到小排列,正數(shù)按絕對值由小到大排列 在數(shù)軸上,右邊的點所表示的有理數(shù)總是大于左邊的點所表示的有理數(shù) 53 等式與不等式的基本性質(zhì) 1 等式 用等號“=”聯(lián)結(jié)兩個算式的式子,叫做等式 無需任何條件,本來就是真實的等式,叫做恒等式 在某些條件下,才能成為真實的等式,叫做條件等式 根本不能成立的等式,叫矛盾等式 等式有以下基本性質(zhì)： 1) 等式的兩邊可以對調(diào) 2) 等式的關(guān)系可以傳遞 3) 等式的兩邊,可以加上(或減去)同一個數(shù) 4) 等式的兩邊,可以乘以(或除以非零的)同一個數(shù) 2