1、分類討論思想在初中數學解題中若干應用摘 要 分類討論思想是初中數學中重要的數學思想之一。本文主要從數與式、解方程、幾何和函數的四個方面，通過典型例題的淺析，闡明了分類討論思想在初中數學解題中的若干應用。最后對如何提高初中生分類討論思想應用水平提出若干建議，旨在幫助學生能夠更好的認識和理解分類討論思想，并將分類討論思想運用到實際的解題當中去。【關鍵詞】：p ：分類討論思想；初中數學；解題能力 Abstract The thought of classified discussion is one of the important mathematical thoughts in junior m

2、iddle school mathematics.In this paper, from the four aspects of number and formula, solving equation, geometry and function, through the analysis of typical e_les, the author e_pounds the lication of classified discussion in junior high school mathematics problem-solving.Finally, some suggestions a

3、re put forward on how to improve the lication level of the classified discussion ideas of junior high school students, in order to help students better understand and understand the classified discussion ideas, and ly the classified discussion ideas to the actual problem-solving.Key words：Classified

4、 Discussion Thought; Junior Middle School Mathematics; Problem Solving Ability 目 錄 1 引 言 1 2 分類討論思想概述 2 3 分類討論思想在初中數學解題中的若干應用 3 3.1 分類討論思想在數與式的應用 3 3.2 分類討論思想在解方程的應用 4 3.3分類討論思想在幾何的應用 6 3.4分類討論思想在函數的應用 8 4 提高初中生分類討論思想應用能力的幾點建議 11 4.1 課堂中加強數學思想的滲透 12 4.2 加強學生基礎知識的學習 12 4.3提高意識，增加練習量 12 4.4 端正學生學習態度 1

5、3 5 結 論 13 致 謝 15 參 考 文 獻 16 1 引 言 數學史不僅需要考慮到新概念和新定理，更加需要關注數學思想方法的形成發展。195_年，前蘇聯數學家亞歷山大洛夫發表了數學它的內容，方法和意義1寓意深刻的數學思想方法于淺顯的數學知識中，曾對中學數學教學造成不小影響。美籍匈牙利數學家波利亞在數學的發現、數學與猜想、怎樣解題等著作中闡述了許多數學思想方法2。1969年，日本數學教育家米山國藏發表了數學的精神、思想與方法3系統闡述了貫穿于整個數學的一些重要數學思想。在我國，徐利治教授曾出版近十部著作論述數學方法，如極具代表性的數學方法論選講4。南京大學鄭毓信教授于1985年出版的數學

6、方法論入門5，推進了我國數學教育工作者深入開展數學思想方法的研究。1989年，王仲春、李元忠教授出版了數學思維與數學方法論6一書，比較系統的闡述了數學思維和數學思想方法。錢佩玲教授主編的全國中小學教師繼續教育教材中學數學思想方法7一書，對中學數學思想方法進行了闡述和研究。自20_1年以來，新課程改革在我國被全面推進，在初中數學的教學里，數學思想在學生對數學基礎知識和基本技能方法的學習過程中，逐漸顯現出其重要性。就如何培養學生加強數學思想方法的研究和訓練成為初中數學的一大課題。正如日本數學教育家米山國藏所說：“數學的知識可以記憶一時，但數學的精神、思想和方法卻隨時隨地發揮作用，可以使人受益終生3

7、。”它需要熟練掌握教科書里的基本概念和公式，更加需要理解數學知識背后所隱藏的思想方法。數學思想方法如若能被學生掌握了，對于知識的獲取才能更加快捷，對于知識的理解才能更加透徹。其中，分類討論思想作為不可或缺的方法之一，在初中升學考試的杠桿壓力下，無法得到教師、學生良好的探究。部分教師對于初中數學中與分類討論思想有關的安排和地位認識模糊不清，使得在講解題目中未能及時滲透該思想，也未歸納總結分類討論思想在初中數學學習中的幾類應用。使學生遇到題目是否要進行分類討論仍缺乏分類探討的意識，甚至有的同學產生思維定式，遇到題目就直接進行分類，忽略了有時候分類討論是在具體作答過程中隨機產生的。而掌握分類討論思想

8、的精髓，會用分類討論思想分析p 和解決數學問題，是課標中的基本要求10。基于上述情況，探討初中數學分類討論思想在解題中的幾類應用并提出提高初中生分類討論思想水平的建議是一項有益處的工作。2 分類討論思想概述 當問題所給的對象不能統一研究時，就需要對研究的對象按某個標準分類，然后對每一類別分別研究得出相應的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答11，即分類討論思想的概念。所以，要進行分類討論即“化整為零，各個擊破，再積零為整”8。在運用分類討論思想時，應遵循同一性原則、完整性原則、互斥性原則和逐級性原則9。同一性原則是指針對同一個問題，如果選擇的劃分標準不一樣那么就會得到不同的分類情況，所以需

9、要采用統一的標準解決分類討論的相關問題。例如，討論兩個集合之間的包含關系，需要對其中一個集合是否為空集進行判斷，這就是從同一性原則出發進行分類討論。完整性原則是在分類過程中，要確保化整為零再積零為整，切不可遺漏任何一種分類情形。例如，把三角形分為銳角三角形和鈍角三角形，沒有考慮直角三角形，這與分類討論思想的完整性原則不符。互斥性原則中討論的每個分支必須相互排斥，不可以有公共部分。例如，在對一組數進行有無理數分類時，不能在不同的類別內出現相同的數，否則不光違反了題意里分類的互異性，也違背了互斥性原則。逐級性原則指每次分類都可以一次完成，遇到復雜的題目時，可能需要進行逐級分類，才能解決問題。例如，

10、在含有參數的二次項系數的函數中討論根的存在情況，就不僅需要對參數是否為零進行討論，還要運用到韋達定理與根的判別式的分類情況進行作答，這便體現了分類討論的逐級性原則。分類討論思想的一般類型有從數學基本概念引起的分類討論，例如，絕對值、有理數無理數和單項式多項式等等；根據公式或函數的性質引起的分類討論，例如，探究函數的奇偶性和單調性等等；根據圖形位置變化引起的分類討論，例如，點與三角形、直線與圓的位置關系，需要考慮點的坐標、直線斜率的幾種情況等等；根據參數自身變化引起的分類討論，例如，探討解方程問題時，方程系數中的元素帶有參數，解決函數問題時，函數表達式中帶有參數等等。不同類型的分類討論題目，主體

11、利用的基本原則側重點有所不同，只有不斷練習，分類討論思想才能自然形成、根深蒂固。3 分類討論思想在初中數學解題中的若干應用 在初中數學中，對分類討論是本著先易后難，循序漸進的原則，把分類討論思想分成兩個層次，先分類后討論12。分類討論思想的運用在基礎題和綜合題多有體現。本文選取數與式、解方程、幾何和函數這四個主要方向的經典題進行論述，從題目立意、解題過程、注意知識點等進行分類討論思想的應用分析p 。3.1 分類討論思想在數與式的應用 在中考中，考查數與式分類的題目一般以選擇題或填空題出現，雖然所占分值不高，考察內容也相對簡單。但其在初中數學的學習中也是不容忽視。在初中階段，這是學生第一次接觸分

12、類討論的內容，學生所掌握的分類技巧或多或少會影響到后續的學習，應當引起教師們在教學中的重視。下面，通過例題來展示分類討論思想在數與式中的具體應用，旨在提高學生分類討論意識和能力。例1 試比較與的大小。解析：初中有許多種比較大小的方法，常用的一種方法是作差法。對兩個數量作減法，通過判斷差值的大小從而來判斷原數量的大小。如即；即；即。本題因為含參，最后需再通過對參數的談論來確定結果。解：對與作差，即；對進行分類討論：當時，即，即；當時，即，即；當時，即，即。答：當時，；當時，；當時，。注意：這是初中數與式里運用分類討論的經典題型，確定完參數的大小后，來判斷原來兩個元素的大小。例1是由參數自身變化所

13、引起的分類討論，對含有參數的兩個式子作差化簡后，與0的關系進行討論，滿足分類討論思想的同一性原則；考慮到參數的所有情況后，如若有不滿足條件的取值，略去，體現了分類討論思想的同一性和完整性原則。除此之外，在分類討論過程中格式采用了“當時，；當時，；”，規范了答題過程，使分類過程一目了然。例2 當時，化簡。解析：本題如何化簡取決于絕對值符號內式子的大小，式子大于等于零直接去絕對值，式子小于零添加負號。據此原則，通過對參數大小的分類進行化簡。解：因為，要化簡，需要對絕對值符號內式子的正負進行判斷。當， 時，；當，時，；當，時，；當，時，；所以當， 時，；當，時，；當，時，；當，時，。注意：例2是含參

14、數的絕對值的化簡，需要判斷絕對值符號內式子的正負性。參數需要與-1進行比較分類，參數需要與1進行比較分類，需要進行二級分類討論，得出參數和最終的取值范圍，從而確定正負進行化簡。這符合分類討論思想的逐級性原則。在分類時，等于-1，等于1的情況也包含，這體現分類討論思想的完整性原則在分類討論過程中，采用分類討論的并列格式使分類情況清晰明了、層次分明，有助于學生理解答題步驟與詳細的解題過程。3.2 分類討論思想在解方程的應用 在初中數學中，方程考察分類討論思想的主要方面是含參方程的求解。方程的系數含參，不同此項的系數含參結果不同，先分類再運用根的判別式進行求解、討論。學習此類問題的解題有助于促進學生

15、對分類討論思想的進一步認識，增強學生的分析p 能力和思維能力。下面，通過解方程問題來具體說明分類討論思想在解方程中如何具體的進行運用。例3 存在關于的方程， （1）判斷該方程根的情況。（2）若該方程與一元二次方程有一個相同的解，一元二次方程有實數根，且h為符合條件的最大整數，求此時的取值。解析：因為方程的二次項系數含參，所以先分類該方程是否為一元二次方程，根據根的判別式進行解析；根據題意求解h的值，從而解出一元二次方程，又因為兩方程有同解，從而對的取值進行分類討論，得出的取值。解：（1）當時，即時，方程為一元一次方程，只有一個實數根。當時，即時，方程為一元二次方程，此時 （i）當時，即時，方程

16、有兩個不相等的實數根；（ii）當時，即或時，方程有兩個相等的實數根；（iii）當即或時，方程沒有實數根；所以當時，方程只有一個實數根；當且時，方程有兩個不相等的實數根；當且或時，方程有兩個相等的實數根；當且或時，方程沒有實數根。（2）由于的一元二次方程有實數根，所以根據根的判別式可得：， 解得， 又因為是符合條件的最大整數，所以；將代入得， 解得， 當兩個方程相同的根為3時，將代入，解得，符合；當兩個方程相同的根為2時，將代入，解得，符合。注意：這是屬于方程根的判別式常規的考題，對于基礎知識判別條件的記憶必須準確。二次項系數含有參數從而分類為一元一次方程還是一元二次方程；通過對是大于、等于或小

17、于零的情況分類，進而討論根的情況，這符合分類討論思想的逐級性原則和同一性原則。在作答過程中，做到不重復不遺漏、條理清晰、層次清楚，符合分類討論思想的完整性原則。3.3分類討論思想在幾何的應用 在初中數學的幾何里，三角形是最常考查的圖形，會運用到分類討論思想方法在具體題目中作答的有三角形某角度為頂角或底角、某長度為具體哪條邊長的討論；有為高分值的解答題，至少為中難題程度，一般為探究性問題，如在規則圖形內存在的比值或線段之間的數量關系。在幾何內的分類討論常需要和方程相結合，設立方程解出答案。下面，通過幾道典型例題來具體闡述分類討論思想在幾何中此類問題的運用，旨在提高學生的分析p 能力和邏輯思維能力

18、，增強學生解題中的分類討論意識。例4 在三角形中，,為邊上的高，且，求。解析：在本題中，三角形為銳角、直角還是鈍角三角形并不確定，需根據不同情況進行分類，看到要聯想到運用相似三角形進行解題。解：當三角形的高在三角形內部時， 因為， 所以， 所以, 在中， 所以；當三角形的高在三角形外部時， 因為, 所以, 所以， 在中，, 因為三角形外角等于與它不相鄰的兩個內角的和， 所以。即當三角形的高在三角形內部時，；當三角形的高在三角形外部時，。注意：例4是由角度所引起的討論，高在三角形內部，此三角形只可能為銳角或直角三角形，高在三角形外部，此三角形只可能為鈍角三角形。這類問題是由三角形基本定義所引起的

19、分類討論，從同一性原則出發考慮高在內部與外部的情況，同時也參照分類討論思想的完整性原則，進行分類討論。例5 已知三角形HCG周長為32厘米，其中一邊邊長是另一邊邊長的2倍，長多少厘米？ 解析：三角形共三條邊，其中兩邊相等，有一邊邊長是另一邊邊長的兩倍，因為不知道字母所對應的邊長，所以在解題時就會有兩種情況，或,需要分類討論。三角形是初中幾何中最常考查的圖形，不同三角形的相關性質有所差異。解：設， 當時， 據題意，列，解得厘米，則厘米；當時， 據題意，列，解得厘米，則厘米；檢驗：當時，三邊長為12.8厘米，12.8厘米，6.4厘米，任意兩邊之和大于第三邊，可組成三角形；當時，三邊長為厘米，厘米，

20、厘米，任意兩邊之和不大于第三邊，不可組成三角形，舍去。所以長12.8厘米。注意：在初中數學的幾何中，三角形是最常考查的圖形，例4和例5都是對三角形進行分類討論，但例5需要用到由邊長變化所引起的分類討論，即有一邊邊長是另一邊邊長的兩倍，在解題時就會有兩種情況，或需分類討論，體現了分類討論思想的完整性原則。本題還需要注意的是最后的檢驗步驟，三角形兩邊之和要大于第三邊。據此來檢驗答案是否相符。同理的角度問題，三角形內角和等于一百八十度，這也是最終檢驗的標準之一。在例5的分類討論過程中運用并列格式“當時，；當時，；”，完善了作答過程，使分類情況一目了然，便于理解。3.4分類討論思想在函數的應用 初中數

21、學中函數知識起著啟蒙的作用，在中考中所占比重也是很大的，在客觀題和主觀題上均有考查。其中導數在研究函數問題上起著重大作用，分類討論的思想也在其中得到廣泛的應用。例如，求解函數的最值、函數的解析式、函數的性質以及與其它函數或幾何有關的綜合問題等等。通過分析p 典型例題，提高學生的分類能力和思維能力，增強學生在函數題目中運用分類討論的意識。下面，通過列舉求解函數的值、函數與幾何相結合的情況來具體說明。例6 求函數的圖像與_軸的交點。解析：此函數的二次項系數含有參數，所以無法確定它是二次函數還是一次函數，需要對進行分類討論。再根據題意解題，與_軸的交點其y值等于零，分類后即可解析。解：因為二次項系數

22、含有參數， 所以當時，即時，此時函數為的一次函數，故將代入得，即函數與_軸的交點只有一個為（1，0）當時，即，此時函數為二次函數， ， （1）當時，二次函數與_軸的交點只有一個，將代入函數得， 解得，從而交點的坐標為（1，0）（2）當時，二次函數與_軸的交點有兩個，將代入得，從而解得，即兩個交點的坐標分別為：， 綜上所述，當或時，函數的圖像與_軸只有一個交點（1，0）；當且時，函數圖像與_軸有兩個不同的交點：，。注意：函數的表達式含參數，所以需要對其進行分類討論，這是根據函數自身的性質引起的分類討論。例題中首先對二次項系數的分類討論，是否為零考慮是一次函數還是二次函數，及使二次函數的是否為零體

23、現了分類討論思想的完整性原則。根據參數的討論情況，可以符合題意情況整合在一起，使答案層次更加清晰。例7 直線與_軸、y軸分別交于點M（3，0），點N（0，4），如果點P在坐標軸上，以點P為圓心，為半徑的圓與直線相切，求點P的坐標。解析：本題是一次函數與圓的相切問題，圓心可動，需要分類討論，可分類兩大類：在_軸上或在y軸上；四小類：_軸上在直線左側或右側，y軸上在直線上方或下方。解：當點在y軸上，并且在N點的下方時，設圓與直線相切于點A，連接，則。所以， 因為， 所以， 所以。在中，, 所以；又因為， 所以 所以點的坐標為（0，0）。當點在_軸上，并且在M點左側時，同理可得點的坐標為（0，0）。

24、當點在_軸上，并且在M點右側時，設圓與直線相切于點B，連接,則；所以 又因為 所以 所以 所以點坐標為（6，0）；當點在y軸上，并且在N點的上方時，同理可得， 所以 所以點坐標為（0，8）綜上P點坐標為（0，0），（6，0），（0，8）。注意：函數與圓的綜合題，首先對于函數與圓的基本性質需認真把握，常涉及的是位置關系問題，相交、相切、相離等，找到分類的依據后需細致且勿遺漏。解決此類問題重要的是把握標準，正確分類。本題除了是在_軸上或y軸上進行討論，在后續更具體分為左右側、上下方，這滿足分類討論思想的逐級性原則。在作答過程中，做到不重復不遺漏、條理清晰、層次清楚。在逐級分類討論結束后，根據討論情

25、況，將整合在一起，使其更加簡潔明了。在分類討論過程中采用了并列格式進行作答，規范作答過程，劃分了逐級分類的討論情況，一目了然，有助于學生理解兩個分類的具體討論情況。4 提高初中生分類討論思想應用能力的幾點建議 通過對初中數學教材的簡要分析p ，得到在初中數學學習中需要經常用到分類討論思想，但初中生在解答數學題中的分類討論意識不足，即便有分類的意識，仍然無法正確的進行討論，缺乏分類討論的準確性。這就需要教師們在平常的教學工作中，對分類討論思想在初中課程安排中有更加清晰的認識。為此提出以下幾點建議：4.1 課堂中加強數學思想的滲透 教師除了要把握好對基礎知識和基本技能的教學，更應該注意數學思想在課

26、堂中的滲透。例如，數與式的知識板塊中，對絕對值問題、含參數問題需要進行分類討論的知識點進行點撥，讓學生在課堂上以及課后的學習上有分類討論思想的意識，而不僅僅是強調課堂上知識內容本身的學習，由于這塊知識內容在中考題中大多以選擇和填空的形式出現，教師們可以根據考查形式更有針對性的對分類討論思想在集合內容中進行滲透。教師在教學中，應適當提醒學生在作答過程中考慮分類的情況，增強學生分類討論的意識。因為數與式模塊是初中數學中首先用到分類討論思想的，對后續的學習會產生影響，應得到教師的重視。另外，由于函數自身的性質引起分類討論，這就使得教師們在講解函數知識模塊中要加強分類討論意識的點撥，提高學生的思維能力

27、和解題能力。教師在講解到這類題型時，可以引導學生進行思考，通過學生間的討論情況以及課堂上的交流，對此類問題及時進行總結歸納，在課堂中進行滲透，從而提高學生分類討論能力，增強學生數學素養。4.2 加強學生基礎知識的學習 對需要進行分類討論的題目開展分類討論是無法一蹴而就的，學生在日常的學習中應當注意基礎知識的學習，穩扎穩打，才能增強自身的數學知識能力。初中的數學越來越注重抽象思維能力的培養，這就需要學生認真對待數學基礎知識的學習，從最開始就學好數學的基本內容。學生不僅要掌握數學思想在題目中的具體運用，也要善于學習與鞏固基礎知識，在學習過程中，學會歸納整理初中數學中重要的定義、定理和公式，利用課余

28、時間消化好這些數學的基礎知識，以更好的狀態備戰中考數學。4.3提高意識，增加練習量 通過對分類討論思想在初中數學解題中的若干應用的內容討論，可以發現在初中數學中很多知識模塊都要涉及到分類討論思想，學生在解題過程中，缺乏分類討論意識，容易造成答案遺漏或錯誤。想要更好的應對分類討論的題目，就需要加大對相關的例題的訓練，量變是質變的前提，質變是量變的結果。在解題過程中發現自己的不足，提高自己的分析p 能力和解題能力。例如，在函數的考查中，有一種很明顯的情況需要進行分類討論，遇到形如的情況，對于二次項系數是參數，需要考慮參數是否為零的情形，這時候就有一次函數和二次函數兩種不同的函數需要進行討論，如果直

29、接忽略掉參數為零的情形，這樣的分類則不滿足分類討論的完整性原則，也無法得出最終正確的答案。所以，學生在日常學習中，遇到含有參數的題目，在腦袋里應該考慮到該題是否需要進行分類討論，提高分類討論思想在解答題目時具體運用的意識，并且適當的增加該類型題目的訓練量，做到對系數的參數可以層次分明的展開討論，熟練的運用函數關于根的問題的求解方法。像這類的題目，學生起初無法很熟練并正確的作答，但可以通過增加該類題目的訓練，慢慢熟悉這類題目分類討論的技巧與步驟，做到熟能生巧，真正掌握分類討論思想在這類數學題中的運用方法。4.4 端正學生學習態度 在學習過程中，只有先有正確的學習態度，才能夠更大的發揮學習的作用。對分類討論中的疑問應與同學積極探討或向老師尋求幫助，及時對分類討論這類的題型進行歸納總結，收獲不同的心得體會。學生在學習過程中，學生可以對分類討論思想在幾何、函數、解方程等方面的應用進行歸納總結，避免在下次遇到該類題目時仍不知所措，或是再犯下相同的錯誤。由于初中數學知識點較多，難度也有所提高，學生在學習過程中應自覺復習鞏固已經學過的知識并及時進行歸納整理，以便更好的