1、課題：& 4雙曲線的簡單幾何性質(二)教學目的：1 使學生掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率等幾何性質2 掌握等軸雙曲線，共軛雙曲線等概念+3 并使學生能利用上述知識進行相關的論證、計算、作雙曲線的草圖以及 解決簡單的實際問題+4 通過教學使同學們運用坐標法解決問題的能力得到進一步鞏固和提高，“應用數學”的意識等到進一步鍛煉的培養.教學重點：雙曲線的漸近線、離心率教學難點：漸近線幾何意義的證明，離心率與雙曲線形狀的關系授課類型：新授課.課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀 .教學過程：一、復習引入：1. 范圍、對稱性2 2由標準方程篤一與=1 ,從橫的方向來看，直線x

2、=-a,x=a之間沒有圖象,a2b2從縱的方向來看，隨著 x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向y.N Q x kJ-./M2A1 O4A2x雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線 雙曲線的中心.2. 頂點頂點：A(a,0), A2 - a,0特殊點：R(0,b),B2 0,-b實軸：AA2長為2a, a叫做半實軸長+虛軸：長為2b, b叫做虛半軸長雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異3 漸近線過雙曲線2 x2 a2% -1的兩頂點 a,A2，作丫軸的平行線 x=a，經過bB,B2作X軸的平行線y =b ,四條直線圍成一個矩形矩形的

3、兩條對角線所在直線方程是y=±bx （ X±y=o）,這兩條直線就是雙曲線的漸近線 ”a a b4 等軸雙曲線定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸 雙曲線.等軸雙曲線的性質：（1 ）漸近線方程為：y=x ；（ 2）漸近線互相垂直；（3）離心率e = 2等軸雙曲線可以設為：x2 - y2 =，（.；.二0），當/ > 0時交點在x軸,'0時焦點在y軸上.5 共漸近線的雙曲線系y = x = x(k > 0)，那么此雙曲a ka線方程就一定是:x2(ka)22y(kb)2二_1（k0）或寫成2x-2a如果已知一雙曲線的漸近線方程為

4、8 / 66 雙曲線的草圖具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點及第一象限內任 意一點的位置，然后過這兩點并根據雙曲線在第一象限從漸近線下方逐漸接近 漸近線的特點畫出雙曲線的一部分，最后利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲 線+二、講解新課：7.離心率概念：雙曲線的焦距與實軸長的比e =空，叫做雙曲線的離心率*2a a范圍：e 1雙曲線形狀與e的關系:因此e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹 逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊（1）雙曲線的形狀張口隨著漸近線的位置變化而變化；（2）漸近線的位置（傾斜）情況又受到其斜率制約利用計算機動畫先演

5、示出“ e的大小”與“開口的闊窄”的關系，能讓學 生對此變化規律先形成直觀理解；然后再用代數方法邊板書邊推導，這樣就可 化難為易，使學生對此規律有更深刻清晰的理解這樣做將有助于實在本節的這個難點.&離心率相同的雙曲線2 2eo ；(1)計算雙曲線 =1的離心率492(2)離心離為q的雙曲線 定是仝=1嗎？舉例說明.如果存在很多的49話，它們能否用一個特有的形式表示呢?(3) 離心率為上13的雙曲線有多少條?2分析：e = Caa2b2=i；1 +(b)2 =hHckb)的關系式，并從中發現a . - kaka只要實現半軸和虛半軸各與a=2,b=3有相同的比k: 1(k>0)的雙曲

6、線，其離心13率e都是一1329.共軛雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸,虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線2 2=1與丄一=1.9162 2稱為原雙曲線的共軛雙曲線 如- L169注意的區別：三量 a,b,c中a,b不同(互換) 通過分析曲線發現二者其具有相同的漸近線1)2)c相同.此即為共軛之意+性質：共用一對漸近線雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上 確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變為-1-3)共用同一對漸近線y二kx的雙曲線的方程具有什么樣的特征：可設為k2= (0)，當0時交點在x軸，當 - 0時焦點在y軸上+三、講解范例:2 2例1求雙曲線9y -16x -144的實半軸長和虛半軸長

7、、焦點坐標、離心率、漸近線方程.2 2解:把方程化為標準方程 爲一篤=14232由此可知，實半軸長 a= 4,虛半軸長b = 3.c 二a2b2二42 32 二5焦點的坐標是(0， 5) , (0 ,5).離心率e = c5a_ 4漸近線方程為3xy ,即4 yx +43例2雙曲線型自然通風塔的外形,是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面,它的最小半徑為 12 m,上口半徑為13 m,下口半徑為25 m,高55m選擇適當的坐標系，求出此雙曲線的方程 (精確到1m).分析：本題建立合適的坐標系是關鍵。注意到通風塔有三個特殊的截口圓：上口、下口、最小的一個截口。顯然，最小截口圓的圓心是雙曲線的中心

8、，直徑是雙曲線的實軸，所以以最小截口直徑所在直線為X軸，圓心為原點建立坐標系，則雙曲線的方程具有最簡單的形式。解:如圖所示，建立直角坐標系 xOy,使小圓的直徑 AA在x軸上，圓心與原 點重合.這時，上、下口的直徑 CC、BB平行于x軸，且|CC' |=13 x 2(m), |BB '|=25 x 2(m).2 2設雙曲線的方程為 令 占=1 (a 0, b 0)-a b令點C的坐標為(13 , y)，則點B的坐標為(25 , y 55).因為點B C在雙曲線 上，所以252(y-55)2=1且132122-y2 =1b2122b2解方程組，得y = 5b (負值舍去)12代入

9、方程，得252122(X2b2(D) 1化簡得219b + 275b 18150= 0解方程(使用計算器計算)，得b 25(m).2 2所以所求雙曲線方程為 - y 1.144625點評：這是一個有實際意義的題目.解這類題目時，首先要解決以下兩個 問題：(1)選擇適當的坐標系；(2)將實際問題中的條件借助坐標系用數學語言 表達出來.四、課堂練習：2 24 .以y二. 3x為漸近線，一個焦點是F(0, 2)的雙曲線方程為2(A) x21 (B) x232y_3-1(C)x2x2=11 .方程mx+ ny + mn=0(m<n<0)所表示的曲線的焦點坐標是B (A)(0,二.m -n)

10、 (B)(0,二' n- m)(c)(=、.m- n ,0) (D)( 二.n-m,0)(A)2x-y322=1 和y92x3=12(B)%3-y 2=1 和 y22-X =1322222(C)y 2- 一=1 和 x2-y =1x(D)-y 2=1 和 x-y =133393223 .x與雙曲線-y 1有共冋的漸近線，且經過點A(-32.3的雙曲線的一9162 .下列各對曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是D個焦點到一條漸近線的距離是(C)(A) 8( B) 4( C) 25 .雙曲線kx2+4y2=4k的離心率小于2，貝U k的取值范圍是 ( C )(A) (- a,0 )

11、( B) (-3,0)( C) (-12,0)(D) (-12,1)6 .已知平面內有一固定線段AB,其長度為4,動點P滿足|PA|-|PB|=3,則|PA|的最小值為 D(A)1.5(B)3(C)0.5(D) 3.57 .已知雙曲線b2x2 a2y2= a2b2的兩漸近線的夾角為 2，則離心率e為(C )a(A)arcsin :- (B)COS.篇(C) sec： (D)tg2 :b8 . 一條直線與雙曲線兩支交點個數最多為(B )(A)1(B) 2(C)3(D)49 .雙曲線頂點為(2, 1), (2, 5), 一漸近線方程為3x 4y + c = 0，則準線方程為(D)161699(A) x =2(B) y =2(C) x = 2(D) y =2 一55552 2x y10 .與雙曲線=1(m*0)共軛的雙曲線方程是( D )m n2 22 22 22 2(A) -xy=1