1、一、換元公式定理】若1、函數在上連續；2、函數在區間上單值且具有連續導數3、當在上變化時，得值在上變化，且則有證明：(1)式中得被積函數在其積分區間上均就是連續，故(1)式兩端得定積分存在.且(1)式兩端得被積函數得原函數均就是存在得。另一方面,函數得導數為從而有對這一定理給出幾點注解：量得限. 5 5、4 4定積分得換元法(1)假設就是在上得一個原函數，據牛頓-萊布尼茲公式有這表明:函數就是在上得一個原函數，故有:1、用替換,將原來變量代換成新變量后,原定積分得限應同時換成新變求出得原函數后，不必象不定積分那樣，將變換成原變量得函數，只需將新變量得上下限代入中然后相減即可。2、應注意代換得條

2、件，避免出錯。(1 )、在單值且連續;(2)、假=盤，叭們=b且血或0衛3、對于時，換元公式(1)仍然成立。【例1】求【解法一】令當時，；當時，。且變換函數 在上單值，在上連續,由換元公式有【解法二】令又當時,且變換函數在上單值，在上連續,由換元公式有又當時，有當時,當時，。4-3C Cdxf2皿JET!匸y= =2 2 111(1 f) f_|= = 2(2(1113 +2 2十InIn 2 2 1)1)=2(1一In 3 + 1112)注意:在【解法二】中，經過換元,定積分得下限較上限大。換元公式也可以反過來，即AAr(/)4f/卩00卩用 令f二甲 S1J 0間=(a二呼=卩Q9)F(

3、A )t【例2】求 解：設,當時,；當 時,般來說，這類換元可以不明顯地寫出新變量，自然也就不必改變定積分得上下限.2 25 52 25 5J J coscos TTsinTTsin - - coscos Jdf(cosJdf(cos = =0 0 0 0二、常用得變量替換技術與幾個常用得結論【例3】證明1、若在上連續且為偶函數，則2、若在上連續且為奇函數，則證明:由定積分對區間得可加性有對作替換 得0 0= -二= J0 0故有若為偶函數, 若為奇函數,簡 ft 計算定義在對稱-S 町上的偶a教與 企求fxdx所用的替接孟=7 雖燃簡單但卻常甩1、2、并由此式計算定積分1、證明：設-a該結論

4、于原點奇函數0 0【例4】若在上連續,證明:2. JT22jyXsinx)6ix=J/Ccosjt)(30c2、證明:7TJx -f(nx)dx =J(TT-t)fsin(7r- T)(-c?f) = (yr-0JT0JJ買g=J(sitit)a!J = zrj /(sinx)ti(; -兀0 00 0這兩個結論，至步可以給我們如下 JJ：1 1計算定積分不是僅有牛頓-菜布尼茲式,（即求原函數，代上下眾）2.2.可以利用孌量替換的方法去求定枳分； 或者利用變量替換去簡化定積分前討算.7 jcsinx rrjrj o o亓- -2 2sinr ,-廠dx+ C加T兌f rf(cosr)2 101I+CO/H兀ny y arrff(cosx)arrff(cosx)口【例5】求 解：令肝JT用m衛寧j sinx? 彳cosx , ?sinx-hcosx ?彳， 兀27= J-必+J-dx=J- dx=體=-0 sinx+ COSDC o sinx+ cosx sinx-h cosjc o 2評注:這一定積分得計算并未求原函數，只用到了變量替換、定積分性質, 這一解法值得我們學習。f5 5costcost + + smsmtc -2