1、1 / 42.我國古代數學著作 九章算術中有一道闡述“盈不足術”的問題，譯文為：“現有幾個人 共同購買一個物品，每人出 8 元，則多 3 元;每人出 7 元,則差 4 元，問這個物品的價格是多少 元.”該物品的價格是_元3九章算術中的方程問題：今有甲、乙二人持錢不知其數 甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而錢亦五十問甲、乙持錢各 幾何？大意為：今有甲、乙二人，不知其錢包里有多少錢若乙把其一半的錢給甲，則甲的錢數為 50;而甲把其 的錢給乙，則乙的錢數也能為 50.則甲的錢數是 _，乙的錢數是_算法統宗(涉及方程)在中國古代數學的整個發展過程中，算法統宗是一部十分重要的著作其作者程大位 (153316

2、06)，字汝思，號賓渠，安徽休寧人從二十多歲起他便在長江中下游一帶經商，對數 學產生了濃厚的興趣四十歲時，倦于外游，便棄商歸故里，認真鉆研古籍，擷取名家之長，歷 經二十年，于明萬歷壬辰年(1592)寫就巨著算法統宗十七卷 在算法統宗這部著作中，許多數學問題都是以歌訣形式呈現的：(1)浮屠增級遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加倍共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈這首歌訣的大意：遠處有一座雄偉的佛塔，塔上掛了許多紅燈，下一層燈數是上一層燈數的 2 倍，全塔共有 381 盞，試問頂層有幾盞燈九章算術(涉及方程)九章算術是我國古代第一部數學專著，全書總結了戰國、秦、漢時期的數學成就 九章算術在數學上還有其獨到的

3、成就，不僅最早提到分數問題，也首先記錄了盈不足等問題，“方程”章還在世界數學史上首次正式引入負數及其加減法運算法則九章算術的出現標志著中國古代數學形成了完整的體系痞強化訓練1.我國古代數學名著九章算術記載了利用算籌表示方程組和解方程組的問題.算籌圖mH1三而11 m 1M IIIII ui= 丁表示的是方程組/3x +2y卜 z = 39,+ 3y + z = 34, (x - 2y-i- 3z = 26hn ni T則算籌圖：；：表示的方程組的解是()2 / 4(2)以碗知僧 巍巍古寺在山中 三白八十四只碗 三人共食一碗飯 請問先生能算者 這首歌訣的大意，不知寺內幾多僧，恰合用盡不差爭，四人

4、共嘗一碗羹，都來寺內幾多僧:山上有一座古寺叫都來寺，在這座寺廟里，3 個和尚合吃一碗飯，4 個和尚合分一碗湯，一共用了 364 只碗請問都來寺里有多少個和尚(3)和尚分饅頭一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？這首歌訣的大意：有 100 個和尚分 100 個饅頭，正好分完如果大和尚一人分 3 個,小和尚 3 人分一個，試問大、小和尚各有幾人 強化訓練1. 我國明代數學讀本算法統宗一書中有這樣一道題：一支竿子一條索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托如果 1 托為 5 尺，那么索長為 _尺，竿子長為尺.2. 某數學興趣小組研究我國古代算法統宗里這樣一首詩：吾

5、問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空 詩中后兩句的意思：如果每間客房住 7 人，那么有 7 人無房可住；如果每間客房住 9 人，那么就 空出一間房則該店有客房_間，房客_ 人3算法統宗這部書里有這樣一題，大意：甲牽一只肥羊走過來問牧羊人：“你趕的這群羊大概有100 只吧？”牧羊人答：“如果這群羊1加上一倍，再加上原來這群羊的一半，又加上原來這群羊的，連你牽著的這只肥羊也算進去，才剛好湊滿一百只 ”則這位牧羊人趕的這群羊共有 _ 只孫子算經（涉及方程）孫子算經是我國古代重要的數學著作傳本的孫子算經共三卷，卷上敘述算籌記 數的縱橫相間制度和籌算乘除法，卷中舉例說明籌算分數算

6、法和籌算開平方法，卷下對后世的影響最為深遠卷下的第 31 題，可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖，后來 傳到日本，變成“鶴龜算” 書中是這樣敘述的：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足 問雉兔各幾何？下卷第 26 題“物不知數”為后來的“大衍求一術”的起源，被看作是中國數 學史上最有創造性的成就之一，稱為中國余數定理：今有物，不知其數三三數之，剩二；五五；n = 3x - 2,）n =I ti = 7z 2數之，剩三；七七數之，剩二問物幾何？顯然，這相當于求不定方程組的正整數解 n，孫子算經所給答案是 n=23.3 / 41孫子算經中有首歌謠，大意為：如圖，有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽

7、下的影子 長一丈五尺，同時立一根一尺五寸的小標桿，它的影長五寸（提示：1 丈=10 尺，1 尺=10 寸），則竹竿的長為（）A.五丈 B.四丈五尺C. 一丈 D.五尺2孫子算經中有一道題，原文是“今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.問木長幾何？”意思是“用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余 4.5 尺;將繩子對4 / 4折再量長木，長木還剩余 1 尺問木長多少尺”設木長為 x 尺,繩子長為 y 尺,則下列符合題意的方程組是()卅=x r 5, 1A.(y = x1廠D.3.我國古代數學名著 孫子算經中有“雞兔同籠”數學名題，小敏將該題改編為：今有雞兔 同籠,上有 33

8、頭,下有 88 足，問雞兔各幾何？此時的答案是 _.4孫子算經中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡,又三家共一鹿，適盡問:城中家幾何？大意為：今有 100 頭鹿進城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每 3 家共取一頭，恰好取完 則城中有 戶人家一元二次方程的幾何解法你知道嗎，對于一元二次方程，我國及其他一些國家的古代數學家還研究過其幾何解法呢！下面我們以方程X2+2X-35=0為例加以說明.(方程可轉化為X2+2X=35，X(X+2)=35兩種形 式)圖(1)三國時期的數學家趙爽(約公元 3 世紀)在其所著的勾股圓方圖注中記載的方法是 如圖(1)，構造邊長為(X+X+2)的正

9、方形，則大正方形的面積(X+X+2)2,另一方面，大正方形是 由四個長和寬分別為X+2,X的矩形和一個邊長為2 的小正方形組成的，所以大正方形的面積等于四個矩形加上中間小正方形的面積，即大正方形的面積為 4X35+22,故2(X+X+2)=144,x0,解得X=5.說明:趙爽的解法是把X2+2X=X(X+2)看作矩形的面積，然后用四個這樣的矩形及一個邊 長為 2 的小正方形組成一個邊長為(X+X+2)的正方形，再由面積公式求出X.圖(2)公元 9 世紀，阿拉伯數學家阿爾花拉子密采用的方法是：構造圖(2),阿爾花拉子密的方法直接從“形”上反映了配方法，一方面，正方形的面積為(X+1)2,即(X2

10、+2X)+1;另一方面，它又等于 36,即 35+1,據此同樣可得X=5.其實趙爽的方法和阿爾花拉子密的方法本質 上是一致的.利用幾何法解一元二次方程，巧妙之處在于不用過多的語言和運算即可解決求方程 的解的問題賦予代數式的幾何意義是解決這類問題的關鍵需要指出的是 ,一元二次方程的幾何解法 , 反映了古代數學家在探索一元二次方程的求 解過程中留下的足跡 ,如果遇到負根 ,就無法求解 , 這也說明了這種方法的局限性 .后來人們 發現的一元二次方B.浮二4一51C.-4P5,x - 115 / 4程 ax2+bx+c=0（a豐0）的求根公式 x=,克服了這種局限性.參考答案九章算術 （ 涉及方程 ）

11、1.C 由題意知 , 算籌圖表示的方程組是解得故選 C.2.53 設有 x 個人共同購買這個物品 , 根據題意得 8x-3=7x+4, 解得 x=7. 則8x-3=8X7-3=53（元）,故該物品的價格是53 元.3.37.525 設甲持錢為 x, 乙持錢為 y, 依題意列方程組為解得故甲的錢數為 37.5, 乙的錢數為 25.算法統宗 （ 涉及方程 ）1.2015 設索長為 x 尺,竿子長為 y 尺,根據題意,得解得2.863 設該店有客房 x 間，根據題意得，7x+7=9（x-1）,解得 x=8,7X8+7=63.故該店有客房8 間,房客 63 人.3.36 設這位牧羊人趕的這群羊共有x 只,依題意，得 x+x+x+x+仁 100,解得 x=36,故這位牧羊人趕的這群羊共有 36 只.孫子算經 （ 涉及方程 ）1. B 設竹竿的長為 x 尺,根據題意得，竹竿的影長為一丈五尺，即 15 尺,標桿的長為一尺五寸 即 1.5 尺,標桿的影長為五寸 ,即 0.5 尺,則=,解得 x=45. 故選 B.2. B 根據“用一根繩子去量一根長木 ,