1、第一章習題1、 試證：R22中的一組向量（矩陣）線性無關 E11= 1000,E=12 0010,E=21 0100,E=22 000 1解：令x1E11+x2E12+x3E21+x4E22=0100 0010000100x1 0x2 0 x3 1x40 0= x=0,x=0,x=0,x=0 1234 0 02、 試證：所有n階對稱矩陣組成n(n+1)/2維線性空間；所有n階反對稱矩陣組成n(n-1)/2維線性空間。解：所有n階對稱矩陣組成維線性空間的基底是 Ai0j0=(aij);aij=aji1,i=i0,j=j0=,(i0j0=1,2, ,n) 0,其它i,j共n(n+1)/2個。TT1

2、)2=(1,1,-1,-1)，3、 在R4中，求向量=(1,2,T1,在基1=(1,1,1,，3=(1,-1,1,-1)，4=(1,-1,-1,1)下的坐標。 1 1 1 11 1 1 -1 -12X=，用matlab得 答： 化為解方程組 1 -1 1 -11 1 -1 -1 11TT4、 在R221中，求矩陣A= 011,E=2 112在 311,E=4 000下的坐標。 01E1= 111,E=3 00解：A=x1E1+x2E2+x3E3+x4E41 02111=x+x1 2 311111+x3 0011+x4 0000轉化為線性方程，再求解即可。 >> E=1 1 1 1;

3、1 1 1 0;1 1 0 0;1 0 0 0 E =1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0>> A=1 2 0 3 A =1 2 0 3>> z=E'A' z = 3 -3 2 -15、 試證：在R22中矩陣1E1=111,E=2 1011,E=3 1111,E=4 010a=線性無關，并求1cb在基dE1,E2,E3,E4下的坐標。解：令x1E1+x2E2+x3E3+x4E4=0111x1 +x211011+x3 1111+x4 0100= 100 0轉化為線性方程，再求解即可證線性無關。 令x11111+x2 1011+x3

4、 1111+x4 010a= 1cb再求解即可得坐標。 d6、 已知R4中的兩組基1=(1,0,0,0)T，2=(0,1,0,0)T，3=(0,0,1,0)T，4=(0,0,0,1)T與1=(2,1,-1,1)T，2=(0,3,1,0)T，3=(5,3,2,1)T，TT4=(6,6,1,3)求由基i到基j的過渡矩陣。并求向量=(x1,x2,x3,x4)在基j下的坐標。 解：求過渡矩陣。 (1,2,3,4=)21-11031053210100(1,2,3,A4 )6160=103000100001T010021-110010031000A0153216261=1-1310310532166 13

5、，10A=00-1=(x1,x2,x3,x4)在基j下的坐標y。y=A-17、 設線性空間為Rx4，求多項式p(x)=1+2xn-1在基1,(x-1),(x-1)2, ,(x-1)n-1下的坐標。 解：令2n-1p(x)=a01+a1(x-1)+a2(x-1)+ +an-1(x-1)令x=1a0=p(1)。兩邊求導數再令x=1,p'(x)=a+2a(x-1) +12'(1)x=1a=p1+(n-n1a)-1x(-n-21)類推得：a2=12!p''(1),a3=13!p'''(1), ,an-1=1(n-1)!p(n-1)(1)TTTT8

6、、 已知1=(1,2,1,0)，2=(-1,1,1,1)，1=(2,-1,0,1)，2=(1,-1,3,7)求span1,2與span1,2的和與交的基與維數。解：和空間的基即為1,2,1,2的極大無關組，和空間的維數即為1,2,1,2的秩。12(1,2,1,2)=1 0-11112-10111 -10初等行變換 30 70-11002-11011 30即知和空間的維數是3, 1,2,1為其基底。由維數公式dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1 V2) 知dim(V1 V2)=1。下求交空間的基底。令：x11+x22=y11+y221 2 1 01 2 1 0-1111-1

7、1112-1012-1011x1 -1 x23 -y1 7-y20 = 0 0 0-11002-11011 10 3 0 0001000010-14 3011 -10初等行變換 30 70x1-5-1 x242=k ，V V=spanx+x=span121122-3y13 4y219、 設是n維線性空間V的一個線性變換，對某個V有T證,T(),T(), ,T2n-1n-1()0，T()=0，試n()線性無關。2n-1解：令k0+k1T()+k2T()+ +kn-1T()=0乘Tn-1并注意用條件Tn-1()0，T()=0，得k0Tnn-1()=0k0=02n-1n-1再由k1T()+k2T()

8、+ +kn-1T()=0乘Tn-2得k1T()=0k1=02n-1n-1由k2T()+ +kn-1T()=0乘Tn-3得k2T()=0k2=0類推之得ki全為零。10、 設1,2, ,n線性無關，且i=a1i1+a2i2+ +anin a1i a2i=(1,2, ,n)ani(i=1,2, ,s)試證：向量組1,2, ,s的秩矩陣(aij)的列秩。解： 法一，用向量組的相關性與其坐標向量的相關性一致即知命題顯然成立。 法二， 設為其極大無關組。i>r,i=k11+k22+ +krri=(1,2, ,n)i=(1,2, ,n)(k11+k22+ +krr)=k11+k22+ +krrA=(

9、aij)=(1,2, ,s)，r不妨設：1,2, ,r=r(A)，設k11+k22+ +krr=0 k1k2(1,2, ,r)krk1k=0，(, ,)(, ,) 212n12r kr=0 k1 k2(1,2, ,r)krk1 k=0 2=0，即, ,線性無關。即, ,的12s12r kr秩為r。11、 若n維線性空間V中線性變換T使對V中某向量有TT在某一基下的矩陣表示。 解：由題9知, ,T(),T(), ,TT,T(),T(), ,T2n-12n-1n-1()0,T()=0，求n()是V的一組基。2n-1()=,T(),T(), ,T()A01其中 A=0 0001 00001000 0

10、12、 設T在基1=(-1,1T,12)=,1A=1-101210 1(-1,03,=1)TT表示)是,下的矩(0陣,1,1（1） 求T在基1=(1,0,0)T,2=(0,1,0)T,3=(0,0,1)T下的矩陣表示。 （2） 求T的核與值域。解：（1）T(1,2,3)=(1,2,3)C，求C。-1已知T(1,2,3)=(1,2,3)A， 又(1,2,3)=(1,2,3)11-1所以T(1,2,3)=T(1,2,3)1110-101 110-1011-11110-101 110-101 1-1(1,2,3)A=(1,2,3)C11-1(1,2,3)11-1C=1110-110-101A=(1,

11、2,3)C110-1011-10-11A111（2）設=(1,2,3)XT的核，則T=0,T(1,2,3)X=0 (1,2,3)AX=0AX=0，x=0，所以T的核=0。101 T的值域為span(1,2,3)1,(1,2,3)1,(1,2,3)0，可把i代入 -1 2 1再化簡。13、 設T是線性空間R3的線性變換，它在R3中基1,2,3下的矩陣表示是1 A=-12033，求T在基1=1,2=1+2,3=1+2+3下的矩陣表示。 215解：由1=1,2=1+2,3=1+2+311111(1,2,3=)(,12,3)011T(1,2,3=)T(1,2,3)000100123又T(1,2,3)=

12、(1,2,3) -103 215123111T(,12,3)=(1,2,3) -1031 01 215001111-1123111T(1,2,3)=(1,2,3)011 -10301011 21500114、 求矩陣A的列空間R（A）與核空間N（A）。 11602-4（1）A=-45 042- ，（2）A=117 116 305-10解：（1）A的秩為2，A的前兩列線性無關。設A=a1,a2,a3，R(A)=spana1,a2,a3=spana1,a2求N（A）解方程AX=0，其通解即是。 （2）同上15、試證：tr(AB)k=tr(BA)k其中tr(A)表示矩陣A的跡。解：易證trAB=tr

13、BA，由些即有tr(AB)2=tr(ABAB)=trBABA=tr(BA)2n16、試證：tr(Ak)=ki,i是A的特征值。i=111 11解：由tr(A)=kki，以及A的特征值為i即可。17設A2=E，試證：A的特征值只能是1，或1。 解：由A2=E,AX=X2X=X2=1.18設A2=A，試證：A的特征值只能是0或1。 解：由A2=A,AX=X2X=X(-1)=019、已知可逆矩陣A的特征值和特征向量，試求A-1的特征值和特征向量。解：AX=X，X0，又A可逆，知0。故由AX=X-1X=A-1X，即A-1的特征值為，特征向量為X。20、已知A B，試證：tr(A)=tr(B)。解：A

14、B，所以兩者的特征值相同。又tr(A)=21、求矩陣A的特征值與特征向量。 0（1）A=-4-2141000 （2）A=121101i，所以tr(A)=tr(B)。101 （3）A=001010100 （4）A=-20-120-313 021、試證：在R4中，由(1,1,0,0),(1,0,1,1)生成的子空間與(2,-1,3,3),(0,1,-1,-1)生成的子空間相同。22、設T是R3中的線性變換，它定義為T(x,y,z)=(0,x,y)，求T2的象集與核。 23、設T是R3中的線性變換，它定義為T(x,y,z)=(2x-y,y+z,x)，求T在基e1=(1,0,0)e,=2(0,1,e0)=,3(0下的矩陣。,0,1)24、線性變換T在基1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩陣為 1 1-101210 1求T在基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)下的矩陣。25、證明：每一個n維空間都可以表示成n個一