1、三角形內角和綜合習題精選一解答題（共12 小題）1如圖（ 1）， ABC 中， AD 是角平分線，AE BC 于點 E（ 1）若 C=80 °， B=50 °，求 DAE 的度數（ 2）若 C B ，試說明 DAE= （ C B）（ 3）如圖（ 2）若將點 A 在 AD 上移動到 A 處， A E BC 于點 E此時 DAE 變成 DA E，（ 2）中的結論還正確嗎？為什么？2如圖， AD 為 ABC 的中線， BE 為三角形ABD 中線，（ 1） ABE=15 °， BAD=35 °，求 BED 的度數；（ 2）在 BED 中作 BD 邊上的高；（ 3

2、）若 ABC 的面積為 60， BD=5 ，則點 E 到 BC 邊的距離為多少？3如圖， DB 是 ABC 的高， AE 是角平分線， BAE=26 °，求 BFE 的度數4如圖，在 ABC 中， AD 平分 BAC ， P 為線段 AD 上的一個動點，PE AD 交直線 BC 于點 E（ 1）若 B=35 °， ACB=85 °，求 E 的度數；（ 2）當 P 點在線段 AD 上運動時，猜想 E 與 B 、 ACB 的數量關系，寫出結論無需證明5（ 1）如圖 1，有一塊直角三角板 XYZ 放置在 ABC 上，恰好三角板 XYZ 的兩條直角邊 XY 、XZ 分別經

3、過點 B 、C ABC 中， A=30 °，則 ABC+ ACB= _ ， XBC+ XCB= _ （ 2）如圖 2，改變直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的兩條直角邊XY 、 XZ 仍然分別經過B、C，那么 ABX+ ACX 的大小是否變化？若變化，請舉例說明；若不變化，請求出 ABX+ ACX 的大小6如圖 1， ABC 中， A=50 °，點 P 是 ABC 與 ACB 平分線的交點（ 1）求 P 的度數；（ 2）猜想 P 與 A 有怎樣的大小關系？（ 3）若點 P 是 CBD 與 BCE 平分線的交點， P 與 A 又有怎樣的大小關系？（ 4）若點 P 是

4、ABC 與 ACF 平分線的交點， P 與 A 又有怎樣的大小關系？【（ 2）、（ 3）、（ 4）小題只需寫出結論，不需要證明】7如圖，已知 ABC 中， B= E=40°， BAE=60 °，且 AD 平分 BAE （ 1）求證： BD=DE ；（ 2）若 AB=CD ，求 ACD 的大小8如圖， A 、 B 兩點同時從原點 O 出發，點 A 以每秒 x 個單位長度沿 x 軸的負方向運動，點 B 以每秒 y 個單位長度沿 y 軸的正方向運動（ 1）若 |x+2y 5|+|2x y|=0，試分別求出1 秒鐘后 A 、 B 兩點的坐標；（ 2）設 BAO 的鄰補角和 ABO

5、的鄰補角的平分線相交于點P，問：點 A 、 B 在運動的過程中， P 的大小是否會發生變化？若不發生變化，請求出其值；若發生變化，請說明理由；（ 3）如圖，延長 BA 至 E，在 ABO 的內部作射線 BF 交 x 軸于點 C，若 EAC 、 FCA 、 ABC 的平分線相交于點 G，過點 G 作 BE 的垂線，垂足為 H，試問 AGH 和 BGC 的大小關系如何？請寫出你的結論并說明理由9如圖所示，點E 在 AB 上， CE， DE 分別平分 BCD ， ADC ， 1+ 2=90°， B=75 °，求 A 的度數10如圖， AOB=90 °，點 C、D 分別在

6、射線 OA 、OB 上， CE 是 ACD 的平分線， CE 的反向延長線與 CDO 的平分線交于點 F（ 1）當 OCD=50 °（圖 1），試求 F（ 2）當 C、 D 在射線 OA 、 OB 上任意移動時（不與點 O 重合）（圖 2）， F 的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變化，求出 F11如圖， ABC 中， AE 、 BF 是角平分線，它們相交于點O（ ABC C），（ 1）試說明 BOA=90 °+ C；（ 2）當 AD 是高，判斷 DAE 與 C、 ABC 的關系，并說明理由12已知 ABC 中， BAC=100 °（ 1）若 ABC 和 A

7、CB 的角平分線交于點O，如圖 1 所示，試求 BOC 的大小；（ 2）若 ABC 和 ACB 的三等分線 （即將一個角平均分成三等分的射線）相交于 O，O1，如圖 2 所示，試求 BOC的大小；（ 3）如此類推，若 ABC 和 ACB 的 n 等分線自下而上依次相交于O，O1，O2 ，如圖 3 所示，試探求 BOC 的大小與 n 的關系，并判斷當BOC=170 °時，是幾等分線的交線所成的角答案與評分標準一解答題（共12 小題）1如圖（ 1）， ABC 中， AD 是角平分線，AE BC 于點 E（ 1）若 C=80 °， B=50 °，求 DAE 的度數（ 2

8、）若 C B ，試說明 DAE= （ C B）（ 3）如圖（ 2）若將點 A 在 AD 上移動到 A 處， A E BC 于點 E此時 DAE 變成 DA E，（ 2）中的結論還正確嗎？為什么？考點 ：三角形的角平分線、中線和高；角平分線的定義；垂線；三角形內角和定理。專題 ：動點型。分析：（ 1）先根據三角形內角和定理求出 BAC 的度數，再根據角平分線的定義求得的度數，在 ADC 中，利用三角形內角和求出ADC 的度數，從而可得DAE 的度數（ 2）結合第（ 1）小題的計算過程進行證明即可（ 3）利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和先用 B 和 C 表示出 A DE ，再根據三角形

9、的內角和定理可證明 DA E=（ C B）解答： 解：（ 1）在 ABC 中， BAC=180 ° B C=180° 50° 80°=50°； AD 是角平分線， DAC= BAC=25 °；在 ADC 中， ADC=180 ° C DAC=75 °；在 ADE 中， DAE=180 ° ADC AED=15 °（ 2） DAE=180 ° ADC AED=180 ° ADC 90°=90 ° ADC=90 °（ 180° C DAC

10、） =90 °（ 180° C BAC ） =90°180 ° C （180° B C） = （ C B）（ 3）（ 2）中的結論仍正確 A DE= B+ BAD= B+BAC= B+（ 180° B C） =90°+ B C；在 DA E 中， DA E=180 ° A ED ADE=180 ° 90°（ 90°+ B C）=（ C B）點評： 本題考查了三角形的角平分線和高，三角形的內角和定理，垂線等知識，注意綜合運用三角形的有關概念是解題關鍵2如圖， AD 為 ABC 的中線，

11、BE 為三角形ABD 中線，（ 1） ABE=15 °， BAD=35 °，求 BED 的度數；（ 2）在 BED 中作 BD 邊上的高；（ 3）若 ABC 的面積為 60， BD=5 ，則點 E 到 BC 邊的距離為多少？考點 ：三角形的角平分線、中線和高；三角形的面積；三角形內角和定理。分析：（ 1）利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和即可求 BED（ 2） BED 是鈍角三角形，所以BD 邊上的高在BD 的延長線上；（ 3）先根據三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個小三角形，結合題意可求得到 BC 邊的距離即可解答： 解：（ 1） BED 是 ABE 的一個

12、外角， BED= ABE+ BAD=15 °+35°=50°的度數；BED的面積，再直接求點E（ 2）如圖所示， EF 即是 BED 中 BD 邊上的高（ 3） AD 為 ABC 的中線， BE 為三角形 ABD 中線， SBED = SABC = ×60=15； BD=5 ， EF=2SBED÷BD=2 ×15÷5=6 ，即點 E 到 BC 邊的距離為 6點評： 本題主要考查了三角形的高、 中線、 角平分線， 三角形的面積和三角形的內角和等知識，熟記三角形的中線把三角形分成的兩個小三角形面積一定相等注意全面考慮問題，3如圖

13、， DB 是 ABC 的高， AE 是角平分線， BAE=26 °，求 BFE 的度數考點 ：三角形內角和定理；角平分線的定義。分析： 由角平分線的性質知， FAD= BAE=26 °，而 AFD 與 FAD 互余，與 BFE 是對頂角，故可求得 BFE 的度數解答： 解： AE 是角平分線，BAE=26 °， FAD= BAE=26 °， DB 是 ABC 的高， AFD=90 ° FAD=90 ° 26°=64°， BFE= AFD=64 °點評： 本題利用了角平分線的性質和直角三角形的性質求解4如圖

14、，在 ABC 中， AD 平分 BAC ， P 為線段 AD 上的一個動點， PE AD 交直線 BC 于點 E（ 1）若 B=35 °， ACB=85 °，求 E 的度數；（ 2）當 P 點在線段 AD 上運動時，猜想 E 與 B 、 ACB 的數量關系，寫出結論無需證明考點 ：三角形內角和定理；角平分線的定義。專題 ：動點型。分析：（ 1）中，首先根據三角形的內角和定理求得 BAC 的度數，再根據角平分線的定義求得DAC 的度數，從而根據三角形的內角和定理即可求出ADC 的度數，進一步求得E 的度數；（ 2）中，根據第（ 1）小題的思路即可推導這些角之間的關系解答： 解

15、：（ 1） B=35 °， ACB=85 °， BAC=60 °， AD 平分 BAC ， DAC=30 °， ADC=65 °， E=25°；（2）或點評： 運用了三角形的內角和定理以及角平分線的定義特別注意第（2）小題，由于 B 和 ACB 的大小不確定，故表達式應寫為兩種情況5（ 1）如圖 1，有一塊直角三角板 XYZ 放置在 ABC 上，恰好三角板 XYZ 的兩條直角邊 XY 、XZ 分別經過點 B 、C ABC 中， A=30 °，則 ABC+ ACB= 150° ， XBC+ XCB= 90°

16、 （ 2）如圖 2，改變直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的兩條直角邊XY 、 XZ 仍然分別經過B、C，那么 ABX+ ACX 的大小是否變化？若變化，請舉例說明；若不變化，請求出 ABX+ ACX 的大小考點 ：三角形內角和定理。分析： 本題考查的是三角形內角和定理已知A=30 °易求 ABC+ ACB 的度數又因為x 為 90°，所以易求 XBC+ XCB 解答： 解：（ 1） A=30 °， ABC+ ACB=150 °， X=90 °， XBC+ XCB=90 °， ABC+ ACB=150 °； XBC+

17、 XCB=90 °（ 2）不變化 A=30 °， ABC+ ACB=150 °， X=90 °， XBC+ XCB=90 °，ABX+ ACX= （ABC XBC ）+（ACB XCB ）=（ ABC+ ACB ）（ XBC+ XCB ） =150° 90°=60°點評： 此題注意運用整體法計算關鍵是求出ABC+ ACB 6如圖 1， ABC 中， A=50 °，點 P 是 ABC 與 ACB 平分線的交點（ 1）求 P 的度數；（ 2）猜想 P 與 A 有怎樣的大小關系？（ 3）若點 P 是 CBD 與

18、 BCE 平分線的交點， P 與 A 又有怎樣的大小關系？（ 4）若點 P 是 ABC 與 ACF 平分線的交點， P 與 A 又有怎樣的大小關系？【（ 2）、（ 3）、（ 4）小題只需寫出結論，不需要證明】考點 ：三角形內角和定理。專題 ：探究型。分析： 根據 “三角形的外角等于與其不相鄰的兩內角和”和角平分線性質（ 1）利用角平分線的性質和三角形內角和是180 度以及外角的性質求算即可；（ 2）先列出 A 、 ABC 、 ACB 的關系，再列出 BPC 、 PBC、 PCB 的關系，然后列出 ABC 和 PBC、 ACB 和 PCB 的關系；（ 3）利用 P 為 ABC 兩外角平分線的交點

19、， DBC= A+ACB ，同理可得： BCE= A+ ABC ，再利用三角形內角和定理以及外角和定理求出即可；（ 4）列出 A、 ABC 、 ACF 的關系，再列出 PBC、P、 PCF 的關系，然后列出 ABC 和 PBC、 ACF 和 PCF 的關系解答： 解：（ 1） A=50 °， ABC+ ACB=130 °， PBC+ PCB=（ ABC+ ACB ）=×130°=65 °， BPC=180° 65°=115°；（ 2） BPC= A+90 在 ABC 中， A+ ABC+ ACB=180 °

20、;，在 BOC 中， BPC+ PBC+ PCB=180 °， BP，CP 分別是 ABC 和 ACB 的平分線， ABC=2 PBC ， ACB=2 PCB， BPC+ ABC+ ACB=180 °，又 在 ABC 中， A+ ABC+ ACB=180 °， BPC= A+90 °；（ 3）DBC= A+ACB ， P 為 ABC 兩外角平分線的交點，DBC= A+ ACB ，同理可得： BCE= A+ ABC ， A+ ACB+ ABC=180 °，（ ACB+ ABC ）=90° A ， 180° BPC= DBC+

21、BCE= A+ ACB+ A+ ABC ， 180° BPC= A+ ACB+ ABC ，180° BOC= A+90 ° A ，BPC=90°A；（ 4）若 P 為 ABC 和 ACB 外角的平分線BP，CP 的交點，則 BPC 與 A 的關系為： BPC= A A+ ABC= ACF ， PBC+ BPC= PCF， BP， CP 分別是 ABC 和 ACF 的平分線， ABC=2 PBC ， ACF=2 PCF，由以上各式可推得BPC= A點評： 此題主要考查了角平分線及三角形的內角和定理和三角形外角和等知識，熟練地應用其性質得出等量關系，再進行等

22、量代換是解決問題的關鍵7如圖，已知 ABC 中， B= E=40°， BAE=60 °，且 AD 平分 BAE （ 1）求證： BD=DE ；（ 2）若 AB=CD ，求 ACD 的大小考點 ：三角形內角和定理；角平分線的定義。專題 ：計算題；證明題。分析：（ 1）要求證： BD=DE 可以證明 ABD AED ，根據角角邊定理就可以證出；（ 2）求 ACD= AFC DAF ，本題可以轉化為求 AFC ， DAF 的度數解答：（ 1）證明： AD 平分 BAE ， BAD= EAD=30 ° AD=AD B= E=40 °ABD AED BD=ED ；

23、（ 2）解： ADE= ADB=180 ° B BAD=110 °， ADC=70 °， EDC=110 ° 70°=40° EDC= E FD=FE AE=AB=CD ， CF=AF AFC=100 °， ACD=40 °點評： 證明線段相等的問題比較常用的方法是證明所在的三角形全等8如圖， A 、 B 兩點同時從原點 O 出發，點 A 以每秒 x 個單位長度沿 x 軸的負方向運動，點 B 以每秒 y 個單位長度沿 y 軸的正方向運動（ 1）若 |x+2y 5|+|2x y|=0，試分別求出1 秒鐘后 A 、 B

24、 兩點的坐標；（ 2）設 BAO 的鄰補角和 ABO 的鄰補角的平分線相交于點P，問：點 A 、 B 在運動的過程中， P 的大小是否會發生變化？若不發生變化，請求出其值；若發生變化，請說明理由；（ 3）如圖，延長 BA 至 E，在 ABO 的內部作射線 BF 交 x 軸于點 C，若 EAC 、 FCA 、 ABC 的平分線相交于點 G，過點 G 作 BE 的垂線，垂足為 H，試問 AGH 和 BGC 的大小關系如何？請寫出你的結論并說明理由考點 ：三角形內角和定理；非負數的性質：絕對值；角平分線的定義。專題 ：動點型。分析：（ 1）|x+2y 5|+|2x y|=0，非負數的性質得，x+2y

25、 50，2x y0；由此解不等式即可求得，A 、B 兩點同時從原點 O 出發，點A 以每秒 x 個單位長度沿x 軸的負方向運動，點B 以每秒 y 個單位長度沿y 軸的正方向運動， A （ 1， 0），B（ 0， 2）；（ 2）不發生變化 要求 P 的度數， 只要求出 PAB+ PBA 的度數 利用三角形內角和定理得，P=180° PAB PBA ；角平分線性質得，PAB= EAB ， PBA= FBA ，外角性質得， EAB= ABO+90 °， FBA= BAO+90 °，則可求 P 的度數；（ 3）試求 AGH 和 BGC 的大小關系， 找到與它們有關的角如

26、BAC ，作 GM BF 于點 M ，由已知有可得 AGH與 BGC 的關系解答： 解：（ 1）解方程組：得：（3 分） A （ 1， 0），B（ 0， 2）；（ 2）不發生變化， P=180° PAB PBA =180° （ EAB+ FBA ）=180°（ ABO+90 °+ BAO+90 °）=180°（180°+180 ° 90°）=180° 135°=45°；（ 3）作 GM BF 于點 M由已知有： AGH=90 ° EAC=90°（180&#

27、176; BAC ）=BAC ， BGC= BGM CGM=90°ABC （ 90° ACF ）= （ ACF ABC ）= BACAGH= BGC注：不同于此標答的解法請比照此標答給分點評： 考查角平分線性質，三角形內角和定理，非負數的性質等知識9如圖所示，點E 在 AB 上， CE， DE 分別平分 BCD ， ADC ， 1+ 2=90°， B=75 °，求 A 的度數考點 ：三角形內角和定理；平行線的性質。專題 ：計算題。分析： 延長 DE 交 CB 延長線于F，根據已知條件，證得角；再求出 A 的度數即可AD FC；根據兩直線平行，內錯角相等求

28、得 A的鄰補解答： 解：延長DE 交 CB 延長線于F， 1+ 2=90°， DEC=90 °，即 CE ED ， ECB+ F=90°， 2+ F=90° 1= ADE ， ADF= F， AD FC， A= EBF， B=75 °， A=180 ° 75°=105°點評： 本題主要考查平分線的性質，由已知能夠注意到AD FC，這是解題的關鍵10如圖， AOB=90 °，點 C、D 分別在射線 OA 、OB 上， CE 是 ACD 的平分線， CE 的反向延長線與 CDO 的平分線交于點 F（ 1）當

29、OCD=50 °（圖 1），試求 F（ 2）當 C、 D 在射線 OA 、 OB 上任意移動時（不與點 O 重合）（圖 2）， F 的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變化，求出 F考點 ：三角形內角和定理。分析：（ 1）根據三角形的內角和是180°，可求 CDO=40 °，所以 CDF=20 °，又由平角定義，可求 ACD=130 °，所以 ECD=65 °，又根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角之和，可求 ECD= F+ CDF ， F=45 度（ 2）同理可證， F=45 度解答： 解：（ 1） AOB=90 °

30、OCD=50 °， CDO=40 ° CE 是 ACD 的平分線DF 是 CDO 的平分線， ECD=65 °CDF=20 ° ECD= F+ CDF， F=45°（ 2）不變化， F=45° AOB=90 °， CDO=90 ° OCD ACD=180 ° OCD CE 是 ACD 的平分線DF 是 CDO 的平分線， ECD=90 °OCD CDF=45 ° OCD ECD= F+ CDF， F=45°點評： 本題考查了三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角之和，以及三角形的

31、內角和是 180°的定理題目難度由淺入深，由特例到一般，是學生練習提高的必備題11如圖， ABC 中， AE 、 BF 是角平分線，它們相交于點O（ ABC C），（ 1）試說明 BOA=90 °+ C；（ 2）當 AD 是高，判斷 DAE 與 C、 ABC 的關系，并說明理由考點 ：三角形內角和定理；三角形的角平分線、中線和高。分析：（ 1）先利用三角形內角和定理可求 BOA=180 °（ CAB+ CBA ），以及 CAB+ CBA=180 ° C，即可得出 BOA=180 °（ 180° C）整理得出即可；（ 2）根據角平分線定義可求 CAE= BAE=（ 180° C ABC ），然后利用三角形外角性質，可先求AED ，再次利用三角形外角性質，容易求出解答： 解：（ 1）理由： ABCDAE 即可中， AE 、 BF 是角平分線， BOA=180 °（ CAB+ CBA ）， CAB+ CBA=180 ° C， BOA=180 °（ 180° C）=90°+ C；（ 2）關系： DAE=（ ABC C）理由： CAB