1、實驗3 導數及偏導數計算實驗目的 進一步理解導數概念及其幾何意義.學習matlab的求導命令與求導法.實驗內容 學習matlab命令. 建立符號變量命令sym和syms調用格式: x=sym(x)， 建立符號變量x； syms x y z ， 建立多個符號變量x，y，z； matlab求導命令diff調用格式: diff(函數) ， 求的一階導數； diff(函數， n) ， 求的n階導數(n是具體整數)； diff(函數，變量名)， 求對的偏導數； diff(函數， 變量名，n) ，求對的n階偏導數；matlab求雅可比矩陣命令jacobian，調用格式: jacobian(函數；函數； 函

2、數， )給出矩陣: 導數概念. 導數是函數的變化率，幾何意義是曲線在一點處的切線斜率. （）點導數是一個極限值. 例，用定義計算. 解:在某一點的導數定義為極限: 我們記，輸入命令: syms h；limit(exp(0+h)-exp(0)/h，h，0)得結果:ans=可知 （）導數的幾何意義是曲線的切線斜率. 例在處()的切線及若干條割線，觀察割線的變化趨勢. 解:在曲線上另取一點，則的方程是: .即 取，分別作出幾條割線. h=3，2，1，0.1，0.01；a=(exp(h)-1)./h；x=-1:0.1:3； plot(x，exp(x)，r)；hold on for i=1:5； plo

3、t(h(i)，exp(h(i)，r.) plot(x，a(i)*x+1) end axis square 作出在處的切線plot(x，x+1，r)從圖上看，隨著與越來越接近，割線越來越接近曲線的割線 求一元函數的導數. （）的一階導數. 例的導數. 解:打開matlab指令窗，輸入指令: dy_dx=diff(sin(x)/x).得結果: dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x2. matlab的函數名允許使用字母、空格、下劃線及數字，不允許使用其他字符，在這里我們用dy_dx表示. 例的導數. 解: 輸入命令: dy_dx=diff(log(sin(x).得結果: dy_dx=cos

4、(x)/sin(x).在matlab中，函數用log(x)表示，而log10(x)表示. 例的導數. 解: 輸入命令:dy_dx=diff(x2+2*x)20).得結果: dy_dx=20*(x2+2*x)19*(2*x+2). 注意輸入時應為2*x. 例的導數. 解: 輸入命令: dy_dx=diff(xx).得結果: dy_dx =xx*(log(x)+1). 利用matlab 命令diff一次可以求出若干個函數的導數. 例3.7.求下列函數的導數: 1. 2. 3. 4. 解: 輸入命令: a=diff(sqrt(x2- 2*x+5)，cos(x2)+2*cos(2*x)，4(sin(x

5、)，log(log(x).得結果: a= 1/2/(x2-2*x+5)(1/2)*(2*x-2)，-2*sin(x2)*x-4*sin(2*x)， 4sin(x)*cos(x)*log(4)， 1/x/log(x). dy1_dx=a(1). dy1_dx=1/2/(x2-2*x+5)(1/2)*(2*x-2). dy2_dx=a(2). dy2_dx=-2*sin(x2)*x-4*sin(2*x). dy3_dx=a(3). dy3_dx=4sin(x)*cos(x)*log(4). dy4_dx=a(4). dy4_dx=1/x/log(x). 由本例可以看出，matlab函數是對矩陣或向

6、量進行操作的，a(i)表示向量a的第i個分量. （）參數方程所確定的函數的導數.設參數方程確定函數，則的導數. 例，求.解: 輸入命令: dx_dt=diff(a*(t-sin(t)；dy_dt=diff(a*(1-cos(t)； dy_dx=dy_dt/dx_dt.得結果: dy_dx=sin(t)/(1-cos(t).其中分號的作用是不顯示結果. 求多元函數的偏導數. 例 u=求 u的一階偏導數.解: 輸入命令: diff(x2+y2+z2)(1/2)， x).得結果: ans=1/(x2+y2+z2)(1/2)*x.在命令中將末尾的x換成y將給出y的偏導數: ans=1/(x2+y2+z

7、2)(1/2)*y.也可以輸入命令: jacobian(x2+y2+z2)(1/2)，x y).得結果: ans=1/(x2+y2+z2)(1/2)*x， 1/(x2+y2+z2)(1/2)*y給出矩陣. 例.求下列函數的偏導數: 1. 2. . 解: 輸入命令: diff(atan(y/x).得結果: ans=-y/x2/(1+y2/x2).輸入命令: diff(atan(y/x)， y).得結果: ans=1/x/(1+y2/x2).輸入命令: diff(xy， x).得結果: ans=xy*y/x.輸入命令: diff(xy， y).得結果: ans=xy*log(x). 使用jacob

8、ian命令求偏導數更為方便.輸入命令: jacobian(atan(y/x)，xy，x，y).得結果: ans= -y/x2/(1+y2/x2)， 1/x/(1+y2/x2) xy*y/x， xy*log(x). 求高階導數或高階偏導數. 例3. ，求.解:輸入指令: diff(x2*exp(2*x)，x，20).得結果: ans = 99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*x2*exp(2*x) 例，求.解:輸入命令: diff(x6-3*y4+2*x2*y2，x，2)可得到: ans=30*x4+4*y2.將命令中最后一個x換為y得: a

9、ns=-36*y2+4*x2.輸入命令: diff(diff(x6-3*y4+2*x2*y2，x)，y)可得: ans=8*x*y同學們可自己計算比較它們的結果.注意命令:diff(x6-3*y4+2*x2*y2，x，y)，是對y求偏導數，不是求. 求隱函數所確定函數的導數或偏導數 例，求 解:，先求，再求.輸入命令: df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，x)得到: df_dx=1/x+y/x2*exp(-y/x).輸入命令: df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，y)得到: df_dy=-1/x*exp(-y/x)輸入命令:

10、dy_dx=-df_dx/df_dy可得所求結果: dy_dx=-(-1/x-y/x2*exp(-y/x)*x/exp(-y/x). 例3. ，求解:輸入命令: a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(z*x)，x，y，z)可得矩陣 a= cos(x*y)*y+(1+tan(z*x)2)*z，cos(x*y)*x-sin(y*z)*z， -sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)2)*x.輸入命令: dz_dx=-a(1)/a(3)得: dz_dx=(-cos(x*y)*y-(1+tan(z*x)2)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)2)*x)輸入命令: dz_dy=-a(2)/a(3)得: dz_dy= (-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan