1、求軌跡方程的常用方法（一）求軌跡方程的一般方法：1. 定義法： 如果動點 P 的運動規律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據已知條件，待定方程中的常數，即可得到軌跡方程。2. 直譯法： 如果動點 P 的運動規律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點P 滿足的等量關系易于建立，則可以先表示出點P 所滿足的幾何上的等量關系，再用點P 的坐標（ x， y）表示該等量關系式，即可得到軌跡方程。3.參數法： 如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發動點P 運動的某個幾何量 t ，以此量作為參變數，分別建立P 點坐標 x，y 與該參數t 的函

2、數關系x f （ t ），y g（ t ），進而通過消參化為軌跡的普通方程F（x， y） 0。4.代入法（相關點法） ：如果動點P 的運動是由另外某一點P' 的運動引發的，而該點的運動規律已知， （該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出P（x， y），用（ x， y）表示出相關點P' 的坐標，然后把P' 的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點P 的軌跡方程。5：交軌法： 在求動點軌跡時，有時會出現要求兩動曲線交點的軌跡問題，這種問題通常通過解方程組得出交點（含參數）的坐標，再消去參數求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數，也可直接消去參數得到軌跡方程），該法經常與

3、參數法并用。一：用定義法求軌跡方程例 1：已知ABC 的頂點A， B 的坐標分別為（-4 ， 0），（ 4， 0），C為動點，且滿足sin Bsin A5 sin C , 求點C的軌跡。4【變式】：已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P 的軌跡方程。二：用直譯法求軌跡方程此類問題重在尋找數量關系。例 2：一條線段兩個端點 A 和 B 分別在 x 軸和 y 軸上滑動，且 BM=a ，AM=b ，求 AB 中點 M 的軌跡方程？【變式】 :動點 P（ x,y）到兩定點A（ 3，0）和 B（ 3，0）的距離的比等于2（即 | PA |2 ），|PB|求動點 P 的軌跡

4、方程？三：用參數法求軌跡方程此類方法主要在于設置合適的參數， 求出參數方程，最后消參，化為普通方程。注意參數的取值范圍。例 3 過點 P（ 2，4）作兩條互相垂直的直線 l 1，l 2，若 l 1 交 x 軸于 A 點， l 2 交 y 軸于 B 點，求線段 AB的中點 M的軌跡方程。四：用代入法求軌跡方程x2y2例 4.點B是橢圓 a2b21上的動點，A(2a，0)為定點，求線段AB的中點M的軌跡方程。【變式】 如圖所示，已知 P(4， 0)是圓 x2+y2=36 內的一點， A、B 是圓上兩動點，且滿足 APB=90°，求矩形 APBQ 的頂點 Q 的軌跡方程yB Q RAoPx

5、五、用交軌法求軌跡方程例 5. 已知橢圓 x2y21（a b o）的兩個頂點為A1 ( a,0) , A2 (a,0) ，與 y 軸平行的直a2b2線交橢圓于P1、 P2，求 A1P1 與 A2P2 交點 M的軌跡方程 .六、用點差法求軌跡方程2x2例 6.已知橢圓y1 ，11（1）求過點 P，且被 P 平分的弦所在直線的方程；2 2（ 2）求斜率為 2 的平行弦的中點軌跡方程；（ 3）過 A 2，1 引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；練習1. 在ABC 中， B，C坐標分別為（-3 ，0），（ 3，0），且三角形周長為16，則點A 的軌跡方程是 _.2.兩條直線 x my 1 0 與

6、 mx y10 的交點的軌跡方程是_.3.已知圓的方程為 (x-1) 2+y 2=1, 過原點O 作圓的弦0A ，則弦的中點M 的軌跡方程是_4.當參數 m 隨意變化時，則拋物線 yx 22m1 x m21的頂點的軌跡方程為_。5:點 M 到點 F（ 4，0）的距離比它到直線x5 0的距離小 1，則點 M 的軌跡方程為 _。6:求與兩定點 O O1 ， 0 、 A 3， 0 距離的比為1： 2 的點的軌跡方程為 _7.拋物線y 24x 的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于A 、 B兩點，動點C在拋物線上，求ABC重心P 的軌跡方程。8. 已知動點 P 到定點 F（ 1， 0）和直線

7、x=3 的距離之和等于 4，求點 P 的軌跡方程。9. 過原點作直線l 和拋物線 yx 24x 6 交于 A、B 兩點，求線段AB的中點 M的軌跡方程。參考答案例 1：已知ABC 的頂點A， B 的坐標分別為（-4 ， 0 ），（ 4， 0 ）， C 為動點，且滿足sin B5sin C , 求點 C的軌跡。sin A45 sin C , 可知 b a5 c【解析】由 sin Bsin A10，即 | AC | |BC | 10，滿足橢44圓的定義。令橢圓方程為x2y 21，則 a'5, c'4b'3 ，則軌跡方程為a ' 2b' 2x2y21 （ x5

8、) ，圖形為橢圓（不含左，右頂點）。259【變式 1】: 1:已知圓的圓心為 M，圓的圓心為 M，一動12圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P 的軌跡方程。解：設動圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，。動圓圓心P 的軌跡是以M1、 M2 為焦點的雙曲線的右支，c=4，a=2， b2=12。故所求軌跡方程為2: 一動圓與圓O： x2y 21 外切，而與圓C： x 2y 26x80 內切，那么動圓的圓心 M的軌跡是：A：拋物線B：圓 C：橢圓 D ：雙曲線一支【解答】 令動圓半徑為|MO|R1R，則有R，則 |MO|-|MC|=2 ，滿足雙曲線定義。 故選 D。|MC|1二：用直譯法求曲線軌跡方程此類

9、問題重在尋找數量關系。例 2：一條線段AB 的長等于2a,兩個端點A 和 B 分別在 x 軸和 y 軸上滑動，求 AB 中點 P 的軌跡方程？解 設 M 點的坐標為 ( x, y) 由平幾的中線定理：在直角三角形 AOB 中， OM=112a,AB2a2x 2y 2a, x2y 2a 2M 點的軌跡是以O 為圓心， a 為半徑的圓周 .【變式 2】: 動點 P（ x,y）到兩定點 A（ 3，0）和 B（3，0）的距離的比等于2（即 |PA|2 ），|PB|求動點 P 的軌跡方程？【解答】 |PA|=(x 3) 2y 2 ,| PB |( x3) 2y 2代入 |PA|( x3) 2y 22(

10、x 3) 2y 24( x 3) 24y 22 得3) 2y 2|PB|( x化簡得（ x 5） 2+y2=16 ，軌跡是以（5， 0）為圓心， 4 為半徑的圓 .三：用參數法求曲線軌跡方程此類方法主要在于設置合適的參數， 求出參數方程，最后消參，化為普通方程。注意參數的取值范圍。例 3 過點 P（ 2，4）作兩條互相垂直的直線 l 1，l 2，若 l 1 交 x 軸于 A 點， l 2 交 y 軸于 B 點，求線段 AB的中點 M的軌跡方程。【解析】分析 1：從運動的角度觀察發現，點M 的運動是由直線 l 1 引發的，可設出 l 1 的斜率 k 作為參數，建立動點M坐標（ x，y）滿足的參數

11、方程。解法1：設 M（ x， y），設直線 l 1 的方程為 y 4 k（ x 2），（k）由l1l 2，則直線 l 2的方程為 y41 ( x 2)4 ，0)，kl1與x軸交點 A的坐標為 (2kl與y軸交點B的坐標為 ，2 )，2(0 4k M為 AB的中點，422xk12k (k為參數 )241yk22k消去 k，得 x 2y 5 0。另外，當 k 0 時， AB 中點為 M（ 1，2），滿足上述軌跡方程；當 k 不存在時， AB中點為 M（ 1，2），也滿足上述軌跡方程。綜上所述， M的軌跡方程為 x 2y5 0。分析 2：解法 1 中在利用 k1k2 1 時，需注意 k1、 k2 是

12、否存在，故而分情形討論，能否避開討論呢？只需利用PAB為直角三角形的幾何特性：1|MP| AB|解法 2：設 M（ x，y），連結 MP，則 A（ 2x， 0）， B（ 0， 2y）， l 1 l 2， PAB為直角三角形由直角三角形的性質 ，|MP |1|AB|2(x2) 2( y4) 21 ·(2x)2(2 y)22化簡，得 x 2y 5 0，此即 M的軌跡方程。分析 3：設 M（ x， y），由已知 l1 l 2，聯想到兩直線垂直的充要條件：k1k2 1，即可列出軌跡方程，關鍵是如何用M點坐標表示 A、B 兩點坐標。事實上，由M為 AB 的中點，易找出它們的坐標之間的聯系。解法

13、 3：設 M（ x，y）， M為 AB中點， A（ 2x， 0）， B（ 0， 2y）。又 l1， l 2 過點 P（ 2，4），且 l 1 l 2 PAPB，從而 kPA·kPB 1，而kPA40 ，k42 y22xPB20442y1，化簡，得 x2 y5 02·22x y 軸，此時 A（ 2， 0），B（ 0， 4）注意到 l x 軸時， l21中點 M（ 1， 2），經檢驗，它也滿足方程x2y 5 0綜上可知，點M的軌跡方程為x 2y 5 0。【變式3】過圓 O：x2 +y 2= 4外一點 A （4， 0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC 的中點 M 的軌跡。解法

14、一：“幾何法”設點 M 的坐標為（ x,y ）,因為點 M是弦 BC 的中點，所以 OM BC,所以 |OM | | | |， 即 (x2 +y2)+(x )2 +y 2 =16化簡得：（ x 2） 2+ y2 =4. 由方程 與方程 x2 +y 2= 4得兩圓的交點的橫坐標為1，所以點 M 的軌跡方程為（ x 2） 2+ y 2 =4（ 0 x 1）。所以 M 的軌跡是以（ 2， 0）為圓心，2 為半徑的圓在圓 O 內的部分。解法二：“參數法”設點 M 的坐標為（ x,y ）， B（ x1,y1） ,C（ x2,y2）直線 AB 的方程為 y=k(x 4),由直線與圓的方程得（1+k 2）

15、x2 8k2x +16k 2 4=0.(*),由點 M為 BC的中點，所以x1x24k 2.(1) , 又 OM BC ，所以x=21k2yk= .(2) 由方程（ 1）（ 2）x得 k2 1消去 k 得（ x 2） 2+ y2 =4,又由方程（ * ）的 0,所以 x 1.所以點 M 的軌跡方程為（ x 2） 2+ y 2 =43（ 0x 1）所以 M 的軌跡是以（ 2， 0）為圓心，2 為半徑的圓在圓O 內的部分。四：用代入法等其它方法求軌跡方程例 4.點 是橢圓 x2y2上的動點，A a， 為定點，求線段AB的中點M的Ba2b21(20)軌跡方程。分析： 題中涉及了三個點 A、 B、 M

16、，其中 A 為定點，而 B、 M為動點，且點B 的運動是有規律的，顯然M的運動是由 B 的運動而引發的，可見M、 B 為相關點，故采用相關點法求動點 M的軌跡方程。【解析】 設動點 M的坐標為（ x， y），而設 B 點坐標為（ x0， y0）則由 M為線段 AB中點，可得x02axx02x 2a2y00y02yy2即點 B 坐標可表為（2x2a， 2y）又點 B(x ，y)在橢圓 x00a2y21上2b 2x02y0 21 從而有(2x 2a) 2(2 y) 2a 2b 2a2b 21，整理 ， 得動點 M 的軌跡方程為 4( xa) 24 y 21a2b2【變式 4】如圖所示，已知P(4，

17、0)是圓 x2+y2=36 內的一點， A、B 是圓上兩動點，且滿足 APB=90 °，求矩形APBQ 的頂點 Q 的軌跡方程yB Q R【解析】：設 AB 的中點為R，坐標為 (x,y)，則在Rt ABP中， |AR|=|PR|又因為R 是弦 AB 的中點，依垂徑定理在Rt OAR 中， |AR|2=|AO |2 |OR|2=36 (x2+y2)AoPx又|AR|=|PR|= ( x 4)22y所以有 (x 4)2+y2=36 (x2+y2),即 x2+y24x 10=0因此點 R 在一個圓上， 而當 R 在此圓上運動時， Q 點即在所求的軌跡上運動設 Q(x,y)，R(x1,y1

18、)，因為 R 是 PQ 的中點，所以 x1=x 4 , yy 0,122代入方程 x2+y2 4x 10=0,得( x 4 ) 2( y ) 24 x 4 10=0222整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程五、用交軌法求軌跡方程x2y2a2b2 1六、用點差法求軌跡方程分析： 此題中四問都跟弦中點有關，因此可考慮設弦端坐標的方法解： 設弦兩端點分別為M x1， y1 ， N x2， y2，線段 MN 的中點 R x， y ，則22得xxxx2 yyyy0 x12y1212121212，22，由題意知 x1x2 ，則上式兩端同除以x1 x2 ，有x22y22y1y2，x1x2 2 y1y

19、20 ，x1 x2 2xx1x2y1y2，2y將代入得 x 2 y y1y20 x1x2（1）將 x1，y1代入，得 y1y21 ，故所求直線方程為：2x4 y30 22x1x22將代入橢圓方程x 22 y22 得 6 y 26y10 ，36 4610符合題意，442x4 y30 為所求（2）將 y1y22 代入得所求軌跡方程為：x4 y0 （橢圓內部分）x1x2（3）將 y1y2y1 代入得所求軌跡方程為：x 22 y22x2 y0 （橢圓內部分）x1x2x2練習 1【正確解答】 ABC為三角形，故 A，B，C 不能三點共線。 軌跡方程里應除去點(5,0).(5,0) ，即軌跡方程為x 2y

20、 21( x5)25162.兩條直線 xmy10 與 mxy10 的交點的軌跡方程是.【解答】 :直接消去參數 m 即得 (交軌法 ): x 2y2xy03: 已知圓的方程為(x-1) 2+y2=1, 過原點O 作圓的弦0A ，則弦的中點M的軌跡方程是.【解答】:令 M點 的 坐 標 為 ( x, y), 則 A的坐標為(2x,2 y) , 代 入 圓 的 方 程 里 面得: ( x1 ) 2y21 ( x0)244:當參數 m 隨意變化時，則拋物線yx 22m1 xm21 的頂點的軌跡方程為【分析】：把所求軌跡上的動點坐標x，y 分別用已有的參數m 來表示，然后消去參數m，25便可得到動點的

21、軌跡方程。【解答】：拋物線方程可化為xm1y m24它的頂點坐標為 xm1 ，ym524消去參數 m 得： yx34故所求動點的軌跡方程為4 x 4y30 。5:點 M 到點 F（ 4， 0）的距離比它到直線x 50 的距離小1，則點 M 的軌跡方程為【分析】：點 M 到點 F（ 4，0）的距離比它到直線x 50 的距離小1，意味著點 M 到點 F（4， 0）的距離與它到直線x 40 的距離相等。由拋物線標準方程可寫出點M 的軌跡方程。【解答】：依題意，點 M 到點 F（ 4，0）的距離與它到直線x4 的距離相等。則點 M的軌跡是以 F（ 4，0）為焦點、 x4 為準線的拋物線。故所求軌跡方程為y216 x 。6:求與兩定點O O1 ， 0 、 A 3， 0 距離的比為1： 2 的點的軌跡方程為_【分析】 : 設動點為 P，由題意PO1 ，則依照點 P 在運動中所遵循的條件，可列出等量PA2關系式。PO1【解答】：設 P x， y 是所求軌跡上一點，依題意得PA2