1、.(2) 如圖9-42(a),(b),在xOy面上的投影為：圖9-42(a)圖9-42(b)(3) yOz平面上曲線繞z軸旋轉成的曲面方程為與平面圍成閉區域如圖9-43（a）.我們用“先二后一”方法計算這個三重積分.用豎標為z的平面截得平面閉區域.于是：,. 利用柱面坐標計算下面的三重積分(1) 例9.35中(3);(2)，是曲面及所圍區域.解 (1) 如圖9-43（a）,由消去z,得.在xOy面上的投影區域.圖9-43(b)令，則 , .(2) 如圖9-44,由消去z,得.在xOy面上的投影域為：.令，則 利用球面坐標計算三重積分，其中是球面所圍成的閉區域.解 如圖9-45.令，則球面的球面

2、坐標方程為 ，積分區域為,=注意 采用柱面坐標計算三重積分時，化積分域為柱面坐標形式，一般先把區域向xOy面上投影,得投影區域，在內任取一點作平行z軸的直線由下向上穿過，穿入的邊界曲面為z的積分下限,穿出的邊界曲面為z的積分上限.再根據圖形特點確定與的變化范圍.若采用球面坐標，化積分區域為球面坐標形式時，用從原點出發的射線穿過,穿入的邊界曲面為r的積分下限,穿出的邊界曲面為r的積分上限.再根據的圖形特點確定與的變化范圍. 選用適當坐標系計算下列三重積分(1),其中是由曲面及所圍成的區域；(2),其中由不等式所確定.解 (1) 如圖9-46.利用柱坐標,令 ,曲面與的交線在柱面坐標系下的方程為：

3、或,即.在xOy面上的投影域為，=圖9-47(2) 如圖9-47采用球面坐標，令,則.例9.39 計算,其中.解 利用球面坐標，則,常見錯解 錯誤原因 因為三重積分的積分區域是空間立體，被積函數不僅在球面上取值而且在球體內取值.上述解法只考慮了在球面上取值，因此第一步是錯誤的.例9.40 求.解 積分區域,如圖9-48改用球面坐標則圖9-48+.例9.41設其中區域為球體，為可導函數，求.解 利用球面坐標系，令，則，所以 例9.42 設函數是有界連續函數，：，求.解 因為積分域：，所以三重積分的值是t的函數,記作,現在求.利用球面坐標.4.三重積分的應用例9.43 利用三重積分計算下列曲面所圍

4、立體的體積(1)及;(2) 及（含z軸的部分）.解 (1) 如圖9-49.由消去z,得.于是在xOy面上的投影域為：,利用柱坐標系，令,則, (2) 如圖9-50,利用球面坐標系，令 ，則的邊界曲面的方程分別為：與.圖9-50=.圖9-51例9.44 計算，是與公共部分.解 由消去z,得.在xOy面上的投影域為：利用柱面坐標，令，則，.=.例9.45設球體內，各點處的體密度等于該點到原點的距離的平方，試求(1)該球體的質量；(2)該球體的重心.解 設球體占有空間區域,其圖形如圖9-52.在球內處的體密度.利用球面坐標,令,在球坐標系下.由對稱性可知重心在軸上，即,所以球體重心為.例9.46 一

5、均勻物體，密度為常量，占有的閉區域是由曲面和平面,所圍成.(1) 求物體的重心; (2) 求物體關于z軸的轉動慣量.解 (1)作的圖形，如圖9-53由對稱性及均勻性知由對稱性及均勻性知.圖9-53.(2) 由對稱性.例9.47 求均勻柱體對處于點處的單位質量的質點的引力.解 設柱體占有空間域，其圖形如圖9-54.用元素法求引力.在柱體內任取一直徑很小的閉區域，（其體積也記作）在內任取一點，柱體中相應于的部分,對質點M的引力大小近似為:.引力方向與一致,其中,G為引力常數.于是的元素，由柱體的對稱性易知:，,故所求引力為：三、自測試題 （滿分100分，時間120分鐘 ）一、 選擇題（每小題3分）

6、1 設在區域連續，則=（ ）.(A) (B) （C） (D) 2. 設平面區域D由圍成，若,則之間大小的順序為()（）（）（） （）3. 不用計算，根據二重積分的幾何意義選擇正確答案填入括號（ ）其中D由及所圍成.(A) （）（）（）4. 更換積分的次序，則I= ( ) (A) ；（）；（）；（）.5. 累次積分可以寫成( )(A) ;（）；（）； （）二、填空（每小題3分）1. 極坐標系下的面積元素=_，球坐標系下的體積元素=_，柱坐標系下的體積元素=_.2. 若區域則的二次積分表達式為_3. 估計積分值，_其中4. 將二重積分化為極坐標系下的二次積分,其中，它是_.5. 將三重積分其中由旋轉拋物面及平面圍成，化為柱面坐標系下的三次積分，它是_.三、 計算下列各題（每小題8分）12. 其中由平面及拋物柱面所圍成.3. ,其中四、改變積分次序.(10分)五、求由曲面及所圍成的均勻立體的重心.（分）六、求由曲面及及所圍成的立體的體積.（分）七、求錐面