1、曲線的圓弧擬合數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)踐之一一、問(wèn)題的提出在實(shí)踐中常出現(xiàn)需要將曲線擬合成圓弧的場(chǎng)合,例如數(shù)控機(jī)床通常只能作直線、圓弧或圓柱螺旋線的運(yùn)動(dòng),因此必須把不同曲線軌跡轉(zhuǎn)化成機(jī)床運(yùn)動(dòng)能夠接受的形式。我們可以把直線看著為半徑值非常大的圓弧,而圓柱螺旋線在圓柱底面的投影就是一段圓弧,因此下面著重由簡(jiǎn)到繁地介紹曲線擬合成圓弧的幾種方法。二、橢圓曲線的擬合橢圓曲線是一種簡(jiǎn)單常見的曲線。現(xiàn)以橢圓曲線長(zhǎng)軸為對(duì)稱軸,取曲線的一半。這部分曲線可以用3圓弧法或5圓弧法擬合。這部分曲線擬合后,另部分曲線以長(zhǎng)軸為對(duì)稱,其擬合結(jié)果也容易得到了。 3圓弧法如圖1示,3圓弧法用3段相切圓弧擬合橢圓曲線段。a 設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為a

2、,短半軸為b 。,則各圓弧半徑計(jì)算公式如下:R 1=ab a b a b a 2(2222+-+R 2=b b b a b a b a +-+-2(2222R 3=R 1各圓心坐標(biāo)為:0,(;,0(;0,(132211a R O R b O R a O -用3圓弧法擬合橢圓曲線,計(jì)算方法簡(jiǎn)單,擬合圓弧段少,但對(duì)于長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)度相差較大的橢圓曲線,擬合精度降低,如采用5圓弧法擬合,可以取得比較好的效果。 5圓弧法如圖2示,5圓弧法用5段相切圓弧擬合橢圓曲線段。 同樣設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a ,短半軸為b 。 各圓弧半徑計(jì)算公式如下: R 1=a b /2; R 2=abR 3=b a /2; R 4=

3、R 2 R 5= R 1各圓心坐標(biāo)為:=arc cos(32312212322312O O O O O O O O O O -+=arc tan(bR R a -31s i n (232-=R R x b R R R y +-=3232c o s (與3圓弧法相比,5圓弧擬合比3圓弧更接近理論曲線,因此5圓弧法有較高的擬合精度。三、復(fù)雜曲線的擬合在這里復(fù)雜曲線是指非圓函數(shù)曲線和列表曲線。非圓函數(shù)曲線通過(guò)計(jì)算可轉(zhuǎn)化成列表曲線。列表曲線由一系列有序點(diǎn)列P 1(x 1,y 1,P 2(x 2,y 2,P i (x i ,y i ,P n (x n ,y n 組成,可列成表格形式。列表曲線的數(shù)據(jù)也可以

4、通過(guò)檢測(cè)工具對(duì)實(shí)物逐點(diǎn)測(cè)量后獲得。下面介紹兩種較常見的列表曲線擬合方法:雙圓弧法雙圓弧處理方法依次取列表曲線的4個(gè)點(diǎn),如圖3所示。 要確定P2P3之間的圓弧段P2T和TP3,必須給出P1,P2,P3和P4共4個(gè)點(diǎn)。 P1 P4點(diǎn)的分布有多種情況,但經(jīng)過(guò)適當(dāng)處理后可歸納成圖4所示的兩種情況。 情況是P1,P4點(diǎn)在P2,P3點(diǎn)連線的同側(cè),所擬合的圓弧也在連線的同側(cè),稱為同側(cè)圓弧擬合(見圖5。情況的P1,P4點(diǎn)在P2,P3點(diǎn)連線的異側(cè),所擬合的兩條圓弧彼此外切,稱為異側(cè)圓弧擬合。 同側(cè)圓弧擬合的計(jì)算公式推導(dǎo)如下:如圖5示,過(guò)P 2點(diǎn)作P 1P 2P 3的角平分線P 2A 2的垂線P 2M ,過(guò)P 3

5、點(diǎn)作P 2P 3P 4的角平分線P 3A 3的垂線P 3M ,過(guò)P 2點(diǎn)再作P 3P 2M 的角平分線P 2N ,過(guò)P 3點(diǎn)作P 2P 3M 的角平分線P 3N ,過(guò)P 2N 與P 3N 的交點(diǎn)N 作P 2P 3的垂線NP ,NP 與P 2A 2和P 3A 3分別交于O 2、O 3點(diǎn),分別以O(shè) 2、O 3為圓心,O 2P 2、O 3P 3為半徑作圓弧C 2、C 3,2圓弧相切于N 點(diǎn),且P 2M 和P 3M 也分別在P 2點(diǎn)和P 3點(diǎn)與C 2、C 3相切,則弧P 2N 和弧NP 3構(gòu)成了P 2、P 3給定點(diǎn)之間的逼近線。設(shè)C 2、C 3圓弧的半徑分別為r 2、r 3,則可推導(dǎo)出:h v u v

6、 d v u v d r /sin (cos sin cos (sin cos 2-+=h v q v d v q v d r /sin (cos sin cos (sin cos 3-+=式中,sin (cos cos (sin cos (sinsin (cos v u v q v u v q h -+-+-=;d 是P 2點(diǎn)和P 3點(diǎn)之間的距離;q 、u 和v 分別是矢量22A P 、33A P 及32P P 與x 軸正向之間的夾角。因此,由給出的P 1P 4點(diǎn)座標(biāo)值,可以確定d 、q 、u 、v 的值,這樣就可以確定r 2、r 3。根據(jù)已知數(shù)據(jù)再確定圓心O 2、O 3及N 點(diǎn)的座標(biāo)值。異

7、側(cè)圓弧計(jì)算公式的推導(dǎo)類似同側(cè)圓弧,在此不再贅述。雙圓弧擬合法可保證圓弧逼近線過(guò)給出點(diǎn),并在各點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。它的計(jì)算方法簡(jiǎn)單,適應(yīng)性強(qiáng),有較好的擬合精度。缺點(diǎn)是擬合后的圓弧段數(shù)較多,擬合精度不能調(diào)控。最小二乘法與雙圓弧擬合法不同,它擬合成的近似圓弧不一定要通過(guò)各給出點(diǎn)。如圖6示,近似圓弧R 與每個(gè)給出點(diǎn)之間絕對(duì)誤差的平方和為最小。 圓弧與點(diǎn)準(zhǔn)確值的誤差可以人為地用“容差”ta 來(lái)限定,如果所有被擬合的點(diǎn)均在R ta 的“容差”帶范圍內(nèi),則認(rèn)為R 圓弧擬合成功。“容差”是根據(jù)實(shí)際需要而人為設(shè)定的,一般選用很小的數(shù)值,如0.01mm 。如果“容差”越小,則逼近精度就越高,每條圓弧段能滿足精度的點(diǎn)減

8、少,因此總的圓弧段數(shù)就會(huì)增加。反之,則逼近精度降低,每段圓弧能滿足精度的點(diǎn)增加,因此總的圓弧段數(shù)就會(huì)減少。最小二乘法的計(jì)算方法如下:如圖6示,近似圓弧的圓心坐標(biāo)為,(b a ,半徑為R ,(i i y x 為曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo),則可求得:a a a /=;b b b /=R=-+-n i ni i i y b x a n 1122(1(推導(dǎo)過(guò)程略,請(qǐng)參閱最小二乘法有關(guān)資料通過(guò)一組列表曲線的擬合可得到若干條擬合圓弧。前面曾提到近似圓弧不一定通過(guò)給出點(diǎn),因此就存在若干條圓弧中相鄰圓弧之間的銜接問(wèn)題。比較簡(jiǎn)便的解決方案如圖7示。 設(shè)P 1P 8點(diǎn)擬合成圓弧1,圓心為O 1,半徑為R 1。P 8P 1

9、5點(diǎn)擬合成圓弧2,圓心為O 2,半徑為R 2。現(xiàn)以R 1為半徑,分別以P 1與P 8為圓心作圓交于1O ,1O 與O 1必須在圓弧1的同側(cè)。再以1O 為圓心,R 1為半徑作圓弧過(guò)P 1、P 8點(diǎn),產(chǎn)生新圓弧P 1P 8,新圓弧的起點(diǎn)是P 1,終點(diǎn)是P 8。同理產(chǎn)生圓心為2O ,半徑為R 2的新圓弧P 8P 15,新圓弧的起點(diǎn)是P 8,終點(diǎn)是P 15。兩條新圓弧的銜接點(diǎn)是P 8。用這樣方法就可以將若干條圓弧串連起耒,而產(chǎn)生的誤差也在允許范圍之內(nèi)。最小二乘法擬合最大優(yōu)點(diǎn)是擬合精度可以調(diào)控,可以根據(jù)實(shí)際使用情況選擇不同的擬合精度。在滿足同樣的使用要求下,最小二乘法擬合的圓弧段數(shù)比雙圓弧法少,但計(jì)算比

10、較繁瑣。四,空間曲線的擬合以上討論的是平面曲線,本節(jié)討論空間曲線的擬合。空間曲線一般以列表曲線表示,如(x 1,y 1,z 1,(x 2,y 2,z 2,(x i ,y i ,z i ,(x n ,y n ,z n 等。空間列表曲線可擬合成數(shù)控設(shè)備能夠接受的圓柱螺旋線。如圖8示,圓柱螺線由空間有序點(diǎn)(x 1,y 1,z 1,(x 2,y 2,z 2,(x i ,y i ,z i ,(x n ,y n ,z n 擬合而成。z k=t an r r 圓柱 螺線展開 r x 8 圖 y 圓柱 螺線及其 展開圖 該圓柱螺線符合兩方面的擬合要求，一方面是空間有序點(diǎn)在 xy 平面上的投 ， ，（xi，yi

11、） ，（xn，yn） ，由最小二乘法擬合成半徑 影點(diǎn)（x1，y1）（x2，y2） 為 r，圓心角為 的平面圓弧，所有的投影點(diǎn)都在 rta 的“容差”帶范圍之內(nèi)。 另一方面還要根據(jù)圓柱螺線的參數(shù)方程式對(duì) z1，z2，z3zn 進(jìn)行逐點(diǎn)檢查。圓柱 螺旋線的參數(shù)方程表達(dá)式為： x = r cos y = r sin z = kr 其中 r 為底平面圓弧半徑， 為圓弧角（單位： 弧度） 為螺旋斜率。 ，k 現(xiàn)知底面擬合圓弧半徑為 r；圓弧起始角為 1 ，終止角為 n ；起點(diǎn) z 值為 z1，終點(diǎn)為 zn，則螺旋斜率 k = z n z1 。知道螺旋斜率 k，就可以按照公式 r ( n 1 z i = z1 + kr ( i 1 對(duì)起、終點(diǎn)之間任一點(diǎn)進(jìn)行檢查，圖 8 給出點(diǎn)的 z 值與螺