1、數理邏輯的發展概況和科學意義王鄉昊包頭師范學院數學科學學院摘要 ：數理邏輯又叫 “現代邏輯” ，是采用數學的方法研究思維形式的邏輯結構及其規律的。 一門科學。本文主要介紹了數理邏輯的產生、發展的歷程及其科學意義。關鍵詞：數理邏輯 命題演算 謂詞演算 集合論 直言三段論邏輯是探索、 闡述和確立有效推理原則的學科， 最早由古希臘學者亞里士多德創 建的。用數學的方法研究關于推理、 證明等問題的學科就叫做數理邏輯。 也叫做 符號邏輯。一）數理邏輯的產生利用計算的方法來代替人們思維中的邏輯推理過程， 這種想法早在十七世紀 就有人提出過。 萊布尼茨就曾經設想過能不能創造一種 “通用的科學語言 ”，可以 把

2、推理過程象數學一樣利用公式來進行計算， 從而得出正確的結論。 由于當時的 社會條件， 他的想法并沒有實現。 但是它的思想卻是現代數理邏輯部分內容的萌 芽，從這個意義上講，萊布尼茨的思想可以說是數理邏輯的先驅。1847年，英國數學家布爾發表了邏輯的數學分析 ，建立了 “布爾代數 ”， 并創造一套符號系統， 利用符號來表示邏輯中的各種概念。 布爾建立了一系列的 運算法則，利用代數的方法研究邏輯問題，初步奠定了數理邏輯的基礎。十九世紀末二十世紀初，數理邏輯有了比較大的發展， 1884 年，德國數學 家弗雷格出版了數論的基礎一書，在書中引入量詞的符號，使得數理邏輯的 符號系統更加完備。 對建立這門學科

3、做出貢獻的， 還有美國人皮爾斯， 他也在著 作中引入了邏輯符號。 從而使現代數理邏輯最基本的理論基礎逐步形成， 成為一 門獨立的學科。二）數理邏輯的內容數理邏輯包括哪些內容呢？這里我們先介紹它的兩個最基本的也是最重要 的組成部分，就是 “命題演算 ”和“謂詞演算 ”。命題演算是研究關于命題如何通過一些邏輯連接詞構成更復雜的命題以及邏輯推理的方法。命題是指具有具體意義的又能判斷它是真還是假的句子。號，就象代數中的如果我們把命題看作運算的對象， 如同代數中的數字、 字母或代數式， 而把 邏輯連接詞看作運算符號，就象代數中的 “加、減、乘、除 ”那樣，那么由簡單命 題組成復合命題的過程，就可以當作邏

4、輯運算的過程，也就是命題的演算。這樣的邏輯運算也同代數運算一樣具有一定的性質，滿足一定的運算規律。例如滿足交換律、結合律、分配律，同時也滿足邏輯上的同一律、吸收律、雙否定律、狄摩根定律、三段論定律等等。利用這些定律，我們可以進行邏輯推理， 可以簡化復合命題， 可以推證兩個復合命題是不是等價， 也就是它們的真值表是 不是完全相同等等。命題演算的一個具體模型就是邏輯代數。 邏輯代數也叫做開關代數， 它的基 本運算是邏輯加、邏輯乘和邏輯非，也就是命題演算中的 “或”、 “與”、“非”，運 算對象只有兩個數 0 和 1，相當于命題演算中的 “真”和“假”。邏輯代數的運算特點如同電路分析中的開和關、 高

5、電位和低電位、 導電和截 至等現象完全一樣， 都只有兩種不同的狀態， 因此，它在電路分析中得到廣泛的 應用。利用電子元件可以組成相當于邏輯加、 邏輯乘和邏輯非的門電路， 就是邏輯 元件。還能把簡單的邏輯元件組成各種邏輯網絡， 這樣任何復雜的邏輯關系都可 以有邏輯元件經過適當的組合來實現， 從而使電子元件具有邏輯判斷的功能。 因 此，在自動控制方面有重要的應用。謂詞演算也叫做命題涵項演算。 在謂詞演算里， 把命題的內部結構分析成具 有主詞和謂詞的邏輯形式， 由命題涵項、 邏輯連接詞和量詞構成命題， 然后研究 這樣的命題之間的邏輯推理關系。命題涵項就是指除了含有常項以外還含有變項的邏輯公式。 常項

6、是指一些確 定的對象或者確定的屬性和關系； 變項是指一定范圍內的任何一個， 這個范圍叫 做變項的變域。 命題涵項和命題演算不同， 它無所謂真和假。 如果以一定的對象 概念代替變項，那么命題涵項就成為真的或假的命題了。命題涵項加上全程量詞或者存在量詞， 那么它就成為全稱命題或者特稱命題 了。三）數理邏輯的發展數理邏輯這門學科建立以后，發展比較迅速，促進它發展的因素也是多方面的。比如，非歐幾何的建立， 促進人們去研究非歐幾何和歐氏幾何的無矛盾性， 就促進了數理邏輯的發展。集合論的產生是近代數學發展的重大事件， 但是在集合論的研究過程中， 出現了一次稱作數學史上的第三次大危機。 這次危機是由于發現了

7、集合論的悖論引 起。什么是悖論呢？悖論就是邏輯矛盾。集合論本來是論證很嚴格的一個分支， 被公認為是數學的基礎。理發師悖1903 年，英國唯心主義哲學家、邏輯學家、數學家羅素卻對集合論提出了 以他名字命名的 “羅素悖論 ”，這個悖論的提出幾乎動搖了整個數學基礎。羅素悖論中有許多例子，其中一個很通俗也很有名的例子就是論”：某鄉村有一位理發師，有一天他宣布：只給不自己刮胡子的人刮胡子。那 么就產生了一個問題： 理發師究竟給不給自己刮胡子？如果他給自己刮胡子， 他 就是自己刮胡子的人， 按照他的原則， 他又不該給自己刮胡子； 如果他不給自己 刮胡子，那么他就是不自己刮胡子的人， 按照他的原則， 他又應

8、該給自己刮胡子。這就產生了矛盾。悖論的提出， 促使許多數學家去研究集合論的無矛盾性問題， 從而產生了數 理邏輯的一個重要分支 公理集合論。非歐幾何的產生和集合論的悖論的發現， 說明數學本身還存在許多問題， 為 了研究數學系統的無矛盾性問題， 需要以數學理論體系的概念、 命題、證明等作 為研究對象， 研究數學系統的邏輯結構和證明的規律， 這樣又產生了數理邏輯的 另一個分支 證明論。數理邏輯新近還發展了許多新的分支， 如遞歸論、模型論等。 遞歸論主要研 究可計算性的理論， 他和計算機的發展和應用有密切的關系。 模型論主要是研究 形式系統和數學模型之間的關系。數理邏輯近年來發展特別迅速， 主要原因是

9、這門學科對于數學其它分支如集 合論、數論、代數、拓撲學等的發展有重大的影響，特別是對新近形成的計算機 科學的發展起了推動作用。反過來，其他學科的發展也推動了數理邏輯的發展。正因為它是以門新近興起而又發展很快的學科， 所以它本身也存在許多問題有待于深入研究?，F在許多數學家正針對數理邏輯本身的問題，進行研究解決?？傊?，這門學科的重要性已經十分明顯，他已經引起了更多人的關心和重視。1理邏輯的發展前前史時期一一古典形式邏輯時期：亞里斯多德的直言三段論理論 初創時期一一邏輯代數時期(17世紀末) 資本主義生產力大發展，自然科學取得了長足的進步，數學在認識自然科學技術方面起到了相當重要的作用。人們希望使用

10、數學的方法來研究思維，把思維過程轉換為數學的計算。萊布尼茲(Leibniz, 1646-17佝完善三段論，提出了建立數理邏輯或者說理性演算的思想：提出將推理的正確性化歸于計算，這種演算能使人們的推理不依賴于對推理過程中的命題的含義內容的思考，將推理的規則變為演算的規 則。使用一種符號語言來代替自然語言對演算進行描述，將符號的形式和其含義分開。 使得演算從很大程度上取決與符號的組合規律， 而與其含 義無關。布爾(G. Boole, 1815-1864)代數：將有關數學運算的研究的代數系統推廣到邏輯領域，布爾代數既是一種代數系統，也是一種邏輯演算。2. 數理邏輯的奠基時期弗雷格(G Frege,

11、1848-1925):概念語言一一一種按算術的公式語言 構成的純思維公式語言 (1879)的出版標志著數理邏輯的基礎部分題演算和謂詞演算的正式建立。皮亞諾(Giuse ppe Pea no, 1858-1932：用一種新的方法陳述的算術原 理 (1889)提出了自然數算術的一個公理系統。羅素(Bertrand Russell, 18721970)數學原理(與懷特黑合著，1910, 1912, 1913)從命題演算和謂詞演算開始， 然后通過一元和二元命題函項定 義了類和關系的概念， 建立了抽象的類演算和關系演算。 由此出發， 在類 型論的基礎上用連續定義和證明的方式引出了數學 (主要是算術) 中

12、的主 要概念和定理。邏輯演算的發展：甘岑(G Gentzen)的自然推理系統(Natural DeductionSystem),邏輯演算的元理論：公理的獨立性、一致性、完全性等。各種各樣的非經典邏輯的發展：路易斯(Lewis, 18831964)的模態邏輯，實質蘊涵怪論和嚴格蘊涵、相干邏輯等，盧卡西維茨的多值邏輯等。3 第三次數學危機與邏輯集合論的悖論使得人們覺得數學產生了第三次危機，提出了數學的基礎到底是什么這樣的問題。羅素等的邏輯主義：數學的基礎是邏輯，倡導一切數學可從邏輯符號推出，數學原理一書是他們這一思想的體現。為解決悖論產生了邏 輯類型論。布勞維爾 (Brouwer, 1881196

13、6)的直覺主義：數學是心靈的構造，只 承認可構造的數學， 強調構造的能行性， 與計算機科學有重要的聯系。 堅 持潛無窮，強調排中律不能用于無窮集合。海丁(Heyting)的直覺主義邏輯。希爾伯特(D. Hilbert)的形式主義：公理化方法與形式化方法，元數學 和證明論， 提倡將邏輯演算和數學證明本身形式化， 把用普通的語言傳達 的內容上的數學科學變為用數學符號和邏輯符號按一定法則排列的一堆 公式。為了消除悖論，要數學建立在公理化基礎上，將各門數學形式化，構成形式系統，并證明其一致性，這是希爾伯特的數學綱領。4. 數理邏輯的發展哥德爾(Godel, 19061978)不完全性定理：一個足夠強大

14、的形式系統，如果是一致的則不是完全的， 即有的判斷在其中是不可證的， 既不能斷定其為假，也不能證明其為真。各種計算模型： 哥德爾的遞歸函數理論， 邱吉爾的 l 演算，圖靈機模 這些計算模型是計算機科學的理論基礎，是計算機的理論模型。現在數理邏輯已基本形成如下幾大分支：1 公理化集合論(與邏輯演算同時成熟)2 證明論3 遞歸函數論 /能性性理論 (邏輯演算成熟之后才發展起來)4 模型論5 邏輯演算。四）數理邏輯的科學意義數理邏輯發展到今天， 已成熟為一門嶄新的科學， 具有強大的生命力和廣泛的影響。 一方面由于它對數學的貢獻和在計算機科學中的應用， 另一方面還在 于它的理論和方法對其他科學的作用。1. 數理邏輯所研究的許多問題都與哲學的認識論和方法論有關。2. 促進新型科學的研究（人工智能、系統工程、管理學等） 。3. 數理邏輯高度抽象和嚴密精確的形式系統是訓練培養人們的能力以及提高思維水平的一個重要方法。4. 數理邏輯對自然科學、社會科學和思維科學的發展有重要意義。5. 數理邏輯所研究的各種系統的過程產生了模態邏輯、規范邏輯、時態邏輯、多值邏輯和