1、函數(shù)的應(yīng)用（ 1.3 第 3 課時(shí)）高中數(shù)學(xué)教案（新課標(biāo)）第三章華中師大一附中黃松生3函數(shù)的應(yīng)用（ 1.3 第 3 課時(shí)）第三章課題： 一元二次方程實(shí)根的分布教學(xué)內(nèi)容： 一元二次方程實(shí)根的分布教學(xué)目的： 掌握一元二次方程的零分布和k 分布 (k教學(xué)重點(diǎn)： 基本結(jié)論與應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)： 基本結(jié)論與應(yīng)用教學(xué)過程：一、課前復(fù)習(xí)0) 。二、講解新課提出問題我們在二次函數(shù)和不等式的基礎(chǔ)上討論一元二次方程根的分布問題。結(jié)合圖象易于理解。引入新課知識點(diǎn) 1零分布設(shè)一元二次方程ax2bxc0( a0) 的兩根為 x1, x 2，且 x1x2定理 1： x0 ， x00xx0推論： x0 ， x000a 0或 a0

2、1212x1x2012f (0)0c0定理 2 ： x10 ， x200x1x20x1x2000b 0b0推論： x0 ， x0a0或 a012f (0)0f (0)0定理 3： x1b0b0c0x20a定理 4： x1x10 ， x200 ， x20c 0 ，且 b ac0 ，且 ba0（可得證0 ）0知識點(diǎn) 2非零分布 k 分布所謂非零分布 k 分布，指的是方程的根與k 的關(guān)系。設(shè)一元二次方程ax2bxc0( a0) 的兩根為 x1, x 2，且 x1x2 ， k 為實(shí)常數(shù)。定理 1： kx1x20af (k)0 bk2a0定理 2： x1x2kaf (k)0 bk2a定理 3：證: af

3、 (k)x1ka 2 ( kx2afb )2(k) 024acb0 , b24ac(kb ) 20 ， b24ac0 肯定有相異實(shí)根 .2a4a2a定理 4： 有且僅有k1x1 ( 或 x 2)k2f ( k1 ) f (k 2 )0a0a0f(k1)0f ( k1 )0k1x1k2p1x2p2f(k 2 )0或f ( k2 )0f( p1 )0f ( p1 )0f( p 2 )0f ( p2 )0定理 5：00a0a0定理 6：k1x1x2k 2f (k1 )0或f(k1 )0f (k2 )0f(k 2 )0三、典例解析bbkk12k1k 22a2a例 1若一元二次方程0( m1) x20(

4、2m1) xm0 有兩個(gè)正根，求 m 的取值范圍。m10解：（ i）m0m10或（ ii）m0對應(yīng)推論而得 ,由（ i）得 m，而由（ ii ）知 0m1 ， 0m1 。2(m1)02( m1)0例 2k 取何值時(shí)，一元二次方程kx23kxk30 的兩根為負(fù)。0解： x1x20x1x20k12 或k0 5k0或k3 k12 或 k35例 3k 取何值時(shí)，一元二次方程kx23kxk30 有一正根和一負(fù)根。解： k3 k0 ， 0k3例 4已知方程 x 2011xm210 的兩根都大于 1，求 m 的取值范圍。解：af (1)0b12am324m12 12m32 14例 5若一元二次方程mx2(

5、m1) x30 的兩實(shí)根都小于 2 ，求 m 的取值范圍。0解：af ( 2)0 mb2a21 或m5226 .例 6已知方程x 22mx2m230 有一根大于 2 ，另一根小于2 ，求 m 的取值范圍。解： af(2)0 ，2m24m10 ，12m12 .22例 7若方程 x2(k2) xk0 的兩實(shí)根均在區(qū)間( 1 , 1) 內(nèi)，求 k 的取值范圍。0f (1)0解：f (1)10k212 423k1 .2例 8已知a, b, x 為正數(shù) , 且 lg(bx ) lg( ax)10 的根都為實(shí)數(shù) ,求 ab的取值范圍 .解: 由已知方程可化為lg2 x(lg alg b)lg xlg al

6、g b10, 所有的根都為實(shí)數(shù) ,0,即 lg 2 a2lg alg blg2 b40,(lg alg b) 24,lg a2,lg a2,0a1或 a100.例 9若方程bbblg(ax) lg(ax2 )4 的所有解都大于 1, 求 a 的取值范圍 .100b解: 設(shè) tlg x, 則原方程可化為2t 2(3lga)tlg 2 a40, 所有解都大于 1 ,t10,t20,即方程有兩個(gè)正根 ,t1t2 t1t200 ,解之 01a .1001例 10設(shè)直線l ： y=(a+13)x-a2+2a+16與拋物線 c： y=7x 2+14x+8有兩個(gè)交點(diǎn) a(x 1， y 1)和 b(x 2，y

7、2 )，并且 -1x1<0<x 21，設(shè) u 是線段 ab 中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，問a 為何值時(shí)， u 達(dá)到最大值？并求出這個(gè)最大值。y解： 由y(a 7x213) xa214x8,2a16,可得： 7x 2 +(1-a)x+a 2-2a-8=0 直線l 1 與拋物線 c 交于兩點(diǎn) a(x 1， y 1)， b(x 2， y 2) ，且-1x1<0<x 21方程有兩個(gè)不同實(shí)根。a 22a80,令 f(x)=7x 2+(1-a)x+a 2-2a-8 ，則有：f (0)f ( 1)f (1)0,a 20, 即a 2a 2a 3a3a20,0.0,解得-2<a-1且 3a<

8、;40, a (-2 ， -1 3 ， 4 )x1x2a1設(shè) ab 的中點(diǎn) m 坐標(biāo)為 (x ， u) 。由方程，有x。 代 入 直 線214l1 ：·y=(a+13)x-a 2+2a+16 ，得： u=(a+13)a1 -a 2 +2a+16=1 (-13a 2+40a+211)=-13 (a-20 )2+449 。1414141326函數(shù)的應(yīng)用（ 1.3 第 3 課時(shí)）高中數(shù)學(xué)教案（新課標(biāo)）第三章華中師大一附中黃松生 a (-2 ， -1 3 ， 4 )， a=3 時(shí)， u 達(dá)到最大值，且 u 最大=107 77函數(shù)的應(yīng)用（ 1.3 第 3 課時(shí)）第三章例 11已知二次函數(shù)f (

9、x)ax2bx1 (a0 ,br) ，設(shè)方程f ( x)x 有兩個(gè)實(shí)根 x1 , x 2（ 1）如果 x12x24 ，設(shè)函數(shù)f ( x) 的對稱軸為 xx0 ，求證： x01（ 2）如果 0x12x24 ，且f (x)x 的兩實(shí)根相差為 2 ，求實(shí)數(shù) b 的取值范圍。解：（ 1）設(shè)g( x)f ( x)xax2(b1) x1 , a0 ， x12x24 ，g(2)0 且 g( 4)0 4a 16a2b104b30, 344ab1 2 a23( b 有解 ),4a 4112a , a. 28由 34ab 412a 得： 112 4ab 232a8a, x0b111112a4a418（ 2）由g(

10、 x)ax2(b1) x10 ,可得 0x12x24 ，又 x2x12 (x22x1)(x22x1 )4 x1 x2(b1)2a 244 , 2a1a(b1) 21 ，由g(2)0 ， 4a2b10 代入得：( b1)2132b ， b1 .4例 12設(shè)二次函數(shù) f(x)=ax 2 +bx +c(a>0), 方程 f(x )- x=0 的兩個(gè)根為 x1 (1) 當(dāng) x (0, x1 )時(shí)，求證： x<f(x)< x1；、x2,滿足 0< x11<x2 <.a(2) 設(shè)函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x=x 0x1對稱，求證： x 0<.21證: (1)

11、x 1、x 2 是方程 f(x)- x=0 的兩個(gè)根，且 0< x1 <x 2<，當(dāng) x (0, x 1)時(shí),a有 f(x)-x =a(x-x1)(x -x2)= a(x1-x)( x2-x )>0, 即 f(x )- x>0. 又 f(x)-x =a( x1- x)( x2-x)<a1· (x1a-x )= x1-x,即 f(x )-x<x1-x,故 0< f (x )-x <x1 -x,即 x<f(x )<x 1.(2) f(x )-x=ax 2+(b -1) x+c,且 f( x)-x =0 的兩個(gè)根為 x1、x

12、 2,二次函數(shù) f(x )- x 的對稱軸為 x=x1x2=b1x1b.=1x2.又由已知，得 x 0=bx1，1x2=x 0+.22a22a2a22a22 a211又 x 2<,a2ax2>0. 故2x11=x 0+22ax2>x 02x1, 即 x0 <.2例 13二次函數(shù) f(x )= px2 +qx +r 中實(shí)數(shù) p、q、r 滿足pm2qrm1m=0, 其中 m>0, 求證(1) pf (m)<0;(2)方程 f(x )=0 在(0 ， 1) 內(nèi)恒有解m1證 (1)pf (m) m1p p(m)2m1q(m)r m1pmqrpmp2m( m2)(m1

13、)2pm2pm2p m2( m1)m1m(m1)m2( m1) ( m2)pm 21,由于 f(x)是二次函數(shù)，故 p 0又,m>0, 所以， pf (m) 0( m1) 2 ( m2)m1(2) 由題意，得 f(0)= r,f(1)= p+q+r。當(dāng) p 0 時(shí)，由 (1 ）知 f(m) 0；m1若 r>0, 則 f(0)>0, 又 f(m) 0, 所以 f(x )=0 在(0 ， m)內(nèi)有解 ;m1m1若 r0則,f(1)= p+q+r=p+(m+1)=( pr )+r=pr >0, 又 f(m) 0,所以 f(x )=0 在(m,1) 內(nèi)有解m2mm2mm1m1當(dāng)

14、 p 0 時(shí)，同理可證綜上所述，證畢。例 14已知函數(shù)f (x)ax24xb,（ a 0 ，a）, br，設(shè)關(guān)于 x 的方程f ( x)0 的兩根為x1 , x2 ，f (x)x 的兩實(shí)根為、（ 1）若 |1，求 a，b 關(guān)系式；（ 2）若 a， b 均為負(fù)整數(shù)，且 |1 ，求f (x) 解析式；（ 3）若 1 2 ，求證：( x11)( x21) 7 。解：（ 1）f (x)x 即 ax 23 xb0 ，由題意得：3ab2消去,得： aa14ab9 。（ 2）由于a, b都是負(fù)整數(shù)， 故 a4b 也是負(fù)整數(shù)， 且 a4b5 ，由 a 24 ab9 得： a( a4b)9 ，所 以 a1, a

15、4b9 ，所以 a1,b2 ，所以f ( x)x 24 x2 。（ 3）令g( x)ax 23xb ，則12 的充要條件為：g(1)0，g(2)0g(1)即：g(2)a b30， 又4ab60x1x2bx1x2a4a ，所以10 g(1)7 g (2)(x1)(x1)7x x( xx )6b 466ab433.121 212aaaa因?yàn)?g (1)0, g (2)0, a0 ，所以( x11)(x 2 1)70 ，即( x11)( x 2 1)7 。四、課堂練習(xí)1. 如果二次函數(shù)ymx2( m3) x1 的圖象與 x 軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求 m 的取值范圍。解： ymx2(m3)

16、 x1 是二次函數(shù)， m0 ,設(shè)拋物線與 x 軸的交點(diǎn)為 (x 1, 0), ( x 2, 0) 且 x1x2拋物線不過原點(diǎn)，滿足題意的有兩種情況：（ 1）兩個(gè)交點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，即x10x2 ，此時(shí)有mf (0)0 即 m0（ 2）交點(diǎn)都在原點(diǎn)右側(cè)，即0x1x2 ，此時(shí)0x1x 20x1 x 20 0m1綜上所述 m 的范圍為 m0 或 0m1 。2. 方程 x22ax40 的兩根均大于1 ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。解： 設(shè)f (x)x22ax4 ，由于方程 x 22ax40 的兩根均大于 1. 據(jù)二次函數(shù)圖象應(yīng)滿足：02a2f (1)01,即4a 216a1a520,解得 2a5 。2解

17、法二：設(shè)x1 , x2為方程 x 22 ax40 的兩根， x1x22a, x1x24 .要使原方程 x22ax40 的兩根x1 , x2均大于 1，則需滿足( x1( x11)1)( x0.(x221)1)0,0,將代入上述不等式中，解之得2a5 .22a4a 2162解法三：運(yùn)用求根公式，方程x 22ax420 的兩根為 x25aa4 ，要使兩根均大于 1，只需較小根 a五、備選習(xí)題a41 ，解之得：2a.21. 若一元二次方程kx2( 2k1) xk30 有一根為零，求另一根是正根還是負(fù)根？解： 由題意知， k30 ， k3 ，把 k3 代入 x1x22 31350 ,由此知另一根為負(fù)根

18、。322. 已知方程 x(m2) x2m10 僅有一實(shí)根在0 和 1 之間，求 m 的取值范圍。解： f ( 0),f (1)0 ，(2m1)(1m22m1)0 ， 1m2233. 已知方程 x 2(m2)x2m10 的較大實(shí)根在0 和 1 之間，求 m 的取值范圍。解： f (0)0 ， f (1)0 , 2m103m20m12 m.原方程不存在較大實(shí)根在0 和 1 之m23間。實(shí)質(zhì)上有較小根在0 和 1 之間。4. 若方程 x 2( k2)x2k10 的兩根中， 一根在 0 與 1 之間， 另一根在 1 與 2 之間， 求 k 的取值范圍。f ( 0)解：f (1)f ( 2)00 , 1

19、k2 .0235. 已知關(guān)于 x 的方程(m1) x22mxm2m60 的兩根、 且滿足 01 ，求 m 的取值范圍。m10m10解：f ( 0)0或f (0)0 2m7 或3m7 .f (1)0f (1)06. m 為何值時(shí)，二次方程2x 2+4mx+3m-1=0有兩個(gè)負(fù)根？解： 設(shè)二次方程 2x 2 +4mx+3m-1=0的兩個(gè)負(fù)根為x1 ， x 2，根據(jù)題意，由韋達(dá)定理可得0,x1x22m0,11m或m1. 故當(dāng)1 <m1 或 m1時(shí)，原方程有兩個(gè)負(fù)根。x1x23m1323202解法二：（數(shù)形結(jié)合）考慮二次函數(shù)f(x)=2x 2+4mx+3m-1的圖象（如圖 2-5-2 ）。二次方

20、程有兩個(gè)負(fù)根就等價(jià)于0,f (0)0b02a11m或m1.327. 已知關(guān)于 x 的二次方程 x 2+2 mx +2 m+1=0(1) 若方程有兩根，其中一根在區(qū)間( 1 ， 0)內(nèi)，另一根在區(qū)間 (1 ，2) 內(nèi)，求 m 的范圍(2) 若方程兩根均在區(qū)間 (0 ， 1) 內(nèi)，求 m 的范圍解 (1) 條件說明拋物線 f(x )= x2 +2 mx +2 m+1 與 x 軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間 ( 1， 0) 和(1 ， 2) 內(nèi)，f (0)m12m10,2f ( 1)20,mr,51得f (1)f (2)4m20,6m50m1 ,6m22m56函數(shù)的應(yīng)用（ 1.3 第 3 課時(shí)）高中數(shù)學(xué)教案（新

21、課標(biāo)）第三章華中師大一附中黃松生10函數(shù)的應(yīng)用（ 1.3 第 3 課時(shí)）第三章(2)據(jù)拋物線與 x 軸交點(diǎn)落在區(qū)間 (0 ，1) 內(nèi)，列不等式組f (0)0,f (1)0,0,m1 ,2m1 ,20m1m12或m12 ,1m0.8. 已知函數(shù) f(x)=mx 2 +(m-3)x+1的圖象與 x 軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，求實(shí)數(shù)m 的范圍。解： 當(dāng) m=0 時(shí)， f(x)=-3x+1 ，與 x 軸交于點(diǎn) ( 1 ， 0) 符合題意。3當(dāng) m<0 時(shí)，則符合題意。1 <0 ， >0 ，拋物線 y=f(x) 開口向下，它與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)必在原點(diǎn)的兩側(cè)。m<0m當(dāng) m

22、>0 時(shí)，依題意，必須有(m3) 24mb3m0.0,或 f(0)<0 解得 0<m12a2m綜上所述，得m 的取值范圍是 m (-，1 9. 若關(guān)于 x 的方程 3 x2-5 x+a=0 的一根在 (-2 ， 0) 內(nèi)，另一個(gè)根在 (1 ， 3) 內(nèi)，求 a 的取值范圍 .解： 如果用求根公式與判別式來做，運(yùn)算量很大,能否將問題借助二次函數(shù)的圖象，從圖象中抽出與方程的根有關(guān)的關(guān)系式，使得問題解答大大簡化.設(shè) f(x )=3 x 2-5 x+a,則 f(x)為開口向上的拋物線 ,如圖 (略).因?yàn)?f(x )=0 的兩根分別在區(qū)間(-2 ， 0) 、f ( 2)0,22a0,

23、(1 ，3) 內(nèi)，所以f (0)f (1)0,a0,即0,2a故所求 a 的取值范圍是 -12< a<0.0,f (3)0,12a0.10. 關(guān)于 x 的方程 x 2-ax +a2-7=0 的兩個(gè)根一個(gè)大于2 ，另一個(gè)小于2, 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .解：設(shè) f (x )=x2 -ax +a 2-7, 圖象為開口向上的拋物線 (略 ).因?yàn)榉匠?x 2-ax +a 2-7=0 的兩個(gè)根一個(gè)大于 2，另一個(gè)小于 2, 所以函數(shù) f(x )=x2 -ax +a 2-7 的零點(diǎn)一個(gè)大于 2，另一個(gè)小于 2. 即函數(shù) f(x)=x 2-ax +a 2 -7 的圖象與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)

24、 (2 ，0) 的兩側(cè) .只需 f(2)<0, 即 4-2 a+a 2-7<0, 所以 -1< a<3.11. 如果二次函數(shù)y=mx 2+( m 3) x+1 的圖象與 x 軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求m 的取值范圍解 f(0)=1>0(1) 當(dāng) m 0 時(shí)，二次函數(shù)圖象與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)且分別在y 軸兩側(cè)，符合題意0(2 ）當(dāng) m>0 時(shí)，則m解得 0 m130m綜上所述， m 的取值范圍是 m|m1且 m012. 若方程 2ax 2 -x -1=0 在 (0 ，1) 內(nèi)有解，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .解： 令 f(x )=2 ax 2-x-1 ，(1)當(dāng)方程 2ax 2-x -1=0 在(0 ， 1) 內(nèi)恰有一個(gè)解時(shí)，f(0) ·f(1)<0 或 a0且 =0,由 f(0)得(-1)(2 a-2)<0, 所以 a>1.f·(1)<0,由 =0, 得 1+8 a=0, a=1方程為8