1、1 變載荷下齒輪強(qiáng)度可靠性當(dāng)齒輪在變動(dòng)載荷下工作，并且載荷譜（如圖1）可用時(shí)，校核其不同載荷水平下疲勞累積損傷的強(qiáng)度安全系數(shù)，通過(guò)安全系數(shù)計(jì)算可靠度，如式（1）： （1）式中：強(qiáng)度的變異系數(shù)；應(yīng)力的變異系數(shù)；可靠安全系數(shù)。圖1 工作載荷譜齒輪在一系列不同的重復(fù)應(yīng)力水平下工作所造成的疲勞累積損傷度，等于每一個(gè)應(yīng)力水平的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)與材料應(yīng)力循環(huán)次數(shù)特性曲線（S-N曲線）上該應(yīng)力水平對(duì)應(yīng)的循環(huán)次數(shù)的比值之和。為了偏于安全，這里所謂的每一應(yīng)力水平應(yīng)取每一應(yīng)力水平區(qū)間中的最大應(yīng)力值。比如，在第級(jí)應(yīng)力水平下工作的循環(huán)次數(shù)為，該應(yīng)力水平所對(duì)應(yīng)的S-N曲線的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)為，則有 （2）式中：第級(jí)應(yīng)力水平下的

2、疲勞損傷度； 齒輪疲勞累積損傷度。為了保證齒輪強(qiáng)度安全系數(shù)，可靠度高，則要求1.0。各應(yīng)力水平區(qū)間的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力分別通過(guò)下式計(jì)算，大小輪應(yīng)分別計(jì)算。 （3） （4）式中：應(yīng)力水平區(qū)間內(nèi)最大的小輪轉(zhuǎn)矩，N·m； 小輪分度圓直徑，mm； 工作齒寬，mm； 單對(duì)齒嚙合系數(shù)與中的大值。 在載荷下的值詳細(xì)見(jiàn)第4章計(jì)算方法。在計(jì)算各應(yīng)力水平的和時(shí)，應(yīng)取使用系數(shù)=1.0。在S-N曲線上有 （5）式中：S-N曲線上點(diǎn)1和點(diǎn)2處的應(yīng)力，N/mm2； S-N曲線上點(diǎn)1和點(diǎn)2處的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)； 材料指數(shù)。對(duì)于接觸疲勞；對(duì)于彎曲疲勞，值見(jiàn)表1。表1 材料疲勞曲線指數(shù)計(jì)算類(lèi)別材料及熱處理工作循環(huán)次數(shù)接觸

3、疲勞結(jié)構(gòu)鋼；調(diào)質(zhì)鋼；球墨鑄鐵（珠光體、貝氏體）；珠光體可鍛鑄鐵；滲碳淬火的滲碳鋼；感應(yīng)淬火或火焰淬火的鋼、球墨鑄鐵允許有一定點(diǎn)蝕時(shí)<1076.77107<1098.78109<10107.08不允許有點(diǎn)蝕105<6.61<101016.3灰鑄鐵、球墨鑄鐵（鐵素體）；滲氮處理的滲氮鋼、滲碳鋼105<5.71<101026.2氮碳共滲的調(diào)質(zhì)鋼、滲碳鋼105<15.72<101026.2彎曲疲勞球墨鑄鐵（珠光體、貝氏體）；珠光體可鍛鑄鐵；調(diào)質(zhì)鋼104<6.23<101049.91滲碳淬火的滲碳鋼；火焰淬火、全齒廓感應(yīng)淬火或的鋼、球墨鑄

4、鐵103<8.74<101049.91灰鑄鐵、球墨鑄鐵（鐵素體）；結(jié)構(gòu)鋼滲氮處理的滲氮鋼、滲碳鋼103<17.03<101049.91氮碳共滲的調(diào)質(zhì)鋼、滲碳鋼103<84<101049.91因此，在變動(dòng)載荷工況下且有工作載荷譜時(shí)可用時(shí)，齒輪的強(qiáng)度安全系數(shù)計(jì)算如下： （6）即對(duì)于接觸強(qiáng)度，對(duì)于彎曲強(qiáng)度，根據(jù)公式可計(jì)算接觸和彎曲疲勞可靠度。2 累積損傷求可靠度根據(jù)下面公式求得累積損傷建立以累積損傷為基礎(chǔ)的功能函數(shù)式中：累計(jì)損傷因子，為隨機(jī)變量，均值一般為1，標(biāo)準(zhǔn)差為(0.030.3)范圍。3 安全系數(shù)與可靠性的關(guān)系1）均值安全系數(shù)在工程中變異系數(shù)因此，可推導(dǎo)出2

5、）概率安全系數(shù)（表達(dá)式1）假設(shè)應(yīng)力和強(qiáng)度服從正態(tài)分布，是標(biāo)準(zhǔn)差，是均值，因此因此可以推導(dǎo)出工程中取累積概率95%（即a=95）的強(qiáng)度下限，取累積概率99%（即b=99）的Y應(yīng)力上限，因此上式簡(jiǎn)化為3）概率安全系數(shù)（表達(dá)式2）安全系數(shù)S通常定義為結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度與應(yīng)力的比值，是影響結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的隨機(jī)因素組成的隨機(jī)向量 (1)顯然安全系數(shù)S也是隨機(jī)變量的函數(shù)，則概率安全系數(shù)評(píng)估相當(dāng)于已知可靠度，求sR滿(mǎn)足式(2) (2)式中：sR為概率安全系數(shù)，是一個(gè)確定量；為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)；為給定可靠度R對(duì)應(yīng)的可靠度系數(shù)。從下圖1中可以看出，概率安全系數(shù)sR實(shí)際上是安全系數(shù)的上R分位點(diǎn)。如果sR大于許用安全系數(shù)s

6、(通常s=1)，則表明結(jié)構(gòu)不會(huì)發(fā)生失效；如果給定可靠度R=0.95許用安全系數(shù)s=1時(shí)，sR=0.8，這意味著結(jié)構(gòu)不滿(mǎn)足可靠度指標(biāo)，為達(dá)到給定的可靠度指標(biāo)，則需要把強(qiáng)度增加25%(1/0.8-1)或把應(yīng)力減小20%(1-0.8)。一般情況下安全系數(shù)S受眾多隨機(jī)因素影響，分布情況未知。因此，概率安全系數(shù)評(píng)估的基本問(wèn)題是圍繞式(2)求解概率安全系數(shù)，從而把給定的可靠度指標(biāo)轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)的概率安全系數(shù)，然后通過(guò)概率安全系數(shù)與許用安全系數(shù)的對(duì)比來(lái)評(píng)估結(jié)構(gòu)是否達(dá)到了給定的可靠度指標(biāo)。圖1 概率安全系數(shù)的幾何意義概率安全系數(shù)計(jì)算方法不失一般性，設(shè)形如式(1)的功能函數(shù)變換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的表達(dá)形式為，為功能函數(shù)

7、中各隨機(jī)變量變換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間組成的隨機(jī)向量，給定可靠度為。假設(shè)能夠求得滿(mǎn)足下式 (8)則根據(jù)式(2)有概率安全系數(shù)sR的計(jì)算公式為 (9)因此，概率安全系數(shù)sR的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為給定概率下功能函數(shù)值的計(jì)算問(wèn)題，即已知功能函數(shù)，能否求得滿(mǎn)足。由解析幾何可知，當(dāng)常數(shù)c取不同值時(shí)，實(shí)際上代表了的一簇等值曲面，如圖2所示。圖2 給定概率下計(jì)算功能函數(shù)值根據(jù)逆可靠度分析的原理，給定概率下功能函數(shù)值的計(jì)算問(wèn)題可表示為如下的數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題，即確定滿(mǎn)足式(10) (10)式(10)通常可以利用簡(jiǎn)單高效的改進(jìn)均值法(AMV)計(jì)算，其迭代公式為 (11)迭代初值可以取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中各隨機(jī)變量的均值，當(dāng)小于容許誤差時(shí)

8、收斂，此時(shí)求得的即為設(shè)計(jì)點(diǎn)，將代入功能函數(shù)就得到 (12)式(12)就是給定可靠度下功能函數(shù)值的計(jì)算公式。綜上所述，概率安全系數(shù)評(píng)估的主要步驟為：(1)確定影響結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的所有隨機(jī)變量的分布，并利用安全系數(shù)的表達(dá)式作為概率安全系數(shù)評(píng)估的功能函數(shù)，形如式(1)；(2)針對(duì)建立的功能函數(shù)利用式(11)進(jìn)行逆可靠度分析，確定給定可靠度的設(shè)計(jì)點(diǎn)；(3)利用式(12)計(jì)算功能函數(shù)值。(4)利用式(9)即得到給定可靠度下的安全系數(shù)，即概率安全系數(shù)。可以看出，提出的方法由于直接把安全系數(shù)的表達(dá)式作為功能函數(shù)，因此在AMV迭代過(guò)程中不需要計(jì)算功能函數(shù)對(duì)概率安全系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，進(jìn)一步提高了概率安全系數(shù)計(jì)算的效

9、率。算例1設(shè)某零件的應(yīng)力X和強(qiáng)度Y均為隨機(jī)變量，分布參數(shù)見(jiàn)表1，安全系數(shù)計(jì)算公式為 (13)建立另一功能函數(shù)為 (14)式中為功能函數(shù)的概率功能度量。如果式(13)和式(14)的可靠度相同，則概率安全系數(shù)與概率功能度量之間的關(guān)系為 (15)下面利用提出的方法計(jì)算不同給定可靠度下的概率安全系數(shù)，然后利用式(15)計(jì)算并代入式(14)，再利用一次可靠度方法(First order Reliability Method, 簡(jiǎn)稱(chēng)FORM)計(jì)算式(14)的可靠度，如果計(jì)算出的可靠度與給定的可靠度相同，則說(shuō)明方法的正確性，具體結(jié)果見(jiàn)表2。可以看出，概率安全系數(shù)的計(jì)算結(jié)果與預(yù)期符合的很好。表1 算例1的參數(shù)

10、變量名稱(chēng)分布類(lèi)型均值標(biāo)準(zhǔn)差X正態(tài)1207Y正態(tài)15010表2 算例1的概率安全系數(shù)結(jié)果給定可靠度概率安全系數(shù)結(jié)果可靠度計(jì)算結(jié)果R=0.99990.8854R =0.99989995R =0.9990.9416R =0.998999R =0.991.0124R =0.989999R =0.91.1145R =0.90008R =0.81.1597R =0.79991R =0.51.25R =0.5算例2：懸索橋主纜的概率安全系數(shù)評(píng)估以6座懸索橋?yàn)槔M(jìn)行主纜概率安全系數(shù)的評(píng)估，并與其結(jié)果對(duì)比。懸索橋主纜極限拉力和最大拉力的計(jì)算公式分別為 (16)則有安全系數(shù)的計(jì)算公式如式(17)所示 (17)需要

11、把概率安全系數(shù)包含在功能函數(shù)中，建立如式(18)所示功能函數(shù) (18)式(16)(18)中：w、p、Ac、c為隨機(jī)變量，統(tǒng)計(jì)特征見(jiàn)表4，其他參數(shù)按表3取值。表3 6座懸索橋的基本設(shè)計(jì)參數(shù)主跨跨徑l/m主纜矢高f/m主纜面積Ac/m2結(jié)構(gòu)恒載w/kN·m-1均布活載p/kN·m-120002220.92306025002781.232586030003331.632916035003892.123316040004442.723796050005564.4851960表4 隨機(jī)變量的分布參數(shù)均值變異系數(shù)分布類(lèi)型Ac表1中設(shè)計(jì)值0.05對(duì)數(shù)正態(tài)w表1中設(shè)計(jì)值0.08正態(tài)p表1中設(shè)計(jì)值0.05I型極值c16780000.05正態(tài)直接利用式(17)作為概率安全系數(shù)計(jì)算的功能函數(shù)，利用提出的方法分別計(jì)算可靠度系數(shù)=3.5、4.0、4.5、5.0時(shí)的概率安全系數(shù)評(píng)估結(jié)果見(jiàn)表5和圖3。表5 概率安全系數(shù)評(píng)估結(jié)果懸索橋0=3.50=4.00=4.50=5.0l =20003.49(5)3.35(5)3.22(5)3.09(5)l =25003.47(