1、2011江蘇高考數學必考知識點匯總§09. 立體幾何 知識要點一、 平面.1. 經過不在同一條直線上的三點確定一個面.注：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內.2. 兩個平面可將平面分成3或4部分.（兩個平面平行，兩個平面相交）3. 過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.（三條直線在一個平面內平行，三條直線不在一個平面內平行）注：三條直線可以確定三個平面，三條直線的公共點有0或1個.4. 三個平面最多可把空間分成 8 部分.（X、Y、Z三個方向）二、 空間直線.1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線共面有反且有一個公共點；平行直線共面沒有公共點；異面直線不

2、同在任一平面內注：兩條異面直線在同一平面內射影一定是相交的兩條直線.（×）（可能兩條直線平行，也可能是點和直線等）直線在平面外，指的位置關系：平行或相交若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關系是相交、平行、在平面內.兩條平行線在同一平面內的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.在平面內射影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）在同一平面內的射影長相等，則斜線長相等.（×）（并非是從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段）是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關系為相交或平行或異面.2. 異面直線判定定理：過平面外一點與平面內一點

3、的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內的兩條直線）3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.4. 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如下圖）. （二面角的取值范圍） （直線與直線所成角） （斜線與平面成角） （直線與平面所成角）（向量與向量所成角推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.5. 兩異面直線的距離：公垂線的長度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.是異面直線，則過外一點P，過點P且與都平行平面有一個或沒有，但與距離相等的點在同一平面內. （或

4、在這個做出的平面內不能叫與平行的平面）三、 直線與平面平行、直線與平面垂直.1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內.2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行，線面平行”）注：直線與平面內一條直線平行，則. （×）（平面外一條直線）直線與平面內一條直線相交，則與平面相交. （×）（平面外一條直線）若直線與平面平行，則內必存在無數條直線與平行. （）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面. （×）（可能在此平面內）平行

5、于同一直線的兩個平面平行.（×）（兩個平面可能相交）平行于同一個平面的兩直線平行.（×）（兩直線可能相交或者異面）直線與平面、所成角相等，則.（×）（、可能相交）3. 直線和平面平行性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直. l 若，得（三垂線定理），得不出. 因為，但不垂直OA.l 三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面

6、內的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直，線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.注：垂直于同一平面的兩個平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一條直線的兩個平面平行）垂直于同一直線的兩個平面平行.（）（一條直線垂直于平行的一個平面，必垂直于另一個平面）垂直于同一平面的兩條直線平行.（）5. 垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段

7、射影較長；垂線段比任何一條斜線段短.注：垂線在平面的射影為一個點. 一條直線在平面內的射影是一條直線.（×）射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內的射影在這個角的平分線上四、 平面平行與平面垂直.1. 空間兩個平面的位置關系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.（“線面平行，面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.注：一平面間的任一直線平行于另一平面.3. 兩個平面平行的性質定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.

8、（“面面平行，線線平行”）4. 兩個平面垂直性質判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直性質判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直，面面垂直”）注：如果兩個二面角的平面對應平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關系.5. 兩個平面垂直性質定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，因為則. 6. 兩異面直線任意兩點間的距離公式：（為銳角取加，為鈍取減，綜上，都取加則必有）7. 最小角

9、定理：（為最小角，如圖）最小角定理的應用（PBN為最小角）簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有2條.成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有. 五、 棱錐、棱柱.1. 棱柱.直棱柱側面積：（為底面周長，是高）該公式是利用直棱柱的側面展開圖為矩形得出的.斜棱住側面積：（是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側棱長）該公式是利用斜棱柱的側面展開圖為平行四邊形得出的.四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體.直四棱柱平行六面體=直平行六面體.

10、棱柱具有的性質：棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等；直棱柱的各個側面都是矩形；正棱柱的各個側面都是全等的矩形.棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形.過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形.注：棱柱有一個側面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱. （×）（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖）（直棱柱定義）棱柱有一條側棱和底面垂直.平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.注：四棱柱的對角線不一定相交于一點.定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為，

11、則.推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側面所成的角為，則.注：有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形）各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（應是各側面都是正方形的直棱柱才行）對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（×）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側棱與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應是充要條件）2. 棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.注：一個棱錐可以四各面都為直角三角形.一個棱柱可以分成等

12、體積的三個三棱錐；所以.正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面的中心.注：i. 正四棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正側棱與底棱不一定相等iii. 正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形（即側棱相等）；底面為正多邊形.正棱錐的側面積：（底面周長為，斜高為）棱錐的側面積與底面積的射影公式：（側面與底面成的二面角為）附： 以知，為二面角. 則， 得.注：S為任意多邊形的面積（可分別多個三角形的方法）.棱錐具有的性質：正棱錐各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱

13、錐的斜高）.正棱錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側棱、側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形.特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：棱錐的側棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.棱錐的側棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.棱錐的各側面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點

14、到各頂點的距離等于球半徑；每個四面體都有內切球，球心是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.注：i. 各個側面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（×）（各個側面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直. 簡證：ABCD，ACBD BCAD. 令得，已知則.iii. 空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結各邊的中點的四邊形一定是矩形.iv. 若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結各邊的中點的四邊是一定是正方形.簡證：取AC中點，則平面90°易知EFGH為平行四邊形EFGH為長方形.若對角線等，則

15、為正方形.3. 球：球的截面是一個圓面.球的表面積公式：.球的體積公式：.緯度、經度：緯度：地球上一點的緯度是指經過點的球半徑與赤道面所成的角的度數.經度：地球上兩點的經度差，是指分別經過這兩點的經線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數，特別地，當經過點的經線是本初子午線時，這個二面角的度數就是點的經度.附：圓柱體積：（為半徑，為高）圓錐體積：（為半徑，為高）錐形體積：（為底面積，為高） 4. 內切球：當四面體為正四面體時，設邊長為a，得.注：球內切于四面體：外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關系式.六. 空間向量.1. （1）共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互

16、相平行或重合.注：若與共線，與共線，則與共線.（×） 當時，不成立向量共面即它們所在直線共面.（×） 可能異面若，則存在小任一實數，使.（×）與不成立若為非零向量，則.（）這里用到之積仍為向量（2）共線向量定理：對空間任意兩個向量， 的充要條件是存在實數（具有唯一性），使.（3）共面向量：若向量使之平行于平面或在內，則與的關系是平行，記作.（4）共面向量定理：如果兩個向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實數對x、y使.空間任一點O和不共線三點A、B、C，則是PABC四點共面的充要條件.（簡證：P、A、B、C四點共面）注：是證明四點共面的常用方法.2. 空間

17、向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組x、y、z，使.推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P, 都存在唯一的有序實數組x、y、z使 (這里隱含x+y+z1).注：設四面體ABCD的三條棱，其中Q是BCD的重心，則向量用即證.3. （1）空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應為橫坐標），y軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎坐標）.令=(a1,a2,a3),，則 (用到常用的向量模與向量之間的轉化：)空間兩點的距離公式：.（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.

18、（3）用向量的常用方法：利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為.利用法向量求二面角的平面角定理：設分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小（方向相同，則為補角，反方，則為其夾角）.證直線和平面平行定理：已知直線平面，且CDE三點不共線，則a的充要條件是存在有序實數對使.（常設求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.II. 競賽知識要點一、四面體.1. 對照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質：四面體的六條棱的垂直平分面交于一點，這一點叫做此四面體的外接球的球心；

19、四面體的四個面組成六個二面角的角平分面交于一點，這一點叫做此四面體的內接球的球心；四面體的四個面的重心與相對頂點的連接交于一點，這一點叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為31；12個面角之和為720°，每個三面角中任兩個之和大于另一個面角，且三個面角之和為180°.2. 直角四面體：有一個三面角的三個面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當于平面幾何的直角三角形. （在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長之和、表面積、外接球半徑、內切球半徑及側面上的高），則有空間勾股定理：S2ABC+S2BCD+S2ABD=S2ACD.3. 等腰四面體：對棱都

20、相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形.根據定義不難證明以長方體的一個頂點的三條面對角線的端點為頂點的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個等腰四面體拼補成一個長方體.（在等腰四面體ABCD中，記BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，體積為V，外接球半徑為R，內接球半徑為r，高為h），則有等腰四面體的體積可表示為；等腰四面體的外接球半徑可表示為；等腰四面體的四條頂點和對面重心的連線段的長相等，且可表示為；h = 4r.二、空間正余弦定理.空間正弦定理：sinABD/sinA-BC-D=sinABC/sinA-BD-C=sinCBD/sinC-BA-

21、D空間余弦定理：cosABD=cosABCcosCBD+sinABCsinCBDcosA-BC-D立體幾何知識要點一、知識提綱（一）空間的直線與平面平面的基本性質 三個公理及公理三的三個推論和它們的用途斜二測畫法空間兩條直線的位置關系：相交直線、平行直線、異面直線公理四（平行線的傳遞性）等角定理異面直線的判定：判定定理、反證法異面直線所成的角：定義（求法）、范圍直線和平面平行 直線和平面的位置關系、直線和平面平行的判定與性質直線和平面垂直直線和平面垂直：定義、判定定理三垂線定理及逆定理5.平面和平面平行兩個平面的位置關系、兩個平面平行的判定與性質6.平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性

22、質定理（二）直線與平面的平行和垂直的證明思路（見附圖）（三）夾角與距離7.直線和平面所成的角與二面角平面的斜線和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜線和平面所成的角、直線和平面所成的角二面角：定義、范圍、二面角的平面角、直二面角互相垂直的平面及其判定定理、性質定理8.距離點到平面的距離直線到與它平行平面的距離兩個平行平面的距離：兩個平行平面的公垂線、公垂線段異面直線的距離：異面直線的公垂線及其性質、公垂線段（四）簡單多面體與球9.棱柱與棱錐多面體棱柱與它的性質：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性質平行六面體與長方體：平行六面體、直平行六面體、長方體、正四棱柱、正方體；平行六面體的性質、長方

23、體的性質棱錐與它的性質：棱錐、正棱錐、棱錐的性質、正棱錐的性質直棱柱和正棱錐的直觀圖的畫法10.多面體歐拉定理的發現簡單多面體的歐拉公式正多面體11.球球和它的性質：球體、球面、球的大圓、小圓、球面距離球的體積公式和表面積公式二、常用結論、方法和公式1.從一點O出發的三條射線OA、OB、OC，若AOB=AOC，則點A在平面BOC上的射影在BOC的平分線上；A2. 已知:直二面角MABN中，AE M，BF N,EAB=,ABF=，異面直線AE與BF所成的角為，則3.立平斜公式：如圖，AB和平面所成的角是，AC在平面內，BC和AB的射影BA1成，設ABC=,則coscos=cos；4.異面直線所成

24、角的求法：（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；（2）補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；5.直線與平面所成的角斜線和平面所成的是一個直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產生線面角的關鍵；6.二面角的求法（1）定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；（2）三垂線法：已知二面角其中一個面內一點到一個面的垂

25、線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；（4）射影法：利用面積射影公式S射S原cos,其中為平面角的大小，此法不必在圖形中畫出平面角；特別:對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。7.空間距離的求法（1）兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進行計算；（2）求點到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解；（3）求點到平面的距離，一是用垂面法，借

26、助面面垂直的性質來作，因此，確定已知面的垂面是關鍵；二是不作出公垂線，轉化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解；8.正棱錐的各側面與底面所成的角相等，記為，則S側cos=S底；9.已知:長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為因此有cos2+cos2+cos2=1; 若長方體的體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2;10.正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；11.歐拉公式：如果簡單多面體的頂點數為V,面數為F,棱數為E.那么V+FE=2；并且棱數E各頂點連著的棱數和的一半各面邊數和的一半；12.柱體的體積公式：柱體（棱柱、圓柱）的體

27、積公式是V柱體=Sh.其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.13.直棱柱的側面積和全面積S直棱柱側= c (c表示底面周長，表示側棱長) S棱柱全=S底+S側 14棱錐的體積:V棱錐=，其中S是棱錐的底面積，h是棱錐的高。15.球的體積公式V=，表面積公式；掌握球面上兩點A、B間的距離求法：（1）計算線段AB的長，（2）計算球心角AOB的弧度數；(3)用弧長公式計算劣弧AB的長； 高中數學第十章-排列組合二項定理考試內容：數學探索©版權所有aaadelvebbb分類計數原理與分步計數原理數學探索©版權所有aaadelvebbb排列排列數公式數學探索©版權所有aaad

28、elvebbb組合組合數公式組合數的兩個性質數學探索©版權所有aaadelvebbb二項式定理二項展開式的性質數學探索©版權所有aaadelvebbb考試要求：數學探索©版權所有aaadelvebbb（1）掌握分類計數原理與分步計數原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題數學探索©版權所有aaadelvebbb（2）理解排列的意義，掌握排列數計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題數學探索©版權所有aaadelvebbb（3）理解組合的意義，掌握組合數計算公式和組合數的性質，并能用它們解決一些簡單的應用問題數學探索©版權所有aaa

29、delvebbb（4）掌握二項式定理和二項展開式的性質，并能用它們計算和證明一些簡單的問題§10. 排列組合二項定理 知識要點一、兩個原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可以有重復元素的排列.從m個不同元素中，每次取出n個元素，元素可以重復出現，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二第n位上選取元素的方法都是m個，所以從m個不同元素中，每次取出n個元素可重復排列數m·m· m = mn. 例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？ （解：種）二、排列.1. 對排列定義的理解.定義：從n個不同的元素中任取m(mn)個元素，按照一定順序排成一列，叫

30、做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.相同排列.如果；兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.排列數.從n個不同元素中取出m(mn)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列. 從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數，用符號表示.排列數公式： 注意： 規定0! = 1 規定2. 含有可重元素的排列問題.對含有相同元素求排列個數的方法是：設重集S有k個不同元素a1，a2,.an其中限重復數為n1、n2nk，且n = n1+n2+nk , 則S的排列個數等于. 例如：已知數字3、2、2，求其排列個數又例如：數字5、5、5、求其排列個數？其

31、排列個數. 三、組合.1. 組合：從n個不同的元素中任取m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.組合數公式：兩個公式： 從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出 n-m個元素的方法是一一對應的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合.（或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有）根據組合定義與加法原理得；在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素

32、中再取m-1個元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有C種，依分類原理有. 排列與組合的了解與區別.了解：都是從n個不同元素中取出m個元素.區別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關系，后者無順序關系.幾個常用組合數公式常用的證明組合等式方法例.i. 裂項求和法. 如：（利用）ii. 導數法. iii. 數學歸納法. iv. 倒序求和法.v. 遞推法（即用遞推）如：.vi. 構造二項式. 如： 證明：這里構造二項式其中的系數，左邊為，而右邊四、排列、組合綜合.1. I. 排列、組合問題幾大解題方法及題型：直接法. 排除法.捆綁法：在特定要求的

33、條件下，將幾個相關元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某個元素必相鄰的排列有個.其中是一個“整體排列”，而則是“局部排列”.又例如有n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，則有排列法種數為. 有n件不同商品，若其中A、B排在一起有.有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.注：區別在于是確定的座位，有種；而的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個，有不確定性.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.例如：n個元素全排列，其中m個元素

34、互不相鄰，不同的排法種數為多少？（插空法），當n m+1m, 即m時有意義.占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.調序法：當某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進行全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有種排列方法.例如：n個元素全排列，其中m個元素順序不變，共有多少種不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+

35、1）（m+2）n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）.平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有.例如：從1，2，3，4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法？有（平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了）又例如將200名運動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？（）注意：分組與插空綜合. 例如：n個元素全排列，其中某m個元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有，當n m+1 m, 即m時有意義.隔板法：常用于解正整數解組數的問題.例如：的正整數解的組數就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4

36、個組.每一種方法所得球的數目依次為顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對應著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式（如圖 所示）故方程的解和插板的方法一一對應. 即方程的解的組數等于插隔板的方法數.注意：若為非負數解的x個數，即用中等于，有，進而轉化為求a的正整數解的個數為 .定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規定某r個元素都包含在內，并且都排在某r個指定位置則有.例如：從n個不同元素中，每次取出m個元素的排列，其中某個元素必須固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少種排法？固定在某一位置上：；不在某一位置上：或（一類是不取出特殊元素a，有，一類是取特殊元素a

37、，有從m-1個位置取一個位置，然后再從n-1個元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的）指定元素排列組合問題. i. 從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列（或組合），規定某r個元素都包含在內 。先C后A策略，排列；組合.ii. 從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規定某r個元素都不包含在內。先C后A策略，排列；組合.iii 從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規定每個排列（或組合）都只包含某r個元素中的s個元素。先C后A策略，排列；組合. II. 排列組合常見解題策略：特殊元素優先安排策略；合理分類與準確分步策略；排列、組合混合問題先選后排的策略（處

38、理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）；正難則反，等價轉化策略；相鄰問題插空處理策略；不相鄰問題插空處理策略；定序問題除法處理策略；分排問題直排處理的策略；“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；構造模型的策略.2. 組合問題中分組問題和分配問題.均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數相等，不管是否分盡，其分法種數為（其中A為非均勻不編號分組中分法數）.如果再有K組均勻分組應再除以.例：10人分成三組，各組元素個數為2、4、4，其分法種數為.若分成六組，各組人數分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數為非均勻編號分組: n個不同元素分組，各組元素數目均不相等

39、，且考慮各組間的順序，其分法種數為例：10人分成三組，各組人數分別為2、3、5，去參加不同的勞動，其安排方法為：種.若從10人中選9人分成三組，人數分別為2、3、4，參加不同的勞動，則安排方法有種均勻編號分組：n個不同元素分成m組，其中r組元素個數相同且考慮各組間的順序，其分法種數為.例：10人分成三組，人數分別為2、4、4，參加三種不同勞動，分法種數為 非均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，每組元素數目均不相同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數為例：10人分成三組，每組人數分別為2、3、5，其分法種數為若從10人中選出6人分成三組，各組人數分別為1、2、3，其分法種數

40、為.五、二項式定理.1. 二項式定理：.展開式具有以下特點： 項數：共有項； 系數：依次為組合數 每一項的次數是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.二項展開式的通項.展開式中的第項為：.二項式系數的性質.在二項展開式中與首未兩項“等距離”的兩項的二項式系數相等；二項展開式的中間項二項式系數最大.I. 當n是偶數時，中間項是第項，它的二項式系數最大；II. 當n是奇數時，中間項為兩項，即第項和第項，它們的二項式系數最大.系數和： 附：一般來說為常數）在求系數最大的項或最小的項時均可直接根據性質二求解. 當時，一般采用解不等式組的系數或系數的絕對值）的辦法來求解.如何來求展開

41、式中含的系數呢？其中且把視為二項式，先找出含有的項，另一方面在中含有的項為，故在中含的項為.其系數為.2. 近似計算的處理方法.當a的絕對值與1相比很小且n不大時，常用近似公式，因為這時展開式的后面部分很小，可以忽略不計。類似地，有但使用這兩個公式時應注意a的條件，以及對計算精確度的要求.高中數學第十一章-概率 考試內容：數學探索©版權所有aaadelvebbb隨機事件的概率等可能性事件的概率互斥事件有一個發生的概率相互獨立事件同時發生的概率獨立重復試驗數學探索©版權所有aaadelvebbb考試要求：數學探索©版權所有aaadelvebbb（1）了解隨機事件的發

42、生存在著規律性和隨機事件概率的意義數學探索©版權所有aaadelvebbb（2）了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率。數學探索©版權所有aaadelvebbb（3）了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率數學探索©版權所有aaadelvebbb（4）會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發生次的概率數學探索©版權所有aaadelvebbb§11. 概率 知識要點 1. 概率：隨機事件A的概率是頻率的穩定值，反之，頻率是概率的近似值.2. 等可

43、能事件的概率：如果一次試驗中可能出現的結果有年n個，且所有結果出現的可能性都相等，那么，每一個基本事件的概率都是，如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率.3. 互斥事件：不可能同時發生的兩個事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B發生(即A、B中有一個發生)的概率，等于事件A、B分別發生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：.對立事件：兩個事件必有一個發生的互斥事件叫對立事件. 例如：從152張撲克牌中任取一張抽到“紅桃”與抽到“黑桃”互為互斥事件，因為其中一個不可能同時發生，但又不能保證其中一個必然發生，故不是對立事件.而抽到“紅色牌”與抽到黑色牌“互為對

44、立事件，因為其中一個必發生.注意：i.對立事件的概率和等于1：. ii.互為對立的兩個事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件.相互獨立事件：事件A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率沒有影響.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件. 如果兩個相互獨立事件同時發生的概率，等于每個事件發生的概率的積，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，當兩個事件同時發生的概率P（AB）等于這兩個事件發生概率之和，這時我們也可稱這兩個事件為獨立事件.例如：從一副撲克牌（52張）中任抽一張設A：“抽到老K”；B：“抽到紅牌”則 A應與B互為獨立事件看上去A與B有關系很有可能不是獨立事件，但.又

45、事件AB表示“既抽到老K對抽到紅牌”即“抽到紅桃老K或方塊老K”有，因此有.推廣：若事件相互獨立，則.注意：i. 一般地，如果事件A與B相互獨立，那么A 與與B，與也都相互獨立.ii. 必然事件與任何事件都是相互獨立的.iii. 獨立事件是對任意多個事件來講，而互斥事件是對同一實驗來講的多個事件，且這多個事件不能同時發生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨立事件.獨立重復試驗：若n次重復試驗中，每次試驗結果的概率都不依賴于其他各次試驗的結果，則稱這n次試驗是獨立的. 如果在一次試驗中某事件發生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率：.4. 對任何兩個事件

46、都有第十二章-概率與統計 考試內容：抽樣方法.總體分布的估計數學探索©版權所有aaadelvebbb總體期望值和方差的估計數學探索©版權所有aaadelvebbb考試要求：數學探索©版權所有aaadelvebbb（1）了解隨機抽樣了解分層抽樣的意義，會用它們對簡單實際問題進行抽樣數學探索©版權所有aaadelvebbb（2）會用樣本頻率分布估計總體分布數學探索©版權所有aaadelvebbb（3）會用樣本估計總體期望值和方差§12. 概率與統計 知識要點一、隨機變量.1. 隨機試驗的結構應該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：試驗可以在

47、相同的情形下重復進行；試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪一個結果.它就被稱為一個隨機試驗.2. 離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.若是一個隨機變量，a，b是常數.則也是一個隨機變量.一般地，若是隨機變量，是連續函數或單調函數，則也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數也是隨機變量.設離散型隨機變量可能取的值為：取每一個值的概率，則表稱為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列.P有性質； .注意：若隨機變量可以取某一區間內的一切值，這樣的變量

48、叫做連續型隨機變量.例如：即可以取05之間的一切數，包括整數、小數、無理數.3. 二項分布：如果在一次試驗中某事件發生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率是：其中 于是得到隨機變量的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作B（n·p），其中n，p為參數，并記.二項分布的判斷與應用.二項分布，實際是對n次獨立重復試驗.關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布.當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利

49、用二項分布求其分布列.4. 幾何分布：“”表示在第k次獨立重復試驗時，事件第一次發生，如果把k次試驗時事件A發生記為，事A不發生記為，那么.根據相互獨立事件的概率乘法分式：于是得到隨機變量的概率分布列.123kPq qp 我們稱服從幾何分布，并記，其中5. 超幾何分布：一批產品共有N件，其中有M（MN）件次品，今抽取件，則其中的次品數是一離散型隨機變量，分布列為.分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數，如果規定時，則k的范圍可以寫為k=0，1，n.超幾何分布的另一種形式：一批產品由 a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1na+b），則次品數的分布列為.超幾何分布與二項分布

50、的關系.設一批產品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數的分布列可如下求得：把個產品編號，則抽取n次共有個可能結果，等可能：含個結果，故，即.我們先為k個次品選定位置，共種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法 可以證明：當產品總數很大而抽取個數不多時，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.二、數學期望與方差.1. 期望的含義：一般地，若離散型隨機變量的概率分布為P則稱為的數學期望或平均數、均值.數學期望又簡稱期望.數學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.2. 隨機變量的數學期望： 當時

51、，即常數的數學期望就是這個常數本身.當時，即隨機變量與常數之和的期望等于的期望與這個常數的和.當時，即常數與隨機變量乘積的期望等于這個常數與隨機變量期望的乘積.01Pqp單點分布：其分布列為：. 兩點分布：，其分布列為：（p + q = 1）二項分布： 其分布列為.（P為發生的概率）幾何分布： 其分布列為.（P為發生的概率）3.方差、標準差的定義：當已知隨機變量的分布列為時，則稱為的方差. 顯然，故為的根方差或標準差.隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩定與波動，集中與離散的程度.越小，穩定性越高，波動越小.4.方差的性質.隨機變量的方差.（a、b均為常數）01Pqp單點分布： 其分

52、布列為兩點分布： 其分布列為：（p + q = 1）二項分布：幾何分布： 5. 期望與方差的關系.如果和都存在，則設和是互相獨立的兩個隨機變量，則期望與方差的轉化： （因為為一常數）.三、正態分布.（基本不列入考試范圍）1.密度曲線與密度函數：對于連續型隨機變量，位于x軸上方，落在任一區間內的概率等于它與x軸.直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖陰影部分）的曲線叫的密度曲線，以其作為圖像的函數叫做的密度函數，由于“”是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.2. 正態分布與正態曲線：如果隨機變量的概率密度為：. （為常數，且），稱服從參數為的正態分布，用表示.的表達式可簡記為，它的密度

53、曲線簡稱為正態曲線.正態分布的期望與方差：若，則的期望與方差分別為：.正態曲線的性質.曲線在x軸上方，與x軸不相交.曲線關于直線對稱.當時曲線處于最高點，當x向左、向右遠離時，曲線不斷地降低，呈現出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.當時，曲線上升；當時，曲線下降，并且當曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.當一定時，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.3. 標準正態分布：如果隨機變量的概率函數為，則稱服從標準正態分布. 即有，求出，而P（ab）的計算則是.注意：當標準正態分布的的X取0時，有當的X取大于

54、0的數時，有.比如則必然小于0，如圖. 正態分布與標準正態分布間的關系：若則的分布函數通常用表示，且有. 4.“3”原則.假設檢驗是就正態總體而言的，進行假設檢驗可歸結為如下三步：提出統計假設，統計假設里的變量服從正態分布.確定一次試驗中的取值是否落入范圍.做出判斷：如果，接受統計假設. 如果，由于這是小概率事件，就拒絕統計假設.“3”原則的應用：若隨機變量服從正態分布則 落在內的概率為99.7 亦即落在之外的概率為0.3，此為小概率事件，如果此事件發生了，就說明此種產品不合格（即不服從正態分布）.高中數學第十三章-極 限考試內容： 教學歸納法數學歸納法應用 數列的極限 函數的極限根限的四則運算函數的連續性考試要求：（1）理解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題（2）了解數列極限和函數極限的概念（