1、畢業論文開題報告信息與計算科學函數的凸性及應用一、 選題的背景、意義 （所選課題的歷史背景、國內外研究現狀和發展趨勢）凸函數具有一些非常優良的性質1 , 有著較好的幾何和代數性質，在數學各個領域中都有著廣泛的應用。1905 年丹麥數學家Jensen 首次給出了凸函數的定義，開創了凸函數研究的先河，經過近百年努力，凸函數的研究在各個方面正得到長足的發展，其中，凸函數的判據研究已接近完善，在現代學習和生活中的重要性已經不斷的凸顯出來。凸分析是近年來凹凸函數發展起來的一門應用十分廣泛的數學支，尤其是在最優化理論方面的應用更為突出，人們對凸分析的自身理論發展也進行了廣泛的深入研究，使得凸函數的性質也得

2、到了較好的發展。 在凸規劃理論、尤其是非線性最優化中，函數的凸性分析是最基本的，又是最重要的，近年來，研究函數各種凸性的文獻越來越多。凸函數是一類重要的函數。對函數凹凸性的研究，在數學的多個分支都有用處。特別是在函數圖形的描繪和不等式的推導方面，凸函數都有著十分重要的作用。同樣凸函數是數學分析中的一個重要概念，它涉及了許多數學命題的討論證明和應用，而且在現代優化學、運籌學、管理學、和工程測繪學等多個學科有著重要的意義。函數凸性的應用顯著地體現在求最值、不等式的證明上。不等式的證明方法很多，技巧性強， 函數凸性是函數在區間上變化的整體形態，是研究不等式的重要方法之一，巧妙的構造凸函數，可以簡單輕

3、快得證明不等式。凸函數在數學規劃中有著廣泛的應用背景, 一些常見的不等式都可以從函數的凸性中導出。在不等式的研究中，凸函數所發揮的作用是無可替代的。 與凸函數有關的不等式是基礎數學理論的重要工具，尤其在不等式的證明中發揮的作用是無可替代的，其中Jensen 不等式與Hadamard 不等式更是起到了重要的作用。Jensen不等式通常用來證明有限不等式，它是將無窮項求和與積分聯系起來的重要橋梁。利用Hadamard不等式可以對兩個正數的幾何平均數與算數平均數加細。凸函數是一類非常重要的函數，應用函數的凸性，不僅可以科學、準確的描述函數的圖像，而且也有證明不等式的凸函數方法，同時，凸函數也是優化問

4、題中重要的研究對象，它 研究的內容非常豐富，研究的結果也在許多領域得到了廣泛的應用。二、研究的基本內容與擬解決的主要問題本文首先對凸函數定義進行介紹，凸函數的等價性質進行了概述；接下來介紹了凸函數的基本性質，然后由此延伸，進一步提出凸函數的應用，主要集中在下面幾方面的應用：凸函數在Hadamard不等式證明中的應用，凸函數在證明Jensen不等式時的應用， 凸函數在分析不等式中的應用等方面進行了討論。2.1 凸函數的定義2.1.1 凸函數一些基本定義通過數學分析2的學習，對于函數 f x X2和f x JX的圖像，我們很容易得出它們之間的不同點：曲線 y X2上任意兩點間的弧段總在這兩點連線的

5、下方；而曲線 y 則相反，在任意兩點間的弧段總在這兩點連線的上方。通過這兩個函數， 我們把前一種特性的曲線稱為凸的，后一種為凹的。對于凸的我們稱其函數為凸函數。葛麗萍3給出了凸函數的基本定義3:設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點X1,X 2和任意實數0,1總有fXi1X2fXi1 fX2，則稱f為I上的凸函數。2.1.2 嚴格凸函數的定義江芹，陳文略4給出了嚴格凸函數的定義并且討論了區間I上嚴格凸函數的判定方法。定義：凸函數的定義為函數f滿足以下不等式fX11X2fX11 fX2,f為區間I上的函數，X1, X2為I上的任意兩點和任意實數0,1 。當上面的不等式變為f X11 X2

6、 f X11 f X2時，其余條件不變，該函數稱為嚴格凸函數。2.1.3 凸函數的等價描述林銀河5詳細論述了凸函數的等價描述，由此得出：若 f (x)在I上有定義，則以下3個命題等價：O f (x)在I上為凸函數； qi0, q1 q2 qn 1 ,x，X2, Xn I,有f(q1X1 q2X2qnXn) qf(X1)q2 f(X2)qnf(Xn)；3 qi 0,且 qi(i 1, ,n)不全為零，xl, Xn I,有f(qiXi q2X2qnXn)qi q2qnqif(Xi) q2f(X2)qnf(Xn)qi q2qn其中命題C2就是著名的Jense杯等式。在Jense杯等式中令qii “、

7、，(i i,2, ,n)就得到如下 n定義：設f(x)在區間I上有定義，f(x)稱為I上的凸函數，當且僅當Xi, X2, XnI,有f(當X2 nXn) f(Xi) f(X2)f(Xn)nf為區間I上的可導函數，可葛麗萍3介紹了函數f在區間I上可導的等價條件：若 得出以下等價條件。i f為I上的凸；2 f為I上的增函數；3對I上的任意兩點Xi,'X2 ,有 f X2f (Xi)f Xi X2 Xi 02.2 凸函數的一些性質2.2.1 凸函數的連續性凸函數是數學分析中的一類重要函數，而函數的連續性又是函數性態的一項基本而又重要的特征。由于Jensen定義中并沒有對函數作出連續性及可導性

8、假設，Jensen意義下凸函數并不一定是連續函數， 而連續函數也不一定是凸函數，選取實際問題中大量存在的區間上連續的函數作為討論對象，從凸函數的定義出發， 研究連續函數與凸函數的關系。那么我們就會提出這樣的問題：當連續函數f(x)滿足何種條件時，f(x)是區間I上的凸函數；當凸函數f(x)滿足何種條件時，f(x)是區間I上的連續函數；連續凸函數在區間I上具有何 種性質？宋方6提出，如果連續函數f(x)為凸函數，必定滿足以下定義：對任意的x1，x2 I及 0,i，恒有：f XiX2f Xi i f X2。2.2.2 凸函數的微積分性質劉鴻基，張志宏8指出凸函數是一類重要的函數，有著較好的分析性質

9、， 而關于凸函數，一般教材大都從幾何意義方面引出定義，描述為：凸曲線弧段上任意兩點聯結而成的弦，總是位于曲線弧段的下方；或者，當曲線各點處存在切線時，凸曲線弧全部位于曲線上各點處切線的下方。前者往往作為定義使用， 后者是凸函數的充分必要條件，也可以作為定義作用。劉鴻基，張志宏舉證了凸函數的 4個等價性定義，并對凸函數的微積分性質予以討論，得到 兩個重要的微積分性質：1. 設f(x)在區間(a,b)內可導，則f(x)在(a,b)上是凸函數的充分必要條件是：對任意點 xo (a,b),恒有 f(x) f(xo) f (xo)(x Xo)。2. 設f(x)是a,b上的凸函數，則f (a) f (b)

10、ba b 、2 (b a) f (x)d f (-)(b a) 2a22.3 凸函數的一些應用2.3.1 凸函數的應用概述函數凸性的應用顯著地體現在求最值、不等式的證明上9。不等式的證明方法很多，技巧性強，函數凸性是函數在區間上變化的整體形態，是研究不等式的重要方法之一，巧妙的構造凸函數，可以簡單輕快得證明不等式。一些常見的不等式都可以從函數的凸性中導出。鄒自德10指出：凸函數具有較好的幾何和代數性質，由凸函數可以引導出各種平均值并對這些平均值進行比較。 梁艷11指出：凸函數是一類非常重要的函數，在不等式的研究中，凸函數所發揮的作用是無可替代的，可以根據凸凹函數的特性，結合典型事例，來說明凸函

11、數在處理一些有較大難度不等式證明中的應用。在不等式的研究中，凸函數所發揮著很重要的作用，在數學規劃中有著廣泛的應用背景，我們可以根據凸凹函數的特性，來解決一系列擁有較大難度的不等式，以及導出一些較難的不等式，通過凸函數的性質來得到比較直觀的證明，可以來導出如幾何平均值不大于算數平均值這一類比較難的不等式，說明了凸函數在處理一些有較大難度不等式證明中有著較好的作用。2.3.2 凸函數在證明Jense杯等式與Hadamard不等式時的應用王秋亮12討論了凸函數在證明 Jensen不等式時的應用。不論導出不等式還是證明不等式，利用Jensen不等式的關鍵在于選取適當的凸函數，并且根據想要構造或證明的

12、不等式的形式選取恰當的值。并且應用數學歸納法在用凸函數來證明Jensen不等式時，可以得到較好的效果。鄭寧國13給出了 Hadamar壞等式的兩種證明方法。討論了凸函數在證明 Hadamard 不等式時的應用。 選取適當的凸函數來證明 Hadamar壞等式，并且根據要證明的不等式的形 式選取恰當的值。2.3.3 凸函數在分析不等式中的應用關于凸函數的理論及應用有許多專門的研究，利用凸函數的概念可以來解決不等式的證明有許多方便之處， 現實中常常利用凸函數的概念來證明分析中的一些常見的不等式。李艷梅，李雪梅14給出了凸函數在分析不等式證明中的應用，利用凸函數的性質及Jensen不等式,對數學分析中

13、諸多不等式給予證明，從中可舉一反三，利用Jensen 不等式的一些特殊情況，可以得到一些常用的分析不等式。運用了凸函數的性質及 Jensen不等式15 ,可以很簡潔的來證得分析不等式。解決不等式的證明有著許多方便之處，凸函數適當的應用，使證明過程更加簡潔，會使結論的得出更加的方便。2.3 論文要解決的主要問題本文在總結前人的研究理論的基礎上，擬解決以下問題：(1) 介紹凸函數的定義以及它的性質；(2)凸函數在Hadamard不等式證明中的應用；(3) 凸函數在Jensen 不等式證明中的應用；(4) 凸函數在分析不等式中的應用。三、研究的方法與技術路線、研究難點，預期達到的目標1. 研究方法及

14、技術路線本論文主要以查找資料, 以現有的知識水平, 在前人的研究論述基礎上, 整理出凸函數的性質和應用。采取了從大量閱讀已有的數據資料然后對這些內容進行總結最后運用相關的知識經過系統的整理，歸納出凸函數的性質與應用。2. 研究難點( 1 )從大量的閱讀材料中整理與論文相關的資料是一個難點。( 2)尋找合適的凸函數來求解不等式是一個難點。( 3)不要簡單地重復已有的方法和結果，要有自己獨立的分析結果是一個難點。3. 預期達到的目標通過這次論文的撰寫，能更深的理解數學分析等相關課程的知識，通過對函數的凸性及應用的研究使我從另一個不同的角度審視凸函數，對凸函數的相關知識有了更深刻更全面的理解， 對凸

15、函數和數學分析的基本方法和基本技能能有較好的理解和掌握，打好數學的基礎，為進一步的學習做鋪墊。同時在本文的撰寫過程中掌握參考文獻資料查找方法和論文寫作的基本要求和方法，培養自己利用所學知識分析和解決問題的能力，學會從不同角度看待問題，從而達到對所學知識融會貫通的能力。四、論文詳細工作進度和安排第一階段：第七學期第11 周至 17 周 完成并分別提交畢業論文（設計）文獻綜述、開題報告及外文翻譯；第二階段：第七學期第18 周至第八學期第3 周完成畢業論文（設計）初稿；第三階段：第八學期第3 周至 11 周1、進入實習單位進行畢業實習，對論文進行修改；2、第11 周（ 5 月 3 日）前必須返校，完

16、成畢業實習返校，并遞交畢業實習報告，進一步完善畢業論文；第四階段：第八學期第12 周（5 月12 日）將完成的畢業論文（設計）交給指導教師；第五階段：第八學期第14 周（5 月23 日）至16 周（ 6 月 10 日）完成畢業論文答辯。五、主要參考文獻：1 蒲義書、陳露. 凸函數概論J. 高等數學研究,2006 ， 9（ 4）：34-71.2 數學分析M. 第三版 . 北京 : 高等教育出版社，2006： 148-154.3 葛麗萍 . 關于凸函數的幾個充分必要條件J. 文化教育，2010， （5） ： 193-193.4 江芹、陳文略. 嚴格凸函數的判定J. 高等函授學報,2006,19（4

17、） ： 27-28.5 林銀河 . 凸函數的等價描述與Jensen 不等式 J. 麗水師范專科學校學報，2001， 23（ 2）：8-11.6 宋方 . 關于凸函數的定義和性質J. 數學的實踐與認識，2007， 27（8） ： 189 194.7 Jonathan M.Borwein, Jon Vanderwerff. Constructions of Uniformly Convex FunctionsJ. 2000 Mathematics Subject Classification, 2000, 1-10.8 劉鴻基、張志宏. 凸函數的等價定義及其微積分性質的討論J. 商丘師范學院學報，2008， 24（6 ）：123-125.9 王華 . 關于凸函數性質的總結J. 科技教育，2005， 235-236.10 鄒自德 . 凸函數及應用J. 廣州廣播電視大學學報，2008， 8（1）:104-112.11 梁艷 . 凸函數的應用J. 內江師范學院學報，2010， 25： 90-91.12 王秋亮 . 凸函數在不等式中的應用J. 晉城職業技術學院學報，200