1、章末復習提升課章末復習提升課 第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系 空間中的共點、共線、共面問題空間中的共點、共線、共面問題1證明共面問題證明共面問題 證明共面問題證明共面問題， 一般有兩種方法： 一是由某些元素確定一個平面一般有兩種方法： 一是由某些元素確定一個平面，再證明其余元素在這個平面內再證明其余元素在這個平面內； 二是分別由不同元素確定若干個； 二是分別由不同元素確定若干個平面，再證平面，再證明這些平面重合明這些平面重合 2證明三點共線問題證明三點共線問題 證明空間三點共線問題證明空間三點共線問題，通常證明這些點都在兩個面的交線上通常證明這些點都在兩個

2、面的交線上，即先確定出某兩點在某兩個平面的交線上即先確定出某兩點在某兩個平面的交線上， 再證明第三個點是兩再證明第三個點是兩個平面的公共點個平面的公共點，當然必在兩個平面的交線上當然必在兩個平面的交線上 3證明三線共點問題證明三線共點問題 證明空間三線共點問題證明空間三線共點問題， 先證兩條直線交于一點先證兩條直線交于一點， 再證明第三條再證明第三條直線經過這點直線經過這點，把問題轉化為證明點在直線上的問題把問題轉化為證明點在直線上的問題 如圖如圖， 在正方體在正方體 ABCDA1B1C1D1中中， A1C 與平面與平面 ABC1D1交于點交于點 Q.求證：求證：B，Q，D1三點共線三點共線

3、證明證明 如圖如圖，連接連接 A1B，CD1，BD1.顯然顯然 B平面平面 A1BCD1，D1平面平面 A1BCD1， 所以所以 BD1平面平面 A1BCD1.同理同理 BD1平面平面 ABC1D1， 所以平面所以平面 ABC1D1平面平面 A1BCD1BD1. 因為因為 A1C平面平面 ABC1D1Q， 所以所以 Q平面平面 ABC1D1. 又因為又因為 A1C平面平面 A1BCD1， 所以所以 Q平面平面 A1BCD1. 所以所以 QBD1，即即 B，Q，D1三點共線三點共線 平行問題的判定與性質的應用平行問題的判定與性質的應用1判定線面平行的方法有：判定線面平行的方法有：線面平行的判定定

4、理；線面平行的判定定理；平面與平面與平面平行的性質定理平面平行的性質定理 2判定兩個平面平行的方法有：判定兩個平面平行的方法有：定義法；定義法；利用判定定理；利用判定定理；利用判定定理的推利用判定定理的推論；論；垂直于同一條直線的兩個平面平行；垂直于同一條直線的兩個平面平行；平行于同一平面的兩個平面互相平行平行于同一平面的兩個平面互相平行 如圖所示如圖所示， 四邊形， 四邊形ABCD是平行四邊形是平行四邊形， PB平面平面ABCD，MAPB，PB2MA.在線段在線段 PB 上是否存在一點上是否存在一點 F，使平面使平面AFC平面平面 PMD？若存在？若存在，請確定點請確定點 F 的位置；若不存

5、在的位置；若不存在，請請說明理由說明理由 解解 當點當點 F 是是 PB 的中點時的中點時，平面平面 AFC平面平面 PMD，證明如下：如證明如下：如圖圖，連接連接 BD 交交 AC 于點于點 O，連接連接 FO，那么那么 PF12PB. 因為四邊形因為四邊形 ABCD 是平行四邊形是平行四邊形， 所以所以 O 是是 BD 的中點所以的中點所以 OFPD. 又又 OF 平面平面 PMD，PD平面平面 PMD， 所以所以 OF平面平面 PMD. 又又 MA12PB， 所以所以 PFMA.所以四邊形所以四邊形 AFPM 是平行四邊形是平行四邊形 所以所以 AFPM. 又又 AF 平面平面 PMD，

6、PM平面平面 PMD， 所以所以 AF平面平面 PMD.又又 AFOFF，AF平面平面 AFC，OF平平面面 AFC. 所以平面所以平面 AFC平面平面 PMD. 故存在點故存在點 F，當當 F 是是 PB 的中點時的中點時，平面平面 AFC平面平面 PMD. 垂直問題的判定與性質的應用垂直問題的判定與性質的應用1判定線線垂直的方法有：判定線線垂直的方法有：按定義證明兩直線所成的角為直按定義證明兩直線所成的角為直角；角；由線面垂直證得線線垂直；由線面垂直證得線線垂直；利用面面垂利用面面垂直的性質直的性質 2判定線面垂直的方法有：判定線面垂直的方法有：利用線面垂直的定義：利用線面垂直的定義：l

7、與與 內內的任一直線都垂直的任一直線都垂直l；利用判定定理；利用判定定理；利用利用 ab，ab；利用利用 ，aa；利用面面垂直的性質利用面面垂直的性質定理：定理：，l，a，ala. 3判定面面垂直的方法有：判定面面垂直的方法有：證明一個平面經過另一個平面的證明一個平面經過另一個平面的一條垂線；一條垂線； 證明一個平面垂直于另一個平面內的一條直線 這證明一個平面垂直于另一個平面內的一條直線 這兩種方法都是將證明兩種方法都是將證明“面面垂直面面垂直”問題轉化為證明問題轉化為證明“線面垂直線面垂直”的問題的問題 (2016宜春檢測宜春檢測)在斜三棱柱在斜三棱柱A1B1C1 ABC(側棱與底面不垂直側

8、棱與底面不垂直)中中， 底面底面是等腰三角形是等腰三角形，ABAC，側面側面 BB1C1C底面底面 ABC.若若 D 是是 BC 的中點的中點 (1)求證：求證：ADCC1； (2)過側面過側面 BB1C1C 的對角線的對角線 BC1的平面交側棱于的平面交側棱于 M，若若 AMMA1，求證：截面求證：截面 MBC1側面側面 BB1C1C. 證明證明 (1)因為因為 ABAC，D 是是 BC 的中點的中點， 所以所以 ADBC， 因為底面因為底面 ABC平面平面 BB1C1C， 所以所以 AD側面側面 BB1C1C，所以所以 ADCC1. (2)取取 BC1的中點的中點 E，連接連接 ME，DE

9、. 因為因為 D 為為 BC 的中點的中點， 所以所以 DECC1，DE12CC1. 因為因為 AA1CC1， AA1CC1，且且 M 為為 AA1的中點的中點， 所以所以 AMCC1且且 AM12CC1. 所以所以 DEAM，DEAM， 所以所以 ADEM 是平行四邊形是平行四邊形，所以所以 EMAD. 因為因為 AD平面平面 BB1C1C，所以所以 EM平面平面 BB1C1C. 又又 EM截面截面 MBC1， 所以截面所以截面 MBC1側面側面 BB1C1C. 空間角問題空間角問題1空間角一般指兩異面直線所成的角、直線與平面所空間角一般指兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、成的角、平面

10、與平面所成的角平面與平面所成的角 2空間角的一般求法空間角的一般求法 (1)異面直線所成的角的求法一般有如下兩種：異面直線所成的角的求法一般有如下兩種： 平移相交法： 即根據定義平移相交法： 即根據定義， 把異面直線把異面直線中的一條或兩條進行平中的一條或兩條進行平移移，并并使其相交，作出異面直線所成的角，然后利用三角形邊角使其相交，作出異面直線所成的角，然后利用三角形邊角關系求角的大小關系求角的大小 線面垂直法： 在有些情況下線面垂直法： 在有些情況下， 可以通過判斷一條直線與另一條可以通過判斷一條直線與另一條直線所在的平面垂直直線所在的平面垂直，從而得到兩異面直線所成的角為直角從而得到兩異

11、面直線所成的角為直角 (2)直線與平面所成的角：定義法直線與平面所成的角：定義法 (3)二面角的平面角的求法：二面角的平面角的求法： 定義法；定義法；作棱的垂面法作棱的垂面法 如圖如圖，正方體的棱長為正方體的棱長為 1，BCBCO，求：求： (1)AO 與與 AC所成角的度數；所成角的度數； (2)AO 與平面與平面 ABCD 所成角的正切值；所成角的正切值； (3)平面平面 AOB 與與平面平面 AOC 所成角的度數所成角的度數 解解 (1)因為因為 ACAC， 所以所以 AO 與與 AC所成的角就是所成的角就是OAC. 因為因為 OCOB，AB平面平面 BC， 所以所以 OCAB 且且 A

12、BBOB. 所以所以 OC平面平面 ABO. 又又 OA平面平面 ABO， 所以所以 OCOA. 在在 RtAOC 中中，OC22，AC 2，sinOACOCAC12， 所以所以OAC30.即即 AO 與與 AC所成角的度數為所成角的度數為 30. (2)如圖如圖，作作 OEBC 于點于點 E，連接連接 AE， 因為平面因為平面 BC平面平面 ABCD， 所以所以 OE平面平面 ABCD， 則則OAE 為為 OA 與平面與平面 ABCD 所成的角所成的角 在在 RtOAE 中中，OE12， AE 12 12252， 所以所以 tanOAEOEAE55. (3)因為因為 OCOA， OCOB，

13、OAOBO， 所以所以 OC平面平面 AOB. 又因為又因為 OC平面平面 AOC，所以平面所以平面 AOB平面平面 AOC. 即平面即平面 AOB 與平面與平面 AOC 所成角的度數為所成角的度數為 90. 空間折疊問題空間折疊問題翻折與展開是一個問題的兩個方面翻折與展開是一個問題的兩個方面，不論是翻折還是展開不論是翻折還是展開，均均要注意要注意平面圖形與立體圖形中各個對應元素的相對變化，元素平面圖形與立體圖形中各個對應元素的相對變化，元素間長度與位置關系間長度與位置關系注意變與不變的轉化注意變與不變的轉化，平面圖與空間圖之平面圖與空間圖之間的數的變化與形的轉化間的數的變化與形的轉化 如圖如

14、圖，在正方形在正方形 SG1G2G3中中，E，F 分別是分別是 G1G2，G2G3的中點的中點，D 是是 EF 的中點的中點，現沿現沿 SE，SF 及及 EF 把這個正方形折把這個正方形折成一個幾何體成一個幾何體，使使 G1，G2，G3三點重合于點三點重合于點 G，這樣這樣，下列五下列五個結論：個結論：(1)SG平面平面 EFG；(2)SD平面平面 EFG；(3)GF平面平面SEF；(4)EF平面平面 GSD；(5)GD平面平面 SEF.正確的是正確的是( ) A(1)和和(3) B(2)和和(5) C(1)和和(4) D(2)和和(4) 解析解析 (1)由已知可得由已知可得SGESGF90， 即即 SGGE，SGGF， 又因為又因為 GEGFG，所以所以 SG平面平面 EFG.所以所以(1)正確；正確； (2)由由(1)知知 SG平面平面 EFG，而過平面外一點有且而過平面外一點有且只有一條直線只有一條直線與已知平面垂直與已知平面垂直，所以，所以( (2)不正確；不正確； (3)因為因為 SGGF，所以所以GFS 為銳角為銳角，即即 GF 與與 SF 不垂直不垂直，所所以以 GF 不可能垂直于平面不可能垂直于平面