1、數列求通項公式的常見題型與解題方法數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎高考對本章的考查比較全面，等差數列，等比數列的考查每年都不會遺漏有關數列的試題經常是綜合題，經常把數列知識和指數函數、對數函數和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數列、等比數列，求極限和數學歸納法綜合在一起探索性問題是高考的熱點，常在數列解答題中出現本章中還蘊含著豐富的數學思想，在主觀題中著重考查函數與方程、轉化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數法等基本數學方法數列這一章的主要章節結構為：近幾年來，高考關于數列方面的命題主要有以下三個方面：（1）數列本身的有關知識，其中有等差數列與等比數列

2、的概念、性質、通項公式及求和公式（2）數列與其它知識的結合，其中有數列與函數、方程、不等式、三角、幾何的結合（3）數列的應用問題，其中主要是以增長率問題為主試題的難度有三個層次，小題大都以基礎題為主，解答題大都以基礎題和中檔題為主，只有個別地方用數列與幾何的綜合與函數、不等式的綜合作為最后一題難度較大我僅對數列求通項公式這一部分內容做一個淺顯的分析與提煉題型1 已知數列前幾項求通項公式在我們的教材中，有這樣的題目：1 數列的通項2數列的通項3數列的通項此題主要通過學生觀察、試驗、合情推理等活動，且在此基礎上進一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質，從而培養學生數學思維能力相對于填空題或

3、是選擇題只需利用不完全歸納法進行猜想即可；對于解答題，往往還需要我們進一步加以證明例如（2003年全國高考）已知數列滿足()求：；()證明：分析：問題（）主要滲透一般化特殊化，利用已知的遞推公式求具體問題（）與問題（）緊密相連，可以從特殊入手，歸納論證相結合，求一般當然還可用后面介紹的方法即注意到進行，由特殊化歸為等比數列等加以證明本題貫穿特殊化與一般化的思維方法，實質上是歸納中的綜合課堂中我們還可以設計如下例題及練習，訓練學生這方面的技能例1.寫出下面數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數：例2.觀察下面數列的特點，寫出每個數列的一個通項公式：練習:寫出下面數列的一個通項公式：練習在

4、某報自測健康狀況的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統計數據如下表 觀察表中數據的特點，用適當的數填入表中空白（ ）內年齡（歲）30 35 40 45 50 55 60 65收縮壓（水銀柱 毫米）110 115 120 125 130 135 （140）145舒張壓（水銀柱 毫米）70 73 75 78 80 83 （ 85）88。練習根據下列5個圖形及相應點的個數的變化規律，猜測第個圖中有_n2-n+1_個點（1） （2） （3） （4） （5）相關的高考試題有：（2004年全國卷）已知數列an，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，則an的通項 分析：由已知，由

5、生成兩式相減得：，即為商型的，用累乘法可得即（2006年廣東卷）在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數，則；（答案用表示）. 題型2 由an與Sn的關系求通項公式在我們的教材中，有這樣的題目： 已知數列的前項和，則 n 已知數列的前項和，則 這類題目主要注意與之間關系的轉化即：= =一般已知條件中含an與Sn的關系的數列題均可考慮用上述公式例如：（04年浙江）設數列an

6、的前項的和Sn=（an-1） (n)()求a1；a2； ()求證數列an為等比數列解: ()由,得 又,即,得. ()當n>1時, 得所以是首項,公比為的等比數列課堂中我們還可以設計如下例題及練習，訓練學生這方面的技能例3.數列an的前n項和 Sn=3·2n-3,求數列的通項公式.練習1：設數列an的前n項和為Sn=2n2+3n+2，求通項an的表達式，并指出此數列是否為等差數列. 練習2：已知數列an的前n項和為Sn，a12，且nan+1=Sn+n(n+1)，求an相關的高考試題有：(2004全國卷)已知數列an的前n項和Sn滿足：Sn=2an +(-1)n,n1（）寫出求數

7、列an的前3項a1,a2,a3；（）求數列an的通項公式；（）證明：對任意的整數m>4，有.解：當n=1時,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；當n=2時,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；當n=3時,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；綜上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：化簡得：上式可化為：故數列是以為首項, 公比為2的等比數列.故 數列的通項公式為：.由已知得：.故( m>4).（2006年湖北卷）已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前n項和為，點均在函數的圖像上（）求數列的通項公式；（）設，是數列的前n項和

8、，求使得對所有都成立的最小正整數m點評：本小題考查二次函數、等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力解：（）設這二次函數f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因為點均在函數的圖像上，所以3n22n.當n2時，anSnSn1（3n22n）6n5.當n1時，a1S13×1226×15，所以，an6n5 （）.（2006年安徽卷）數列的前項和為，已知（）寫出與的遞推關系式，并求關于的表達式；（）設，求數列的前項和解：由得：，即，所以，對成立由，

9、相加得：，又，所以，當時，也成立（）由，得而，題型3 已知數列遞推公式求通項公式在我們的教材中，還有這樣的類型題：1 已知數列的首項，且，則 3n-2 2已知數列的首項，且，則 3已知數列的，且，則 1 4 已知數列的，且,則 n 這類問題是通過題目中給定的初始值和遞推公式，在熟練掌握等差數列、等比數列的通項公式的推導方法的基礎上，產生的一系列變式我們應清楚的意識到：1證明數列是等差或等比數列常用定義，即通過證明 或而得2在解決等差數列或等比數列的相關問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便，而一般數列的問題常轉化為等差、等比數列求解3.等差數列、等比數列求通項公式

10、涉及的迭代、累加、累乘、構造等方法我們具體進行如下分析：一、由等差，等比演化而來的“差型”，“商型”遞推關系題組一：數列中，求的通項公式 變式1：數列中，求的通項公式 變式2：數列中，求的通項公式 變式3：已知數列滿足，求變式4：數列中，求的通項公式 分析：等差數列：生成：，累加： =由此推廣成差型遞推關系：累加：= ，于是只要可以求和就行題組二、已知數列的首項，且，則 變式1：已知數列的首項，且，則 變式2：數列中，求的通項公式變式3：數列是首項為1的正項數列，且，求的通項公式分析：等比數列：生成：，累乘：=由此推廣成商型遞推關系：累乘：為了提高，我們還可以引用下列例題：例1、 若數列滿足：

11、求證：； 是偶數 證明：由已知可得：又=而=所以，而為偶數例2、已知數列，且, 其中k=1,2,3,.（I） 求；（II）求 an的通項公式. 解（）（略） (II) 所以 ，為差型 故=所以an的通項公式為：當n為奇數時，；當n為偶數時， 二由差型，商型類比出來的和型，積型：即例如：數列中相鄰兩項，是方程的兩根，已知，求的值 分析：由題意：+生成： +：所以該數列的所有的奇數項成等差，所有的偶數項也成等差其基本思路是，生成，相減；與“差型”的生成，相加的思路剛好相呼應到這里本題的解決就不在話下了特別的，若+，則即該數列的所有的奇數項均相等，所有的偶數項也相等若 則 ÷：所以該數列的

12、所有的奇數項成等比，所有的偶數項也成等比其基本思路是，生成，相除；與“商型”的生成，相乘的思路剛好相呼應特別地，若，則即該數列的所有的奇數項均相等，所有的偶數項也相等三可以一次變形后轉化為差型，商型的1例如：設是常數，且，（）證明：分析：這道題目是證明型的，最簡單的方法當然要數數學歸納法，現在我們考慮用推導的方法來處理的三種方法：方法（1）：構造公比為2的等比數列，用待定系數法可知方法（2）：構造差型數列，即兩邊同時除以 得：，從而可以用累加的方法處理方法（3）：直接用迭代的方法處理：說明：當時，上述三種方法都可以用；當時，若用方法1，構造的等比數列應該是 而用其他兩種方法做則都比較難用迭代法

13、關鍵是找出規律，除含外的其它式子，常常是一個等比數列的求和問題2型例如：已知，首項為，求（2003年江蘇卷22題改編）方法1：兩端取常用對數，得，令，則，轉化如上面類型的特別的，a=1，則轉化為一個等比數列方法2：直接用迭代法：四型的利用轉化為型，或型即混合型的轉化為純粹型的例如： 已知數列的前n項和Sn滿足()寫出數列的前3項 ()求數列的通項公式分析：-由得-由得，得-由得，得 -用代得 -：即- -又如：數列的前n項和記為，已知證明：數列是等比數列方法1 整理得 所以 故是以2為公比的等比數列.方法2：事實上，我們也可以轉化為，為一個商型的遞推關系，由=當然，還有一些轉化的方法和技巧，如

14、基本的式的變換，象因式分解，取倒數等還是要求掌握的生成與迭代是遞推關系的最重要特征遞推關系一般說來，是對任意自然數或大于等于2的自然數總成立的一個等式，自然數n可以取1，2，3n，n+1等等，這樣就可以衍生出很多的等式這就是所謂的生成性對于生成出來的等式，我們往往選一些有用的進行處理比如相加，相減，相乘，相除等，但用的最多的還是由后往前一次又一次的代入，直到已知項這種方法就叫迭代上面的很多例題都可以體現這一點這種很樸素的思想，對于相關的其他數列問題也是非常有效的這類的高考試題也比比皆是，如：（2004年全國卷）已知數列an，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，則a

15、n的通項 分析：由已知，由 生成兩式相減得，即為商型的，用累乘法可得即2.已知數列中，是其前項和，并且，()設數列，求證：數列是等比數列；()設數列，求證：數列是等差數列；（）求數列的通項公式及前項和分析：由于b和c中的項都和a中的項有關，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據b的構造，如何把該式表示成b與b的關系是證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和

16、得，數列b是首項為3，公比為2的等比數列，故b=3·2當n2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說明：1本例主要復習用等差、等比數列的定義證明一個數列為等差，等比數列，求數列通項與前項和解決本題的關鍵在于由條件得出遞推公式2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應用3.（04年重慶）設a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,-),令bn=an+1-an (n=1,2-)()求數列bn的通項公式；()求數列nan的前n項的和解：（I）因

17、故bn是公比為的等比數列，且 （II）由注意到可得記數列的前n項和為Tn，則4.（04年全國）已知數列an中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，（I）求a3,a5； （II）求an的通項公式解：（I）a2=a1+(1)1=0, a3=a2+31=3.a4=a3+(1)2=4 a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k1+(1)k+3k, 所以a2k+1a2k1=3k+(1)k, 同理a2k1a2k3=3k1+(1)k1, a3a1=3+(1). 所以(a2k+1a2k1)+(a2k

18、1a2k3)+(a3a1) =(3k+3k1+3)+(1)k+(1)k1+(1), 由此得a2k+1a1=(3k1)+(1)k1, 于是a2k+1=a2k= a2k1+(1)k=(1)k11+(1)k=(1)k=1. an的通項公式為： 當n為奇數時，an= 當n為偶數時，5.（2004年全國）已知數列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通項公式 6.(2004年天津理)已知定義在R上的函數和數列滿足下列條件： ，其中a為常數，k為非零常數（I）令，證明數列是等比數列；（）求數列的通項公式；（）當時，求7.(2006年重慶卷)在數列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),則該數列的通項an=_解析：在數列中，若， ，即是以為首項，2為公比的等比數列