1、數學模型數學模型 分形簡介分形簡介北京理工大學北京理工大學 王宏洲王宏洲大自然的不規則性：大自然的不規則性：樹木花草、山川河流、煙霧云彩等是不規則的。晶樹木花草、山川河流、煙霧云彩等是不規則的。晶體的生長，分子的運動軌跡等也是不規則的。如何體的生長，分子的運動軌跡等也是不規則的。如何用幾何來描述它？用幾何來描述它？B. Mandelbrot 觀察到英國海岸線與觀察到英國海岸線與Van Koch 曲線曲線的關系，提出了一門描述大自然的幾何形態的學科的關系，提出了一門描述大自然的幾何形態的學科-分形分形(Fractal)：英國的海岸線有多長？英國的海岸線有多長？一、分形簡介一、分形簡介1、分形的起

2、源、分形的起源 分形的特性 1、具有無限精細的結構 2、局部與整體的相似性 3、具有非拓撲維數，并且它大于對應的 拓撲維數 4、具有隨機性 5、在大多數情況下，分形可以用非常 簡單的方法確定，可能由迭代產生。 分形的應用領域 1、數學：動力系統 2、物理：布朗運動，流體力學中的湍流 3、化學：酶的構造， 4、生物：細胞的生長 5、地質：地質構造 6、天文：土星上的光環 其他：計算機，經濟，社會，藝術等等2、圖形迭代生成分形、圖形迭代生成分形 給定初始圖形 ，依照某一規則 對圖形反復作用 得到圖形序列 其極限圖形是分形，作用規則 稱為生成元。 R,.1 , 0,1kRFFkk.,21FFR0F例

3、如，Cantor 集的生成元是Van Koch 雪花曲線的生成元是Minkowski “香腸”Sierpinski地毯花草樹木花草樹木(L(L系統）系統） 生物學家Lindenmayer提出。一個L系統可表示為一個有序的三元素集合：其中：V是一些運動過程集合， w是初始形狀， P是生成式。PwVG, 例如，F表示向前距離d, +表示左轉彎a, -表示右轉彎，表示壓棧，表示出棧。FFFFFFPFwFV:,花草樹木(L 系統）3、函數迭代產生的分形、函數迭代產生的分形Z表示復數，在復平面上定義函數f(Z)。任意給定初始復數值 ，定義復數序列對于什么樣的初始值 ，復數序列收斂或有界？nZ0Z0Z)

4、1 (, 2 , 1 , 0),(1nZfZnn Julia集 考慮復變函數迭代固定復參數 c，使得迭代序列有界的初值 在復平面上的分布圖形稱為Julia集，亦即 迭代序列 有界)2(, 1 ,0,21ncZZnnnZ0ZnZ|0ZJc Mandelbrot集 固定初值 ，使得迭代序列（2）有界的參數 c 在復平面上的分布圖形稱為 Mandelbrot集。即 迭代序列 有界 記 則（2）變為0ZqipcyixZ,) 3(21221qyxypyxxnnnnnnnZ|0cJZ Julia 集的繪制方法：1、設定初值 p,q, 最大的迭代次數 N, 圖形的大小 a,b, 及使用的顏色數 K.2、設定

5、區域的界值 3、將區域 分成 的網格，分別以每個網格點為初值 利用（3）做迭代。如果對所有的 都有 ，則將象素(i, j) 置為黑色。如果從某一步 n 開始，則將象素 (i,j)置為顏色 n mod K。), 2max(22qpM,MMMMRba),(00yxNn 222Myxnn222MyxnnJulia 集Mandelbrot集、IFS迭代產生分形迭代產生分形 混沌游戲給定平面上三點A, B, C。再任意給定初始點 , 做下列迭代, 2/ )(, 2/ )(, 2/ )(1CZBZAZZnnnn當擲出的硬幣呈正面當擲出的硬幣呈反面當擲出的硬幣呈側面0Z按上述方式迭代數百次，呈現極不規則的圖

6、形。故稱為混沌游戲。 IFS迭代 IFS-Iterated Function System 取定 n 個仿射變換以及 n 個概率 任給初值 ，以概率 選取變換 進行迭代 則點集 的聚點集合稱為一個IFS吸引子。nibZaZwiii,.,2 , 1,)()1.(,.,12, 1nnppppp0ZipiwkZ1(),0,1,.kikZw zk 用IFS繪制分形的方法、設圖形可視區域為假設采用L 級灰度的圖像繪制，總迭代次數為N。、將 V 分成 的網格，格點為 用 表示矩形區域。用表示在N次迭代中落入 中點的個數。記 則象素 (i,j)的灰度為ba,maxminmaxminyyxxV),(jiyx,

7、11jjiiijyyxxVijijVijmaxLjiGij/),(5、一些分形圖片、一些分形圖片分形并不只是能分形并不只是能產生一些毫無意產生一些毫無意義的怪異曲線！義的怪異曲線！關鍵如何去設計迭關鍵如何去設計迭代方式和過程，分代方式和過程，分形就能描繪出與現形就能描繪出與現實世界驚人相似的實世界驚人相似的圖像！圖像！三、分形的應用三、分形的應用 歐幾里得幾何學它無法描寫大自然中的云彩歐幾里得幾何學它無法描寫大自然中的云彩 、山嶺、海岸線或樹木的形狀。云彩不是球體，山山嶺、海岸線或樹木的形狀。云彩不是球體，山嶺不是錐體，海岸線不是圓周，樹皮并不嶺不是錐體，海岸線不是圓周，樹皮并不 光滑，光滑，

8、閃電更不是沿著直線傳播的。閃電更不是沿著直線傳播的。 自然界的許多圖自然界的許多圖樣都是如此地不規則和支離破碎。樣都是如此地不規則和支離破碎。 這些圖樣的存在，使我們去探索那些被歐幾里得這些圖樣的存在，使我們去探索那些被歐幾里得認為是認為是“無形狀可言的無形狀可言的 ” ”形狀，去研究形狀，去研究“無定無定形形”的形態學。于是就產生了分形幾何學。的形態學。于是就產生了分形幾何學。自然界中的分形幾何自然界中的分形幾何 分形幾何學它描述了大自然和我們周圍的許多分形幾何學它描述了大自然和我們周圍的許多不規則和支離破碎的形狀不規則和支離破碎的形狀. .分形理論是一門交分形理論是一門交叉性的學科，從振動

9、力學到流體力學、天文學叉性的學科，從振動力學到流體力學、天文學和計算機圖形學，從分子生物學到生理學、生和計算機圖形學，從分子生物學到生理學、生物形態學，從材料科學到地球科學、地理科學，物形態學，從材料科學到地球科學、地理科學，從經濟學到語言學、從經濟學到語言學、 社會學等等，都與分形社會學等等，都與分形融合與關聯。分形理論對方法論和自然觀產生融合與關聯。分形理論對方法論和自然觀產生了強烈影響，從分形的觀點看世界，我們發現，了強烈影響，從分形的觀點看世界，我們發現，這個世界是以分形的方式存在和演化著的這個世界是以分形的方式存在和演化著的. .自然界中的分形幾何自然界中的分形幾何 自然界存在的一些

10、自然界存在的一些形狀及其結構諸如形狀及其結構諸如星系、閃電、星系、閃電、泥裂泥裂、材料斷口、水系、材料斷口、水系、晶簇、蜂窩石、小晶簇、蜂窩石、小麥須根系、樹冠、麥須根系、樹冠、支氣管、小腸絨毛、支氣管、小腸絨毛、大腦皮層等等。盡大腦皮層等等。盡是分形。是分形。自然界中的分形幾何自然界中的分形幾何 我們周圍見到的最不規則而復雜的現象：山巒和云團的外形，我們周圍見到的最不規則而復雜的現象：山巒和云團的外形，星系在宇宙中的分布，金融市場價格的起伏等，獲取這種數星系在宇宙中的分布，金融市場價格的起伏等，獲取這種數學描述的一條途徑在于找到學描述的一條途徑在于找到“模型模型”。需構想或發現一些數。需構想

11、或發現一些數學規則，使之能對實現的某些部分做學規則，使之能對實現的某些部分做“數學上的偽造數學上的偽造”做成山巒或云團的照片、最深層空間的天體圖、報紙金融版做成山巒或云團的照片、最深層空間的天體圖、報紙金融版的圖表等。的圖表等。 這些現象需要的幾何遠遠不是三角形和圓。它們需要非歐幾這些現象需要的幾何遠遠不是三角形和圓。它們需要非歐幾里得結構里得結構特別是需要分形幾何學。分形幾何它與歐幾里特別是需要分形幾何學。分形幾何它與歐幾里得幾何相反，是沒有規則的。它們處處無規則。而在各種尺得幾何相反，是沒有規則的。它們處處無規則。而在各種尺度上都有同樣程度的不規則性。不論從遠處觀察，還是從近度上都有同樣程

12、度的不規則性。不論從遠處觀察，還是從近處觀察，分形客體看起來一個模樣處觀察，分形客體看起來一個模樣自相似。整體中的小自相似。整體中的小塊，從遠處看是不成形的小點，近處看則發現它變得輪廓分塊，從遠處看是不成形的小點，近處看則發現它變得輪廓分明，其外形大致和以前觀察的整體形狀相似。明，其外形大致和以前觀察的整體形狀相似。自然界中的分形幾何自然界中的分形幾何 自然界提供了許多分形實例。例如，羊齒植物、菜自然界提供了許多分形實例。例如，羊齒植物、菜花和硬花甘蘭，以及許多其他植物，它們的每一分花和硬花甘蘭，以及許多其他植物，它們的每一分支和嫩枝都與其整體非常相似。其生成規則保證了支和嫩枝都與其整體非常相

13、似。其生成規則保證了小尺度上的特征成長后就變成大尺度上的特征。小尺度上的特征成長后就變成大尺度上的特征。 分形能偽造海岸線、山巒和云團。以致用分形制作分形能偽造海岸線、山巒和云團。以致用分形制作星際旅行星際旅行IIII那樣的影片的一些場景。那樣的影片的一些場景。 “云團不是球形，山巒不是錐形，海岸線不是圓的，云團不是球形，山巒不是錐形，海岸線不是圓的，樹皮不是光的，閃電不會沿直線行進樹皮不是光的，閃電不會沿直線行進”。所有這些。所有這些自然結構都具有不規則形狀，它們是自相似的。其自然結構都具有不規則形狀，它們是自相似的。其部分放大便能進一步揭示其深層結構。部分放大便能進一步揭示其深層結構。 自

14、然界中的分形幾何自然界中的分形幾何 模型所建立的簡單的模型所建立的簡單的幾何結構，其與所生幾何結構，其與所生成的自然結構特征相成的自然結構特征相同。從山巒的分形模同。從山巒的分形模擬方法產生一種理論，擬方法產生一種理論，以描述地球表面的地以描述地球表面的地勢起伏。勢起伏。自然界中的分形自然界中的分形英國的海岸線有多長？英國的海岸線有多長？ 19671967年年MandelbrotMandelbrot提出了提出了“英國的海岸線有多長？英國的海岸線有多長？”的問題。的問題。 長度與測量單位有關，以長度與測量單位有關，以1 1kmkm為單位測量海岸線，就會將短于為單位測量海岸線，就會將短于1 1km

15、km的迂回曲折長度忽略掉；若以的迂回曲折長度忽略掉；若以1 1m m為單位測量，則能測出被忽為單位測量，則能測出被忽略掉的迂回曲折，長度將變大；若測量單位進一步地變小，測略掉的迂回曲折，長度將變大；若測量單位進一步地變小，測得的長度就會愈來愈大，這些愈來愈大的長度將趨近于一個確得的長度就會愈來愈大，這些愈來愈大的長度將趨近于一個確定值，這個極限值就是海岸線的長度。定值，這個極限值就是海岸線的長度。 MandelbrotMandelbrot發現：當測量單位變小時，所得的長度是無限增大發現：當測量單位變小時，所得的長度是無限增大的。他認為海岸線的長度是不確定的，或者說，在一定意義上的。他認為海岸線

16、的長度是不確定的，或者說，在一定意義上海岸線是無限長的。這就是因為海岸線是極不規則和極不光滑海岸線是無限長的。這就是因為海岸線是極不規則和極不光滑的。的。 我們知道，經典幾何研究規則圖形，平面解析幾何研究一次和我們知道，經典幾何研究規則圖形，平面解析幾何研究一次和二次曲線，微分幾何研究光滑的曲線和曲面，傳統上將自然界二次曲線，微分幾何研究光滑的曲線和曲面，傳統上將自然界大量存在的不規則形體規則化再進行處理，我們將海岸線折線大量存在的不規則形體規則化再進行處理，我們將海岸線折線化，得出一個有意義的長度。化，得出一個有意義的長度。英國的海岸線有多長？英國的海岸線有多長？ MandelbrotMan

17、delbrot突破了這一點，長突破了這一點，長度也許已不能正確概括海岸線度也許已不能正確概括海岸線這類不規則圖形的特征。海岸這類不規則圖形的特征。海岸線雖然很復雜，卻有一個重要線雖然很復雜，卻有一個重要的性質的性質自相似性。自相似性。 從不同比例尺的地形圖上，我從不同比例尺的地形圖上，我們可以看出海岸線的形狀大體們可以看出海岸線的形狀大體相同，其曲折、復雜程度是相相同，其曲折、復雜程度是相似的。海岸線的任一小部分都似的。海岸線的任一小部分都包含有與整體相同的相似的細包含有與整體相同的相似的細節。節。自然界中的分形自然界中的分形 分形在自然界中普遍存在分形在自然界中普遍存在. .大自然豐富多彩的

18、面貌大自然豐富多彩的面貌, ,人類人類社會中普遍存在的各種不規則現象，如流體湍動、曲折社會中普遍存在的各種不規則現象，如流體湍動、曲折的海岸線、多變的天氣、動蕩的股市、經濟收入分配關的海岸線、多變的天氣、動蕩的股市、經濟收入分配關系、棉花的價格波動等等。系、棉花的價格波動等等。 MandelbrotMandelbrot試圖通過分形試圖通過分形幾何學統一去描述自然界和社會的一切現象幾何學統一去描述自然界和社會的一切現象. . 分形是一個新的數學領域分形是一個新的數學領域-有時也把它歸為自然界的幾有時也把它歸為自然界的幾何，因為這些奇異而混沌的形狀，不僅描繪了諸如地震、何，因為這些奇異而混沌的形狀

19、，不僅描繪了諸如地震、樹、樹枝、小麥根系、海岸線等自然現象，而且在生物樹、樹枝、小麥根系、海岸線等自然現象，而且在生物醫學醫學, ,天文、經濟、氣象、電影制片等方面也有廣泛應天文、經濟、氣象、電影制片等方面也有廣泛應用。用。 自然界的樹并不能沒有限制地分叉，整個樹木也不會是自然界的樹并不能沒有限制地分叉，整個樹木也不會是所謂超級樹的一部分。宇宙中星系的分布可能相反。能所謂超級樹的一部分。宇宙中星系的分布可能相反。能看到的小尺度的星系可延伸到看到的小尺度的星系可延伸到15001500萬到萬到30003000萬光年之遙。萬光年之遙。但仍然存在著尺度超過但仍然存在著尺度超過3000030000萬光年

20、的大空白區。萬光年的大空白區。 應用分形最活躍的領域是在物理學和生命科學應用分形最活躍的領域是在物理學和生命科學. .它們已幫它們已幫助處理了一些非常老的問題，也解決了某些嶄新的困難助處理了一些非常老的問題，也解決了某些嶄新的困難問題。問題。自然界中的分形自然界中的分形 生命作為自然界最復雜的存在方式，必然有分形生命作為自然界最復雜的存在方式，必然有分形的參與。生命現象從宏觀到微觀的各個層次，都的參與。生命現象從宏觀到微觀的各個層次，都存在著分形現象。分形還全面體現在生物的生化存在著分形現象。分形還全面體現在生物的生化組成、生理、病理、形態等各個方面。這種現象組成、生理、病理、形態等各個方面。

21、這種現象絕非偶然，而是與生命的本質與特征密切相關。絕非偶然，而是與生命的本質與特征密切相關。 分形在生物醫學圖像領域里的應用研究異常活躍。分形在生物醫學圖像領域里的應用研究異常活躍。分形與生命分形與生命分形的應用分形的應用 分形分維的經絡形態及解剖結構分形分維的經絡形態及解剖結構 肝臟超聲圖像分形特性的研究肝臟超聲圖像分形特性的研究 分形理論在醫學圖像邊緣增強和檢測中的應用分形理論在醫學圖像邊緣增強和檢測中的應用研究研究 分形幾何在醫學圖像處理中的應用分形幾何在醫學圖像處理中的應用 分形與經濟學分形與經濟學 分形與氣象學分形與氣象學 分形音樂分形音樂分形音樂分形音樂 如果我們把一首音樂的音符音

22、階隨時間的變化看成一如果我們把一首音樂的音符音階隨時間的變化看成一種波動，則音樂可歸入科學中的噪音范疇。科學中的種波動，則音樂可歸入科學中的噪音范疇。科學中的噪音的定義是指任何量隨時間噪音的定義是指任何量隨時間t t的不可預測的變化。的不可預測的變化。現已發現每一種噪音的跟蹤軌跡都是一條分形曲線。現已發現每一種噪音的跟蹤軌跡都是一條分形曲線。 音樂它的波動既有隨機性又有一定的相關性，音樂往音樂它的波動既有隨機性又有一定的相關性，音樂往往會給人一種悅耳的感覺。研究發現：幾乎所有的音往會給人一種悅耳的感覺。研究發現：幾乎所有的音樂節律都模仿一種噪音。樂節律都模仿一種噪音。分形音樂分形音樂 分形音樂

23、是分形藝術的一個重要部分，分形音樂分形音樂是分形藝術的一個重要部分，分形音樂是由一個算法的多重迭代而產生。利用分形幾何是由一個算法的多重迭代而產生。利用分形幾何的自相似特性來建構一些帶有自相似小段的合成的自相似特性來建構一些帶有自相似小段的合成音樂。主題在帶有小調的多次的返復循環中重復，音樂。主題在帶有小調的多次的返復循環中重復，在節奏方面加上一些隨機變化，所創造的效果，在節奏方面加上一些隨機變化，所創造的效果，無論在宏觀上還是在微觀上都能逼真地模仿真正無論在宏觀上還是在微觀上都能逼真地模仿真正的音樂。的音樂。 有人把著名的曼德勃羅集轉化為音樂，取名為有人把著名的曼德勃羅集轉化為音樂，取名為傾

24、聽曼德勃羅集（傾聽曼德勃羅集（Hearing the Mandelbrot Hearing the Mandelbrot SetSet），），他們在曼德勃羅集上掃描，將其得到的數他們在曼德勃羅集上掃描，將其得到的數據轉換成鋼琴鍵盤上的音調，從而用音樂的方式據轉換成鋼琴鍵盤上的音調，從而用音樂的方式表現出曼德勃羅集的結構，極具音樂表現力。表現出曼德勃羅集的結構，極具音樂表現力。分形在數字全息顯示中的應用分形在數字全息顯示中的應用 數字點陣全息圖數字點陣全息圖 分形圖的編碼分形圖的編碼數字點陣全息圖數字點陣全息圖 數字點陣全息圖是由計算機控制的激光光束干涉數字點陣全息圖是由計算機控制的激光光束干涉

25、點陣刻蝕而成點陣刻蝕而成. . 它是依賴計算機產生圖形并通過計算機精密地控它是依賴計算機產生圖形并通過計算機精密地控制干涉激光束在記錄介質上刻蝕點陣衍射光柵來制干涉激光束在記錄介質上刻蝕點陣衍射光柵來實現。實現。 應用混沌和分形的理論，以帶有無限變量重復碼應用混沌和分形的理論，以帶有無限變量重復碼的方式來產生一系列類似于萬花筒中觀察到的隨的方式來產生一系列類似于萬花筒中觀察到的隨機花樣的圖案機花樣的圖案 - - 分形圖像和探索應用分形圖像分形圖像和探索應用分形圖像制作數字像元全息圖時逐點的仿射對應關系。制作數字像元全息圖時逐點的仿射對應關系。光柵點的編碼光柵點的編碼 這種標志的圖案是由一些極小的光柵點（約幾十至一百這種標志的圖案是由一些極小的光柵點（約幾十至一百微米左右）組成的，微米左右）組成的， 而每一個光柵點又包含非常微細的光柵（小于一微米