1、彎 曲 應 力1 基本知識點1.1 基本概念純彎曲、橫力彎曲、彎曲正應力、慣性矩、抗彎截面系數、彎曲切應力、彎曲中心、。1.2 平面彎曲工程實際中的梁，大多是具有一個縱向對稱面的等直梁。外載荷作用在梁的縱向對稱面內產生的彎曲叫平面彎曲。當梁橫截面上既有彎矩又有剪力時，梁的彎曲是橫力彎曲；梁橫截面上只有彎矩而沒有剪力時，梁的彎曲是純彎曲。1.3 彎曲正應力梁在純彎曲時的正應力是綜合運用變形關系、物理關系和靜力平衡關系推導出來的，推導彎曲正應力公式的方法，與軸向拉壓正應力公式和扭轉剪應力公式的推導相同。彎曲正應力公式式中M和分別為所研究截面的彎矩和截面圖形對中性軸的慣性矩，y為所求應力點到中性軸的

2、距離。計算時M和y均用代數值代入，所求點的應力符號可根據梁的變形情況來確定。梁彎曲正應力公式適用材料處于線彈性范圍內的純彎曲梁，可推廣到橫力彎曲以及小曲率梁的范圍。1.4 彎曲切應力由于彎曲剪應力對梁的強度和剛度的影響是次要因素，故對彎曲剪應力公式沒有完全按照變形、物理、平衡三方面關系進行推導，而是根據分析對的分布規律作出假定平行于截面邊界且沿厚度均勻分布，然后利用平衡關系直接導出矩形截面切應力公式式中，為截面上的剪力；為整個截面對中性軸的慣性矩；為截面在所求應力點處的寬度；為面積對中性軸的靜矩。1.5 彎曲強度條件1 正應力強度條件 彎曲正應力是影響梁強度的主要因素，對梁的強度計算主要是滿足

3、強度條件 式中稱為橫截面的抗彎截面系數。2 切應力強度條件對薄壁截面（例如工字型、槽型等）梁，有時需要校核剪應力的強度條件 一般發生在中性軸處，因此為中性軸以下（或以上）面積對中性軸的靜矩。 1.6 彎曲中心的概念當桿件橫向力作用平面平行于桿件的形心主慣性平面且通過某一特定點時，桿件只發生彎曲變形而不發生扭轉，這一點稱為彎曲中心。彎曲中心只與截面的幾何形狀及尺寸有關，具有對稱軸的截面的彎曲中心必在對稱軸上。2重點與難點2.1 彎曲正應力的計算平面彎曲時，既不伸長也不縮短的軸叫中性軸，中性軸通過截面的形心。橫截面上的彎曲正應力呈線性分布，最大彎曲正應力發生在距離中性軸最遠的點上。2.2 梁的彎曲

4、強度梁的彎曲強度計算是材料力學的重要問題，應通過大量不同類型的彎曲強度計算去熟悉。2.3 提高梁彎曲強度的途徑彎曲正應力公式可變形為式左側為由載荷引起的最大彎矩，是影響構件強度的外因；式右側為構件的許用彎矩，是影響構件強度的內因，它與兩個因素（和）有關。所以提高構件的強度不外乎從外因著手，即減小；或從內因著手，即提高和。3解題方法要點3.1 梁的彎曲強度計算基本思路通常在進行彎曲強度計算時，應先畫出梁的剪力圖和彎矩圖，在彎矩（絕對值）最大的截面校核彎曲正應力強度，在剪力（絕對值）最大的截面校核彎曲切應力強度。3.2 截面設計在進行梁的截面設計時，應同時滿足正應力和切應力強度條件，一般先按正應力

5、強度條件選擇截面，然后再進行切應力強度校核。4典型題精解例題1：外伸梁受力如圖a所示。梁由鋼板焊接而成，截面尺寸見右圖所示。已知MPa，MPa，試校核梁的強度，并求焊縫ab處的剪應力。 解：（1）求支座反力并畫內力圖由平衡條件求得 kN，kN梁的剪力圖和彎矩圖分別如圖b、c所示。 kNm，發生在B截面處。kN，發生在B左截面處。（2）計算截面的幾何性質右圖中為對稱軸。選擇參考坐標軸，確定形心C的位置。（mm）通過形心C的、軸為形心主軸，為中性軸。求形心主慣性矩。（3）強度校核沿B截面的高度正應力分布如圖e所示，最大正應力發生在截面的下邊緣處，MPa=120 MPa沿B左截面的高度剪應力分布如圖

6、f所示，最大剪應力發生在中性軸處，（mm3）MPa=60 MPa該梁安全（4）焊縫ab處的剪應力在焊縫ab處將截面截為兩部分，求出其中任一部分（例如左部分）對中性軸的靜矩：（mm3）MPa解題指導：明確分析彎曲強度問題的計算步驟：外力內力危險面（、）危險面上的應力分布危險點的應力及其應力狀態強度條件。例題2：一鑄鐵梁的受力如圖a所示，其截面尺寸如圖b所示。鑄鐵材料的拉、壓許用應力分別為及。試校核此梁是否安全。解：（1）繪梁的內力圖梁的彎矩圖如c所示。（2）計算截面的幾何性質用與上例相同的方法，求得形心C距上、下邊緣的距離為52mm和88mm，形心主慣性矩。（3）強度校核本例中因剪力在梁中引起的

7、剪應力較小，故只對正應力進行校核。由于梁的截面上、下不對稱于中性軸，而材料的拉、壓許用應力又不相等，所以最大正彎矩的作用截面C和最大負彎矩的作用截面B均可能是危險面。最大壓應力發生在B截面下邊緣的各點處，其值為最大拉應力發生在C截面下邊緣的各點處，其值為雖然大于，但沒超過5%，故仍然認為是安全的。試問若將梁倒著放置時，此梁是否仍然安全？解題指導：對于拉、壓強度不等的梁，必須分別校核最大拉應力和最大壓應力。對于橫截面上、下不對稱于中性軸的脆性材料梁，進行強度計算時既要校核最大正彎矩所在截面，也要校核最大負彎矩所在截面。例題3：T形截面鑄鐵梁 如圖a所示。若，材料,截面對形心軸z的慣性矩，試按正應

8、力強度條件校核該梁的強度。解: 1. 作梁的彎矩圖M，判斷危險截面，確定: 梁的彎矩圖M如圖b所示，在固定端處有最大正彎矩2.根據正應力強度條件校核梁的固定端截面：固定端截面沿高度方向正應力的分布規律如圖c所示，在下邊緣a點有拉應力的極值： 在上邊緣b點有壓應力的極值： 3. 在B截面處有最大的負彎矩B截面上正應力分布規律如圖d所示。由于，截面的上邊緣e點有可能成為危險點，出現全梁最大的拉應力。因此還需對e點的正應力進行校核。通過以上計算可知，當梁的截面中性軸不是對稱軸，且最大正彎矩和最大負彎矩都較大時，和可能不在同一截面上，需同時校核所有可能成為危險點的地方。例如上述例題中的a,b,e點。例

9、題4：梁AC的截面為10工字鋼，B點用圓鋼桿BD懸掛，已知圓桿的直徑mm，梁及桿的MPa，試求許用均布載荷。解：1求支座反力并作梁的彎矩圖M，判斷危險截面，確定；:圖示結構中桿BD產生軸向拉伸變形，梁AC產生彎曲變形由平衡條件求得 ，桿BD內的軸力+M9q32q2梁AC的彎矩圖如圖所示 由圖可知，發生在B截面處2分別由桿BD和梁AC的強度條件確定。桿BD 解得梁AC 解得則解題指導：如果結構由多個桿件組成，在進行強度設計時應分別對每一桿件進行強度設計，最終選取公共部分，使每一桿件都符合強度要求。例題5：已知梁發生彎曲時測得A、B兩點間伸長量為L27103mm，若E200Gpa，求梁截面上的M。

10、解：例題6：矩形截面梁由兩種材料粘結在一起制成，受到彎矩M作用。設梁彎曲時平面假設仍然成立。已知。（1）繪出橫截面上正應力沿截面高度的分布圖。（2）求當kNm，mm時，截面上的最大拉應力和最大壓應力。 解： （1）因平面假設仍然成立，故應變沿截面高度為線性分布，式仍然成立。式中為中性層的曲率半徑，為截面上的點到中性軸的距離。因，但，故中性軸不再通過截面形心，而要偏向材料1的一側。設中性軸距截面下邊緣的距離為（），如圖b所示，則橫截面上正應力沿截面高度的分布如圖c所示。（2）平面假設成立，則 （a）根據物理關系，在材料1和2中的應力分別為， （b）利用的條件確定中性軸的位置。設中性軸距截面下邊緣

11、的距為,為對稱軸。則求得 （c）利用的條件確定曲率。 求得 （d）材料1中的最大拉應力和最大壓應力分別為材料2中的最小壓應力和最大壓應力分別為將kNm，mm，代入以上各式求出各點的應力值，則應力沿截面高度的分布如圖d所示。解題指導：1 已知內力求應力屬于靜不定問題，因此應力公式推導中必須綜合應用變形、物理和平衡三方面關系。2 彎曲正應力是影響梁的強度的主要因素，進行了較嚴格的推導。例題7：懸臂梁由兩根尺寸完全相同的矩形截面木梁疊加而成，載荷如圖所示。已知b=200mm h=200mm L=3m 設木材的許用應力10MPa , 試求梁的許用載荷。如果在自由端用兩個螺栓將梁連接成一整體，問此時梁的

12、許用載荷有無改變？若螺栓材料的許用剪應力=100MPa , 試求螺栓的最小直徑。 解：1 未加螺栓時：若不計梁間的摩擦力，兩根梁將各自自由彎曲，每根梁都有自己的中性軸，由此梁內的最大正應力由正應力強度條件； 2 加螺栓后，兩根梁共同變形，梁內的最大正應力由正應力強度條件； 所以，加螺栓后承載能力提高了一倍。3 確定螺栓直徑：在許用載荷作用下，中性軸處有最大剪應力，由剪應力互等定理，中性層（即兩梁結合處）最危險兩個螺栓所受剪力之和為 對于每個螺栓：由剪切強度條件 所以取d=25.2mm例題8：簡支梁在跨中受集中載荷kN，m，MPa。（1）試為梁選擇工字鋼型號。（2）當提高為40kN時，原工字鋼型

13、號不變，試問采取什么措施使梁仍能滿足強度條件。 解：（1）選擇工字鋼型號圖a簡支梁的發生在跨中（kNm）根據強度條件（mm3）選擇工字鋼28a cm3，cm4（2）當kN時，提高梁承載能力的措施方法一：在原梁上增加一長度為的副梁CD，將作用在副梁上，如圖b所示。使，而，。 根據強度條件，副梁的截面應為（mm3）副梁CD工字鋼的型號為25b，cm3。方法二：在原梁上下藝緣各焊一長度為a，截面為80mm10mm的鋼板條，如圖c所示。加焊鋼板后截面對中性軸的慣性矩為（mm4）MPaMPa焊鋼板后的截面能滿足梁的強度條件。自 測 題 1 T形截面外伸梁，受力與截面尺寸如圖所示，其中C為截面形心，mm4。梁的材料為鑄鐵，其抗拉許用應力= 30MPa，抗壓許用應力= 60MPa。試校核該梁是否安全。 2 簡支梁受力如圖所示。采用普通熱軋工字型鋼，且已知= 160MPa。試確定工字型鋼型號，并按最大切應力準則對梁的強度作全面校核。 解：1FRA = FRB = 180kN（）3 .圖示矩形截面簡支梁，承受均布載荷q作用。若已知q2 kN/m，l3 m，h2b 240 mm。試求：截面豎放(圖c)和橫放(圖b)時梁內的最大正應力，并加以比較。 答 案 1. 解：1，FRA = 37.5kN（） kNm m (a) kNm(b) 2 C截面 MPa， 不安全 3 B截面 MPa