1、n一、兩向量的數量積n二、兩向量的向量積n三、向量的混合積n四、內容與小結1M沿與力夾角為的直線移動,W1. 定義定義設向量的夾角為 , 稱 記作數量積 (點積) .引例引例. . 設一物體在常力設一物體在常力 F F 作用作用下下, , F位移為 s , 則力F 所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s,0時當a上的投影為在ab記作故,0,時當同理babj rPb2. 性質性質為兩個非零向量, 則有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba(1) 交換律(2) 結合律),(為實數abbaba)(

2、)( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事實上, 當0c時, 顯然成立 ;時當0cc)(bababcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbacABCabccos2222abbac證證:那么cos2222abbac如圖 . 設,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,設那么, 10zzyyxxbababa當為非零向量時,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazy

3、x,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,兩向量的夾角公式 , 得)(MB, )(MA BM, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1那么AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故為 ) .求單位時間內流過該平面域的流體的質量P (流體密度的流體流過一個面積為 A 的平面域 ,與該平面域的單位垂直向量,A解解: :單位時間內流過的體積APAA的夾角為且vvncosvcosvnv vnn為單位向量引例引例. 設設O 為杠桿為

4、杠桿L 的支點的支點 ,有一個與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規則OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點上 , 則力 F 作用在杠桿上的力FoPFMFM 定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規則模 :向量積 ,，的夾角為設ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba引例中的力矩FOPM思索思索: : 右圖三角形面右圖三角形面積積abba21S為非零向量, 那么，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時當baba0basinab03.3.運算律運算律(2) 分配律(3) 結合律(證明略)abcba

5、 )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明證明:)(kajaiazyx)(kbjbibzyx設那么,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijkkjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式計算見 P339P

6、342 ) , )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 解解: : 如下圖如下圖, ,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三一點 M 的線速度導出剛體上 的表示式 . Ml解解: : 在軸在軸 l l 上引進一個角速度向上引進一個角速度向量量使a其在 l 上任取一點 O,O作它與那么點 M離開轉軸的距離a且符合右手法則的夾角為 , ,sinar, rOM vsinr,vr rvvv方向與旋轉方向符合右手法則 ,r向徑1.1.定義定義已知三向量稱數量混合積混合積 . .記作幾何意義幾

7、何意義 為棱作平行六面體,底面積高h故平行六面體體積為hAV coscba)(cba,cba的為cba,Abaccba,以則其cosbaccba)(cbabacbazyxzyxbbbaaaxcyczckji設xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc(1) 三個非零向量共面的充要條件是0(2) 輪換對稱性 :(可用三階行列式推出)cbacba,ab cab cabcabc),(kkkkzyxA,3,2, 1(

8、 k4 ) , 求該四面體體積 . 1A2A3A4A解解: : 已知四面體的體積等于以向已知四面體的體積等于以向量量為棱的平行六面體體積的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA, )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA共面 .解解: : 因因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A , B , C , D 四點共面 .ADACAB設1. 向量運算加減:數乘:點積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:kji