1、一個刻畫相對知識和相對信念的邏輯提交日期： 2007-1-10. A Logic for Relative Knowledge and Relative Belief李小五作者簡介：李小五（1955-），男，河北淶水人，中山大學哲學系邏輯與認知研究所教授。(中山大學哲學系邏輯與認知研究所)【摘要】主體的相對知識和相對信念是指主體相對某個條件而言的知識和信念，它們是對主體絕對知識和絕對相信的相對化。我們認為，研究這樣的知識和信念是有意義的。本文我們首先構(gòu)造一個刻畫相對知識和相對信念的系統(tǒng)RKB，給出它的證明論的一些結(jié)果。其次，我們引入一個命題擇類語義，給出RKB的特征公理的框架條件，從而證明RK

2、B的框架可靠性和框架完全性。最后，我們證明RKB的一個擴充系統(tǒng)相對這樣的語義有模型可靠性和模型完全性。 【關鍵詞】相對知識；相對信；命題擇類語義；框架可靠性；框架完全性Abstract: By an agents relative knowledge and relative belief, we mean the agents knowledge and belief relative to some condition. They are relativization of the agents abstract knowledge and abstract belief. We beli

3、eve that this kind of research for knowledge and belief is meaningful. In this paper, firstly, we construct the system RKB for relative knowledge and relative belief, and give some results of its proof theory. Secondly, we introduce a propositional class-selection semantics, give the frame condition

4、s of the character axioms of RKB, and thus prove the frame soundness and frame completeness of RKB. Finally, we prove the model soundness and model completeness of an extension of RKB.Key words：relative knowledge; relative belief; propositional class-selection semantics; frame soundness; frame compl

5、eteness主體的相對知識和相對信念是指主體相對某個條件而言的知識和信念，它們是對主體的絕對知識和絕對相信的相對化。我們認為，研究這樣的知識和信念是有意義的。因為我們通常所具有的知識和信念大部分是相對化的。真正絕對的知識和信念少而又少。誰也不否認“人總是要死的”是我們的知識，但仔細想想后我們會發(fā)現(xiàn)，這實際是一個相對化的知識而不是一個絕對知識。可以想像，當科學發(fā)展到一定的程度，人可以不死。本文的主要工作是要建立一個刻畫單個理性主體的相對知識和相對信念的邏輯，表述關于相對知識和相對信念的規(guī)律和推理模式。本文提到但未定義的概念和記號，請參見李小五的1。第一節(jié) 語言、形式系統(tǒng)及其證明論我們先給出經(jīng)典

6、句子語言和公理化系統(tǒng)：定義1.1(1) 定義L0是經(jīng)典句子語言的字母表：句符：p1, , pn,；句子聯(lián)結(jié)符：Ø, Ù；括號：(, )。(2) 經(jīng)典句子語言Form0遞歸定義如下：p1, , pn, Î Form0；若j, y Î Form0，則Øj, j Ù y Î Form0。(3) 經(jīng)典句子系統(tǒng)PC0由以下公理(模式)和推演規(guī)則構(gòu)成：對所有j, y, q Î Form0，(TA1) j ® y ® j，(TA2) (j ® y ® q) ® (j ®

7、 y) ® j ® q，(TA3)(Øj ® y) ® (Øj ® Øy) ® j。(MP) j, j ® yy。下面給出能表述相對知識和相對信念的語言和公理化系統(tǒng)：定義1.2(1) 定義L是能表述相對知識和相對信念的語言的字母表： 句符：p1, , pn,； 句子聯(lián)結(jié)符：Ø, Ù； 二元算子：K, B； 括號：(, )。(2) 遞歸定義能表述相對知識和相對信念的語言Form如下： p1, , pn,Î Form； 若j, y Î Form，則Ø

8、j, j Ù y, K(j, y), B(j, y) Î Form。(3) 縮寫符號Ú，®和«如通常定義。此外，我們也用下列縮寫：T =df p1 Ú Øp1, =df ØT;Kjy =df K(j, y), Bjy =df B(j, y);Kj =df KTj = K( T, j), Bj =df BTj = B( T, j)。說明：(1) 本文若不特別說明，以后總用j, y, q(帶或不帶下標)表示Form中的公式。(2) 為了敘述方便，規(guī)定下列聯(lián)結(jié)符的結(jié)合力從左到右依次減弱：Ø, K, B, 

9、17;, Ú, ®, «。同時我們還規(guī)定同類聯(lián)結(jié)符滿足右向結(jié)合原則，因此Kj(y ® q) ® Kjy ® Kjq就是Kj(y ® q) ® (Kjy ® Kjq)。(3) 下面常用符號Û表示“當且僅當”，用Þ表示“若則”。(4) K( , )和B( , )稱為相對認知算子。Kjy直觀表示主體“相對j知道y”，Bjy表示“相對j相信y”。所以Kjy可以解釋為相對j來說y是主體的相對知識(relative knowledge)，Bjy解釋為相對j來說y是主體的相對信念(relative

10、belief)。(5) Kj表示主體（無條件地）絕對知道j，Bj表示主體（無條件地）絕對相信j。換句話說，Kj和Bj表示主體的絕對知識和絕對信念。(6) 我們的創(chuàng)新就在于把經(jīng)典認知概念Kj和Bj相對化。在我們看來，這樣的相對化是有意義的，也是自然的。定義1.3刻畫相對知識和相對信念的系統(tǒng)RKB是在PC0中加入下列公理和規(guī)則得到的系統(tǒng)：(RKK)Kj(y ® q) ® Kjy ® Kjq，(RKB) Bj(y ® q) ® Bjy ® Bjq，(SK) Kjj， (返知公理)(RKB)Kjy ® Bjy， (知信關聯(lián)公理)(R

11、KI) Kjy ® j ® y， (相對知識蘊涵公理)(RD) ØB，(R4K) Kjy ® KKjy，(相對化的知識正反思)(R4B) Bjy ® BBjy， (相對化的信念公理)(R5K) ØKjy ® KØKjy， (相對化的知識負反思公理)(R5B) ØBjy ® BØBjy， (相對化的信念負反思公理)(RRN)yKjy，(REAK) j « yKjq « Kyq，(REAB) j « yBjq « Byq。說明：(1) SK - R5

12、B稱為RKB的特征公理，以后我們會看到這樣的稱謂是正當?shù)模驗樵谡Z義中使它們有效需要框架條件。(2) RKB表示：若y是主體的相對知識，則它也是他的相對信念。理性的主體總是相信自己獲得的知識，即使這是相對知識。這很自然。(3) 我們總想刻畫具有較高智能的主體，所以這里我們添加了正反思公理和負反思公理。(4) 注意公理ØB不能相對化為ØBj，因為從RKB和SK能推得B，況且B也很自然。定義1.4(1) j表示j是RKB的內(nèi)定理，即j在RKB中有一個形式證明：存在一個公式序列j1, , jn使得對每一個1 £ i £ n，ji是RKB的某個公理的代入特例，或

13、者ji是通過RKB的規(guī)則從它前面的公式得到。(2) RKB的全體內(nèi)定理的集合記為Th(RKB)。(3) 我們也用 j表示j Ï Th(RKB)。引理1.5下面是RKB的內(nèi)定理和導出規(guī)則：(1) Bjj，（據(jù)RKB和SK）(2) yBjy，（據(jù)RRN和RKB）(3) y1 ÙÙ yn ® yKjy1 ÙÙ Kjyn ® Kjy，這里約定n = 0時，(3)就是RRN。(4) y1 ÙÙ yn ® yBjy1 ÙÙ Bjyn ® Bjy，這里約定n = 0時，(4)就是

14、(2)。(5) K(y ® q) ® Ky ® Kq，B(y ® q) ® By ® Bq，(6) KT，BT，(7) Ky ® By，(8) Ky ® y，(9) Ky ® KKy，By ® BBy，(10) ØKy ® KØKy，ØBy ® BØBy，(11) yKy，yBy，(12) Kjy ® BjKjy。證明：(3) - (4)的證明如通常。(5) - (11)的證明據(jù)相應的公理和規(guī)則以及縮寫定義，其中(8)是從RK

15、I推得的。(12) 據(jù)R4K和RKB。說明：易見RKB本質(zhì)上是經(jīng)典認知系統(tǒng)S5和經(jīng)典信念系統(tǒng)KD45的擴充(例如，在這兩個系統(tǒng)中增加知信關聯(lián)公理RKB)。由此可見，RKB是大多數(shù)邏輯學家都能接受的經(jīng)典知信系統(tǒng)的一個自然擴充。這意味，經(jīng)典知信系統(tǒng)能表述的規(guī)律在RKB中被全部保留下來，而且RKB能更豐富地表達前者不能表達的規(guī)律，即刻畫相對知識和相對信念以及它們與絕對知識和絕對信念之間關系的規(guī)律。定理1.6基本置換定理 若 y « q，則 j « j(q / y)，其中j(q / y)表示用y替換j中q的若干出現(xiàn)得到的公式。證明：施歸納于公式j的結(jié)構(gòu)，詳細證明如通常。下面我們來研

16、究RKB與PC0的關系。我們要證明前者是后者的協(xié)調(diào)概括，或者說前者可以協(xié)調(diào)地退化為后者。定義1.7 (1) 定義從Form到Form0 的翻譯映射t如下：t(p) = p，對所有句符p；t(Øj) = Øt(j)；t(j Ù y) = t(j) Ù t(y)；t(Kjy) = t(j) ® t(y)；t(Bjy) = t(j) ® t(y)。(2) 對每一公式j Î Form，稱t(j)是j的t-翻譯。據(jù)上面的定義，易證t(j Ú y) = t(j) Ú t(y)，t(j ® y) = t(j)

17、 ® t(y)，t(j « y) = t(j) « t(y)。定義1.8令S和T是任意兩個公理化系統(tǒng)。稱S能t-退化為T，當且僅當S的所有內(nèi)定理都能t-翻譯為T的內(nèi)定理。定理1.9RKB能t-退化為PC0，證明：易證(1) 若j是RKB的公理，則j的t-翻譯是PC0的內(nèi)定理；(2) 若R是RKB的規(guī)則，則R的t-翻譯是PC0的導出規(guī)則。所以(3) 若j是RKB的內(nèi)定理，則j的t-翻譯是PC0的內(nèi)定理。定義1.10稱公理化系統(tǒng)S是協(xié)調(diào)系統(tǒng)，當且僅當不存在j使得j和Øj都是S的內(nèi)定理。定理1.11RKB是協(xié)調(diào)的。證明：我們知道PC0是協(xié)調(diào)。假設RKB不協(xié)調(diào)，

18、則存在j使得j和Øj都是RKB的內(nèi)定理，則據(jù)上面的定理，t(j)和Øt(j)都是PC0的內(nèi)定理，矛盾于PC0的協(xié)調(diào)性。第二節(jié) 命題型的擇類語義和框架可靠性定理擇類語義有兩類：命題型的擇類語義和句子型的擇類語義。本文只選擇命題型的擇類語義來匹配RKB。定義2.1(1) 稱三元組F = áW, f, gñ是雙算子的命題型擇類框架，簡稱F是框架，當且僅當 W是非空的可能世界集， f和g都是從Ã(W) ´ W到Ã(W)中的映射，其中Ã(W)表示W(wǎng)的冪集。(2) 稱四元組M = áW, f, g, ñ是雙

19、算子的命題型擇類模型，簡稱M是模型，當且僅當áW, f, gñ是框架且 是從全體句符到Ã(W)的指派映射。 也稱為框架áW, f, gñ上的指派映射。(3) 所有框架組成的框架類記為Frame。說明：可能世界也可以看作是狀態(tài)。定義2.2 (真值集定義)令M = áW, f, g, ñ是模型。對每一復合公式j，定義j相對M的真值集j如下：對任意w Î W，(1) w Î Øj Û w Ï j，(2) w Î j Ù y Û w Î j且w

20、 Î y，(3) w Î Kjy Û f(j, w) Í y，(4) w Î Bjy Û g(j, w) Í y。說明：基于框架定義的模型和定義復合公式的真值的真值集定義，兩者合在一起稱為語義，因為由此可以在任何一個模型的任意可能世界中對任何一個公式賦予一個意義(真值)。上面給出的語義就是命題型的擇類語義。定義2.3(1) 稱áW, f, gñ是知信擇類框架，簡稱F是RKB-框架，當且僅當下列框架條件成立：對任意w, u Î W和X Í W，(sk) f (X, w) Í X

21、，(rkb) g(X, w) Í f (X, w)，(rki) w Î X Þ w Î f (X, w)，(rd) g(W, w) ¹ Æ，(r4k) u Î f (W, w) Þ f (X, u) Í f (X, w)，(r4b) u Î g(W, w) Þ g(X, u) Í g (X, w)，(r5k) u Î f(W, w) Þ f (X, w) Í f (X, u)，(r5b) u Î g(W, w) Þ g(X,

22、w) Í g(X, u)。(2) 所有RKB-框架組成的框架類記為Frame(RKB)。說明：最后兩組條件合起來就是u Î f (W, w) Þ f (X, u) = f (X, w)，u Î g(W, w) Þ g(X, u) = g (X, w)。定義2.4有效性定義令F = áW, f, gñ是框架，M = áW, f, g, ñ是模型。(1) 稱j在M中有效，記為M j，當且僅當j = W；否則稱j在M中不有效，記為M j 。(2) 稱j在F中有效，記為F j，當且僅當，對F上的任意指派映射 ，有

23、j = W；否則稱j在F中不有效，記為F j 。(3) 稱規(guī)則j1, jny相對M保持有效性，當且僅當，j1 = = jn = W Þ y = W 。如通常易證：引理2.5令áW, f, g, ñ是上述任意模型。則(1) Øj = W - j，j Ù y = j Ç y，j Ú y = j È y， = Æ， T = W。(2) j Ç j ® y Í y。(3) j ® y = W Û j Í y。(4) j « y = W 

24、9; j = y。定義2.6令S是一個系統(tǒng)，且令C是一個框架類。(1) 稱S相對C是框架可靠系統(tǒng)，當且僅當，S的內(nèi)定理在C的所有框架中有效。(2) 稱S相對C是框架完全系統(tǒng)，當且僅當，在C的所有框架中有效的公式是S的內(nèi)定理。定理2.7 (框架可靠性定理)RKB相對Frame(RKB)是框架可靠的。證明：任給RKB-框架F = (W, f, g)和F上賦值 。只須驗證RKB的每一公理相對M = (F, )有效且推理規(guī)則相對M保持有效性。驗證公理TA1 - 3和規(guī)則MP：顯然。驗證公理RKK：任給w Î Kj(y ® q) Ç Kjy。據(jù)引理2.5和定義2.2，有 f

25、(j, w) Í y ® q，且 f(j, w) Í y。再據(jù)2.5，有f(j, w) Í q，所以w Î Kjy。同理可驗證公理RKB。驗證公理SK：據(jù)定義2.3的(sk)，對任意j，有f(j, w) Í j，所以w Î Kjj。驗證公理RKB：任給w Î Kjy。則f(j, w) Í y。據(jù)2.3的(rkb)，有g(j, w) Í y，所以w Î Bjy。驗證公理RKI：任給w Î Kjy Ç j。則 f (j, w) Í y，且 w Î j

26、。據(jù)和定義2.3的(rki)，w Î f (j, w)。再據(jù)，有w Î y。驗證公理RD：據(jù)2.3(rd)，有g(W, w) ¹ Æ，因此g(W, w) Æ，再據(jù)2.5，有g( T , w) ，再據(jù)2.2，有w Î ØB。驗證公理R4K：任給w Î Kjy。要證w Î KKjy，為此只須證 f( T , w) Í Kjy，即f(W, w) Í Kjy。任給u Î f(W, w)，要證u Î Kjy，為此只須證 f(j, u) Í y。據(jù)u Î f

27、(W, w)和(r4k)，有 f (j, u) Í f (j, w)。據(jù)w Î Kjy，有f(j, w) Í y。再據(jù)，有。據(jù)2.3的(r4b)，公理R4B的驗證類似。驗證公理R5K：任給w Î ØKjy。要證w Î KØKjy，為此只須證： f(W, w) Í ØKjy。任給u Î f(W, w)，要證u Î ØKjy，為此要證u Ï Kjy，最后只須證： f(j, u) y。據(jù)w Î ØKjy，有w Ï Kjy，因此f(j, w)

28、y，所以存在v Î W使得 v Î f(j, w)，且 v Ï y。據(jù)u Î f(W, w)，和(r5k)，有v Î f (j, u)。再據(jù)，有。據(jù)2.3的(r5b)，公理R5B的驗證類似。驗證規(guī)則RRN：設y = W。任給w Î W，有f(j, w) Í y，所以w Î Kjy。據(jù)w的任意性，有Kjy = W。驗證規(guī)則REAK：設j « y = W。據(jù)2.5，有j = y。因此對所有w Î W，有f(j, w) Í y Û f(y, w) Í y，所以w 

29、6; Kjq Û w Î Kyq。據(jù)w的任意性，有Kjq = Kyq。據(jù)引理2.5，有Kjq « Kyq = W。同理可驗證規(guī)則REAB。注意： RKK, RKB, RRN, REAK和REAB的有效性不需要框架條件保證，這就是我們不稱它們?yōu)樘卣鞴砗吞卣饕?guī)則的原因。第三節(jié) 完全性定理定義3.1令S是一個系統(tǒng)，且令w是公式集。(1) 稱w是S-一致集，當且僅當，對所有有窮序列j1, jn Î w，有 S Ø(j1 ÙÙ jn)。(2) 稱w是極大集，當且僅當，對所有j Î Form，j Î w或Ø

30、;j Î w。(3) 稱w是S-極大一致集，當且僅當，w既是S-一致的又是極大的。(4) 稱S是一致系統(tǒng)，當且僅當，Th(S)是S-一致的。說明：在不致混淆之處，我們省略上述記號中的下標S和參數(shù)S-。引理3.2RKB是一致的。證明：假設RKB不一致。則Th(RKB)不一致，所以存在有窮序列j1, jn Î Th(RKB)使得 Ø(j1 ÙÙ jn)。另一方面，因為j1, jn Î Th(RKB)，所以易證 j1 ÙÙ jn。據(jù)定義1.10，RKB不是協(xié)調(diào)的，矛盾于定理1.11。因為RKB是PC的擴充，所以如通常證明

31、 參見李小五2。，我們有下列結(jié)果。引理3.3令w是公式集。(1) j屬于每一以w為子集的極大一致集，當且僅當，存在j1, jn Î w使得 j1 ÙÙ jn ® j。(2) 若w是極大一致的，則Øj Î w Û j Ï w，j Ù y Î w Û j Î w且y Î w，j Ú y Î w Û j Î w或y Î w，j Î w且 j ® y Þ y Î w，j Î

32、w且j ® y Î w Þ y Î w。(3) Th(RKB) Í w。(4)(Lindenbaum-引理)每一一致集都可以擴充為一個極大一致集：若u是一致集，則存在極大一致集w使得u Í w。(5) 若 j，則存在極大一致集w使得j Ï w；若 j ® y，則存在極大一致集w使得j Î w且y Ï w。定義3.4 |j| =df w | w是極大一致集使得j Î w。引理3.5(1) |Øj| = W - |j|， 其中W是所有極大一致集的集合，|j Ù y| =

33、 |j| Ç |y|，|j Ú y| = |j| È |y|，| | = Æ，| T | = W。(2) |j| Ç |j ® y| Í |y|。(3) |j ® y| = W Û |j| Í |y| Û j ® y。(4) |j « y| = W Û |j| = |y| Û j « y。證明：據(jù)上一引理易證。定義3.6令w是公式集。Kj- w =df y | Kjy Î w，Bj- w =df y | Bjy Î

34、w；特別地，K- w =df KT- w且B- w =df BT- w。引理3.7令w是極大一致集。則(1) Kjy Î w Û 任給極大一致集u，若Kj- w Í u，則y Î u。(2) Bjy Î w Û 任給極大一致集u，若Bj- w Í u，則y Î u。證明：(1)“Þ”：設Kjy Î w。任給極大一致集u使得Kj- w Í u。易見y Î u。“Ü”：設 任給極大一致集u，若Kj- w Í u，則y Î u。這意味y屬于每一以Kj-

35、 w為子集的極大一致集。據(jù)3.3，存在y1, yn Î Kj- w使得 y1 ÙÙ yn ® y。據(jù)引理1.5，有 Kjy1 ÙÙ Kjyn ® Kjy。 因為y1, yn Î Kj- w，所以Kjy1, , Kjyn Î w，因此據(jù)和引理3.3，有Kjy Î w。同理可證(2)。定義3.8 (1) 定義RKB的典范框架(W, f, g)如下： W = w | w是極大一致集；1 f(|j|, w) Í |y| Û Kjy Î w，對所有w Î W和公式j

36、, y；2 g(|j|, w) Í |y| Û Bjy Î w，對所有w Î W和公式j, y。(2) 定義RKB的典范模型(W, f, g, )如下：(W, f, g)是RKB的典范框架，且 p = |p|，對每一句符p。說明：(1) RKB的(命題型的)典范框架相對系統(tǒng)RKB不是惟一的，因為當X Í W且不存在j使得|j| = X時，還沒有規(guī)定f(X, w)和g(X, w)的具體狀況。(2) 據(jù)引理3.2，RKB是一致的，所以W是非空的。(3) 這里還要證明如上定義的擇類映射f(|j|, w)和g(|j|, w)是良定義的。設|j1| =

37、|j2|，|y1| = |y2|。據(jù)引理3.5，有 j1 « j2， y1 « y2。據(jù) j1 « j2，REAK和REAB，易得 Kj1y1 « Kj2y1， Bj1y1 « Bj2y1。再據(jù) y1 « y2，引理1.5，易得 Kj2y1 « Kj2y2，Bj2y1 « Bj2y2。所以據(jù)引理3.3，對所有w Î W，易證Kj1y1 Î w Û Kj2y2 Î w，且Bj1y1 Î w Û Bj2y2 Î w。再據(jù)上面的1和2，有f(|j1|,

38、 w) Í |y1| Û f(|j2|, w) Í |y2|，且g(|j1|, w) Í |y1| Û g(|j2|, w) Í |y2|。定理3.9典范模型基本定理令(W, f, g, )是RKB的典范模型。(1) q Î w Û w Î q，對每一w Î W和公式q。(2) |q| = q，對每一公式q。證明：(2)從(1)易得。所以只須證(1)。施歸納于q的結(jié)構(gòu)。句符的情況據(jù)定義3.8的。布爾聯(lián)結(jié)詞Ø和Ù的情況如通常所證。令q = Kjy。則w Î q 

39、19; w Î KjyÛ f(j, w) Í y 據(jù)真值集定義2.2Û f(|j|, w) Í |y| 據(jù)歸納假設Û Kjy Î w 據(jù)上一定義的1Û q Î w。令q = Bjy。則據(jù)上一定義的2同理可證。定理3.10令M = (W, f, g, )是RKB的典范模型。則對每一公式j，有M j Û j。證明： j Û |j| = W據(jù)引理3.3Û j = W 據(jù)上一定理Û M j 據(jù)有效性定義2.4。定義3.11定義RKB的適當結(jié)構(gòu)(proper structur

40、e) M* = (W, f, g, )如下：(1) W = w | w是極大一致集。(21) f是從Ã(W)×W到Ã(W)中的映射使得對任意X Í W和w Î W，u | Kj- w Í u，存在j使得|j| = X；f(X, w) = X， 否則。(22) g是從Ã(W)×W到Ã(W)中的映射使得對任意X Í W和w Î W，u | Bj- w Í u，存在j使得|j| = X；g(X, w) = X， 否則。(3) p = |p|，對每一句符p。說明：易見適當結(jié)構(gòu)對一個系

41、統(tǒng)來說是惟一的。引理3.12令M* = (W, f, g, )如上定義。則F* = (W, f, g)是RKB的典范框架。證明：據(jù)定義3.8，只須證：1 f(|j|, w) Í |y| Û Kjy Î w， 對所有w Î W和公式j, y；2 g(|j|, w) Í |y| Û Bjy Î w， 對所有w Î W和公式j, y。證明1：據(jù)上一定義的(21)和(22)，有(a1) f(|j|, w) = u Î W | Kj- w Í u， 對所有w Î W和公式j；(a2) g(|j|

42、, w) = u Î W | Bj- w Í u，對所有w Î W和公式j。因此任給公式y(tǒng)，有Kjy Î w Û "u Î W(Kj- w Í u Þ y Î u) 據(jù)引理3.7Û "u Î W(u Î f(|j|, w) Þ u Î |y|) 據(jù)(a1)Û f(|j|, w) Í |y|。據(jù)引理3.7和(a2)，同理可證2。定理3.13 (框架完全性定理)RKB相對Frame(RKB)是框架完全的。證明：據(jù)上一引理

43、，F(xiàn)*是典范框架。所以為了證明RKB相對Frame(RKB)是框架完全的，據(jù)定理3.10，只須證明F*屬于Frame(RKB)，為此只須證F*滿足定義2.3的框架條件：任給w Î W和X Í W。 驗證(sk)：任給u Î f(X, w)。要證u Î X。情況1存在j使得|j| = X。則u Î f(|j|, w)。據(jù)3.12的證明中的(a1)，有(#) Kj- w Í u。另一方面，據(jù)引理3.3，公理SK在w中，所以Kjj Î w，因此據(jù)(#)，j Î u，所以u Î |j|，即u Î X。情

44、況2不存在j使得|j| = X。據(jù)定義3.11的(21)，我們有f(X, w) = X。因為u Î f(X, w)，所以w Î X。驗證(rkb)：任給u Î g(X, w)。要證u Î f(X, w)。情況1存在j使得|j| = X。則u Î g(|j|, w)。據(jù)3.12的證明中的(a2)，(%) Bj- w Í u。為了證明u Î f(|j|, w)，只須證Kj- w Í u。任給y Î Kj- w，則Kjy Î w。據(jù)引理3.3，公理RKB在w中，因此Bjy Î w，再據(jù)(%)

45、，y Î u。情況2不存在j使得|j| = X。據(jù)3.11的(21)和(22)，f(X, w) = X = g(X, w)。因為u Î g(X, w)，所以u Î f(X, w)。驗證(rki)：任給w Î X。要證w Î f (X, w)。情況1存在j使得|j| = X。則w Î |j|，因此j Î w。據(jù)引理3.3，公理RKI在w中，所以對任意y，有Kjy ® j ® y Î w，所以據(jù)j Î w和引理3.3，易證Kjy Î w Þ y Î w。所以據(jù)

46、y的任意性，Kj- w Í w，據(jù)3.12的證明中的(a1)，w Î f (|j|, w)，即w Î f (X, w)。情況2不存在j使得|j| = X。據(jù)3.11的(22)，f (X, w) = X。因為w Î X，所以w Î f (X, w)。驗證(rd)：據(jù)3.5，只須證g(| T |, w) ¹ Æ。為此只須證：存在u Î g(| T |, w)。據(jù)3.12的證明中的(a2)，只須證：存在u Î W使得B- w Í u。據(jù)Lindenbaum-引理(3.3)，我們只須證B- w是一致的。

47、假設B- w不一致，則存在y1, yn Î B- w使得 y1 ÙÙ yn ® 。據(jù)引理1.5，有 By1 ÙÙ Byn ® B。 因為By1, , Byn Î w，故B Î w。矛盾于公理RD屬于w和w是極大一致集的事實。驗證(r4k)：設u Î f (W, w) = f(| T |, w)且v Î f (X, u)。要證 v Î f (X, w)。情況1存在j使得|j| = X。則v Î f (|j|, u)，據(jù)3.12的證明中的(a1)，有 Kj- u 

48、05; v。為了證，本情況要證v Î f (|j|, w)，據(jù)3.12的證明中的(a1)，要證 Kj- w Í v。任給y使得Kjy Î w。據(jù)引理3.3，公理R4K在w中，所以據(jù)3.3，有Kjy Î w Þ KKjy Î w。因此據(jù)給定，KKjy Î w。因為u Î f(| T |, w)，所以K- w Í u，因此有Kjy Î u，再據(jù)，有y Î v。因此證明了。情況2不存在j使得|j| = X。據(jù)3.11的(21)，f (X, w) = f (X, u) = X。據(jù)最開始的設定，

49、v Î f (X, u)，所以有。驗證(r4b)：類似(r4k)的驗證。驗證(r5k)：設u Î f(W, w)且v Î f (X, w)。要證 v Î f (X, u)。情況1存在j使得|j| = X。則v Î f (|j|, w)，據(jù)3.12證明中的(a1)，有 Kj- w Í v。為了證，本情況要證v Î f (|j|, u)，只須證： Kj- u Í v。任給y使得 Kjy Î u。假設y Ï v。據(jù)，y Ï Kj- w。據(jù)定義3.6，Kjy Ï w，所以 Ø

50、;Kjy Î w。另一方面，據(jù)引理3.3，公理R5K在w中，所以據(jù)3.3，有ØKjy Î w Þ KØKjy Î w。因此據(jù)，有KØKjy Î w。因為u Î f(| T |, w)，所以K- w Í u，因此ØKjy Î u，所以，Kjy Ï u，矛盾于，因此y Î v。這樣我們證明了。 情況2不存在j使得|j| = X。據(jù)3.11的(21)，f (X, w) = f (X, u) = X。據(jù)最開始的設定，v Î f (X, w)，所以有。驗證

51、(r5b)：類似(r5k)的驗證。第四節(jié) RKB的一個擴充系統(tǒng)我們認為以下公式的直觀意義很自然：Ky ® Kjy，Kjy Ù Kj Ù yq ® Kjq，Kj Ú yq ® Kjq Ù Kyq。但我們目前還沒有找到使它們完全的框架條件，所以下面我們給出RKB的一個擴充系統(tǒng)并證明它相對某個模型類是模型可靠和模型完全的。定義4.1刻畫相對知識和相對信念的系統(tǒng)RKB+是在RKB中加入下列公理得到的系統(tǒng)：(ARK) Ky ® Kjy，(ARB) By ® Bjy，(RTK) Kjy Ù Kj Ù

52、; yq ® Kjq，(RTB) Bjy Ù Bj Ù yq ® Bjq，(RDAK) Kj Ú yq ® Kjq Ù Kyq，(RDAB) Bj Ú yq ® Bjq Ù Byq。說明：(1) ARK和ARB分別表示絕對知識總是相對知識，絕對信念總是相對信念。(2) RTK和RTB分別表示知識和信念的限制傳遞律。由它們易得一種關于絕對知識（信念）和相對知識（信念）的關系：Ky Ù Kyq ® Kq，By Ù Byq ® Bq。它們表示：相對絕對知識（信念

53、）知道（相信）的就是絕對知識（信念）。這很自然。(3) 令RDAK和RDAB中的y是，再據(jù)REAK和REAB易得Kjj ® Kj, Bjj ® Bj。再據(jù)公理SK和1.5(1)。我們有Kj和Bj。它們的直觀意義是：根據(jù)常假式知信一切，或者說，相對假，什么都是知識和信念。定義4.2(1) 稱áW, f, g, ñ是RKB+-模型，當且僅當下列模型條件成立：對任意w, u Î W和公式j和y，(sk) f (j, w) Í j，(rkb) g(j, w) Í f (j, w)，(rki) w Î j Þ w

54、Î f (j, w)，(ark) f(j, w) Í f ( T , w)，(arb) g(j, w) Í g( T , w)，(rtk) f (j, w) Í y Þ f (j, w) Í f (j Ç y, w)，(rtb) g(j, w) Í y Þ f (j, w) Í f (j Ç y, w)，(rd) g( T , w) ¹ ，(r4k) u Î f ( T , w) Þ f (j, u) Í f (j, w)，(r4b) u 

55、06; g( T , w) Þ g(j, u) Í g (j, w)，(r5k) u Î f( T , w) Þ f (j, w) Í f (j, u)，(r5b) u Î g( T , w) Þ g(j, w) Í g(j, u)，(rdak) f (j, w) È f (y, w) Í f (j È y, w)，(rdab) g (j, w) È g (y, w) Í g(j È y, w)。(2) 所有RKB+-模型組成的模型類記為Model(RKB

56、+)。說明：本節(jié)的語義也可以改成句子型的擇類語義。定義4.3令S是一個系統(tǒng)，且令C是一個模型類。(1) 稱S相對C是模型可靠系統(tǒng)，當且僅當，S的內(nèi)定理在C的所有模型中有效。(2) 稱S相對C是模型完全系統(tǒng)，當且僅當，在C的所有模型中有效的公式是S的內(nèi)定理。定理4.4 (模型可靠性定理)RKB+相對Model(RKB+)是模型可靠的。證明：任給RKB+-模型M = (W, f, g, )。只須驗證RKB+的每一公理相對M有效且推理規(guī)則相對M保持有效性。驗證公理ARK：任給w Î Ky。則f( T , w) Í y。據(jù)4.2的(ark)，有f(j, w) Í y，所以

57、w Î Kjy。據(jù)4.2的(arb)，同理可驗證公理ARB。驗證公理RTK：任給w Î Kjy Ù Kj Ù yq。則f(j, w) Í y且f(j Ù y, w) Í q。據(jù)后者和2.5，有f(j Ç y, w) Í q，再據(jù)4.2的(rtk)，有f(j, w) Í q，所以w Î Kjq。據(jù)4.2的(rtb)，同理可驗證公理RTB。驗證公理RDAK：任給w Î Kj Ú yq。有f(j Ú y, w) Í q， 據(jù)引理2.5，有f(j È y, w) Í q，再據(jù)定義2.3的(rdak)，有f(j, w) È