1、三角函數最值問題的幾種常見類型 湖南祁東育賢中學 周友良 421600衡陽縣一中 何優良 三角函數的最值問題是三角函數基礎知識的綜合應用，近幾年的高考題中經常出現。其出現的形式，或者是在小題中單純地考察三角函數的值域問題；或者是隱含在解答題中，作為解決解答題所用的知識點之一；或者在解決某一問題時，應用三角函數有界性會使問題更易于解決（比如參數方程）。題目給出的三角關系式往往比較復雜，進行化簡后，再進行歸納，主要有以下幾種類型。掌握這幾種類型后，幾乎所有的三角函數最值問題都可以解決。 1y=asinx+bcosx型的函數特點是含有正余弦函數，并且是一次式。解決此類問題的指導思想是把正、余弦函數轉

2、化為只有一種三角函數。應用課本中現成的公式即可：y=sin(x+)，其中例1已知函數f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx(1)求函數f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值時相應的x的值；(3)若當x，時，f(x)的反函數為f1(x)，求f-1(1)的值.解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)f(x)的最小正周期T=(2)當2x+=2k，即x=k (kZ)時，f(x)取得最小值2.(3)令2s

3、in(2x+)=1，又x,2x+,2x+=，則x=，故f-1(1)= .2y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函數。 特點是含有sinx, cosx的二次式，處理方式是降冪，再化為型1的形式來解。 例2求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值時的x的集合。 解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x =2+sin(2x+)當sin(2x+)=-1時，y取最小值2-，此時x的集合x|x=k-, kZ.3y=asin2x+bcosx+c型的函數特點是含

4、有sinx, cosx，并且其中一個是二次，處理方式是應用sin2x+cos2x=1,使函數式只含有一種三角函數，再應用換元法，轉化成二次函數來求解。 例3 是否存在實數a，使得函數y=sin2x+a·cosx+a在閉區間0，上的最大值是1？若存在，求出對應的a值；若不存在，試說明理由.綜合上述知，存在符合題設4y=型的函數 特點是一個分式，分子、分母分別會有正、余弦的一次式。幾乎所有的分式型都可以通過分子，分母的化簡，最后整理成這個形式，它的處理方式有多種。 例4求函數y=的最大值和最小值。解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+)=， |sin(x+)

5、|1, 1，解出y的范圍即可。 解法2：表示的是過點(2, 2)與點(cosx, sinx)的斜率，而點(cosx, sinx)是單位圓上的點，觀察圖形可以得出在直線與圓相切時取極值。 解法3：應用萬能公式設t=tg() 則y=，即(2-3y)t2-2t+2-y=0 根據0解出y的最值即可。 5y=sinxcos2x型的函數。 它的特點是關于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。因為高中數學不涉及三次函數的最值問題，故幾乎所有的三次式的最值問題（不只是在三角）都用均值不等式來解（沒有其它的方法）。但需要注意是否符合應用的條件（既然題目讓你求，多半是符合使用條件的，但做題不

6、能少這一步），及等號是否能取得。 例6如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角的正弦成正比，角和這一點到光源的距離 r的平方成反比，即I=k·，其中 k是一個和燈光強度有關的常數，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？ 解：R=rcos，由此得：，注：本題的角和函數很難統一，并且還會出現次數太高的問題。 6含有sinx與cosx的和與積型的函數式。 其特點是含有或經過化簡整理后出現sinx+cosx與sinxcosx的式子，處理方式是應用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx進行轉化，變成二次函數的問題。 例6求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。 解：令sinx+cosx=t,(- t)，則1+2sinxcosx=t2，所以 2sinxcosx=t2-1, 所以y=t2-1+t=(t+)2-. 根據二次函數的圖象，解出y的最大值是