1、考數學專題復習一一分類討論問題教學目標1 .掌握常見題型分類方法；能夠靈活運用一般的分類技巧。2 .明確分類的“界點”、“標準”。一、熱點再練1 .等腰三角形的一個角是80。，則它頂角的度數是()A. 80 B. 80 或 20 C. 80 或 50 D. 202 .已知三角形相鄰兩邊長分別為13cm和15 cm,第三邊上的高為12 cm,則此三 角形的面積為 cm2A 8 4 B 2 4 C 84 或 24 D 543 .在直角坐標系中，O為坐標原點，已知A (1, 1),在x軸上確定點P,使得AOP%等腰三角形，則符合條件的P點共有 個。4 .半徑為5的圓中，有弦A B平行C D, AB

2、= 8, CD=6,則A B與C D之 間的距離5 .在半徑為1的圓中，弦AB AC的長分別是 血、3 ,則/ BAC勺度數是_O6 .已知方程m2x2 (2m 1)x 1 0有實數根，則m的取值范圍。 知識點：1 .等腰三角形的角有 和其中的底角可以是 .破角的類型進行分類)2 .三角形的高可以在也可以在 假圖形的形狀進行)3 .圓是軸對稱圖形，相等的弦，如平行弦，從一個頂點出發的弦會在對稱抽的兩側（按圖形的性質）4 .初中階段的方程有 ,.按定義分類）二、規律剖析例1正方形ABCD的邊長為10cm, 一動點P從點A出發，以2cm/秒的速度沿正方形的邊逆時針勻速運動。如圖，回到點間的距離。A

3、點停止，求點P運動t秒時,*p總結：本題從運動的觀點，考查了動點 P與定點D之間的距離，應根據P點的不同位置構造出不同的幾何圖形，關鍵找出分界點。練習：9例2.如圖，已知。0的半徑為6 cm,射線PMg過點Q OP= 10 cm1射線PN與。0相切于點Q.A、B兩點同時從點P出發，點A以5 cm/s的速度沿射線PM方向 運動，點B以4 cm/s的速度沿射線PN方向運動.設運動時間為t (s).求PQ的長；(2)當t為何值時，直線 AB與。0相切?課堂檢測：1 .若等腰三角形有兩條邊的長度為3和1,則此等腰三角形的周長為()A. 5B. 7C. 5 或 7D. 62 .在平面直角坐標系中，三點坐

4、標分別是（0, 0） （4, 0） （3, 2）,以三點為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在（）。:A、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第赤象限3 .如圖，在矩形 ABCD中，AB=10, AD=4,點P是邊AB上一點，若4APD與4BPC相似，則滿足條件的點P有 個.4 .若等腰三角形的兩個角度的比是1:2,則這個三角形的頂角為（）度。A 30B 60C 30 或 90D 605 .若直線y= x+b與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2,則b的值為6 .已知關于x的一元二次方程（m 1）x總結:運動與數形結合進行分類四、板書設計1:分式方程無解的分類討論問題； “一元二次”方

5、程系數的分類討論問題；3:三角形、圓等幾何圖形相關量求解的分類討論問題；4:分類問題在動點問題中的應用；4.1常見平面問題中動點問題的分類討論；4.2組合圖形（二次函數、一次函數、平面圖形等組合）中動點問題的分類1:分式方程無解的分類討論問題例題1: （2011武漢）3 2ax-4一 無解，求a x 3 x 9x3解：去分母，得： x 1 0有實數根，則m的取值范圍是:3(x 3) ax 4(x 3)(a-1) x 21，一，21,、 21,、由已知3或M a 1 0a-1a-1a 8,a6或者 a 1猜想：把“無解”改為“有增根”如何解？a 8或a6例題2: (2011郴州) 2- - 2無

6、解，求ax 1 x 12: “一元二次”方程系數的分類討論問題例題3: （2010上海）已知方程m2x2 （2m 1）x 1 0有實數根，求m的取值范圍。（1） 當m2 0時，即m=0時，方程為一元一次方程 x+1=0,有實數根x= 1（2） 當m2 0時，方程為一元二次方程，根據有實數根的條件得：2212（2m 1） 4m 4m 1 Q即m -，且 m 04綜（1） （2）得，m 14常見病癥：（很多同學會從（2）直接開始而且會忽略m2 0的條件）總結：字母系數的取值范圍是否要討論，要看清題目的條件。一般設置問題的方式有兩種（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“兩實數根”。這都是表

7、明是二次方程，不需要討論，但切不可忽視二 次項系數不為零的要求，本題是根據二次項系數是否為零進行討論的。例題4: （2011益陽）當 m是什么整數時，關于 x的一元二次方程mx2 4x 4 0與x2 4mx 4m2 4m 5 0的根都是整數。解：因為是一元二次方程，所以二次項系數不為0,即m2 0, m 0, 1 0,解得m 1.55同理， 2 0,解得m 一. 一 m 1且m 0,又因為m為整數 m取1或1. 44（1）當m=-1時，第一個方程的根為 x 2 2<2不是整數，所以 m=-1舍去。（2）當m=1時，方程1、2的根均為整數，所以 m=1.練習：已知關于x的一元二次方程 （m

8、 1）x2 x 1 0有實數根，則m的取值范圍是：3:三角形、圓等幾何圖形相關量求解的分類討論問題例題:5: （2011青海）方程x2 9x 18 0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為（）A 12B 12或15 C 15D不能確定例題6: （2011武漢）三角形一邊長 AB為13cm,另一邊AC為15cm, BC上的高為12cm, 求此三角形的面積。（54或84）例題8: （2011四校聯考）一條繩子對折后成右圖 A、B, A.B上一點C,且有BC=2AC,將其從C點剪斷，得到的線段中最長的一段為 40cm,請問這條繩子的長度為：60cm或120cm4:動點問題的分類分類討論問

9、題.4.1:常見平面問題中動點問題的分類討論；A CB例題9: （2011永州）正方形ABCD的邊長為10cm, 一動點P從點A出發，以2cm/秒的速度沿正方形的邊逆時針勻速運動。如圖，回到 A點停止，求點P運動t秒時，P, D兩點間的距離。10_ 解：點P從A點出發，分別走到B, C, D, A所用時間是 亍秒, 即5秒，10秒，15秒，20秒。 . （ 1）當 0&t<5 時，點 P 在線段 AB 上，|PD|=|PiD|= 山針-2扣+25 / 、 ，（cm）（2）當 5< t<10 時，點 P 在線段 BC 上，|PD|=|P2D|= &第一為L口二2

10、41-2由十125現 豆 ”2秒，2秒，2秒,“P2(3)當 10&t<15 時，點 P在線段 CD 上，|PD|=|P3D|=30-2t(4)當 15<t020 時，點 P在線段 DA 上,|PD|=|F4D|=2t-30綜上得：|PD|=24 230地)口- 2Ct +1»(事時(30 - 2 txett0 0-30X2L ,(0 < 1 <5)(J < t < 10) (10 < t < 15) Q3 M 20)總結：本題從運動的觀點，考查了動點 P與定點D之間的距離,PT：應根據P點的不同位置構造出不同的幾何圖形，將線段

11、 PD放在直角三角形中求解或直接觀察圖形求解。4.2:組合圖形（一次函數、二次函數與平面圖形等組合）中動點問題的分類例題10: （2010福建）已知一次函數yx 3套與x軸、y軸的交點分別為A、B,試在3x軸上找一點P,使4PAB為等腰三角形。分析：本題中 PAB由于P點位置不確定而沒有確定，而且等腰三角形中哪兩條是腰也沒有確定。 PAB是等腰三角形有幾種可能？我們可以按腰的可能情況加以分類：（1） PA=PB;（2） PA=AB ; （3） PB=AB。先可以求出 B點坐標（0，入，A點坐標（9, 0）。設P點坐標為（x,0）,利用兩點間距離公式可對三種分類情況分別列出方程，求出P點坐標有四

12、解，分別為（9,0）、（3,0）、（9 6V3,0）、（9 6召,0）。（不適合條件的解已舍去）總結：解答本題極易漏解。解答此類問題要分析清楚符合條件的圖形的各種可能位置，緊M扣條件，分類畫出各種符合條件的圖形。另外，由點的運動變化也 會引起分類討論。由于運動引起的符合條件的點有不同位置，從而 需對不同位置分別求其結果，否則漏解。例11: （2010湖北）如圖，正方形ABCD勺邊長是2, BE=CEMN=1 線段MN勺兩端在CD AD上滑動.當DM=時，ZXABE與以D M N為項點的三角形相似。分析與解答 勾股定理可得AE=后.當 ABE與以D、M、N為項點的三角形相似時，DM可以與BE是對

13、應邊，也可以與AB 是對應邊，所以本題分兩種情況：（1） 當DMf BE是對應邊時,DM MN"ab -ae即DM 1DM IABI 15,DM 55幽即DMAE '2.（2）當DM與AB是對應邊時,5,dm等故皿的長是等或胃例題12: （2011湘潭）如圖，直線y=3x+3交x軸于A點，交y軸于B點，過A,B兩點的拋 物線交x軸于另一點C （3,0）.（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點 Q,使三角形ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合條件的 Q點坐標；若不 存在，請說明理由。A說明從以上各例可以看出，分燈思想在幾何中的較為廣 泛.這類試題的解題思路

14、是：對具有位置關系的幾何圖形， 要有分類討論的意識，在熟悉幾何問題所需要的基礎知識的前提下，正確應用分類思想方法，恰當地選擇分類標準，是準確全面求解的根本保證. 解析：（1）拋物線解析式的求法：1,三點式；2,頂點式（h,k） ; 3,交點式。易得：y a（x 1）（x 3）再結合點B（0,3）在拋物線上yx2 2x 3（2）依題意得AB V10 ,拋物線的對稱軸為x=1，設Q（1, y）1）以AQ為底，則有AB=QB,及10 Ji2 （y 3）2解得,y=0或y=6,又因為點（1,6） 在直線AB上（舍去），所以此時存在一點Q（1,0）2）以BQ為底，同理則有 AB=AQ,解的Q（1,而）Q

15、（1, J6）3）以AB為底，同理則有 QA=QB,存在點Q（1,1）.綜上，共存在四個點分別為：（1,0）、（1,1）、（1,奔）、（1,灰）【作業訓練】1,已知等腰 ABC的周長為18 cm, BC=8cm.若 AB登B'C',則a' B'C'中一定有一 定有條邊等于（）A. 7 cm B . 2 cm 或 7 cm C . 5 cm D . 2 cm 或 7 cm2. （2010衡陽）若等腰三角形的兩個角度的比是1:2,則這個三角形的頂角為（）度。A 30B 60C 30 或 90D 603. A、B兩地相距450千米，甲、乙兩車分別從 A、B兩地同時出發，相向而行.已知甲 車速度為120千米/時，乙車速度為80千米/時，以過t小時兩車相距50千米，則t的值是（）A. 2 或 2. 5 B. 2 或 10 C. 10 或 12. 5 D. 2 或 12. 54 .已知。的半徑為2,點P是。外一點，OP的長為3,那么以P這圓心，且與。相切 的圓的半徑一定是（）A.1或5 B. 1C. 5 D.不能確定5 . （2011株洲市）兩圓的圓心距d=5,他們的半徑分別是一元二次方程 x2 5x 4