1、初一數學培優專題講義一有理數及其運算一、有理數的基本概念梳理與強化：(一)幾個小知識點的梳理與強化：小知識點是常考的考點，也是易錯點。理清小知識點，減少失誤1 .字母可以表示任意有理數，不能說 a 一定是正數，-a也不一定是負數2 .相反數等于本身的數是 ;平方等于本身的數是 ;立方等于本身的數是 ;倒數 等于本身的數是。3 .互為相反數的兩個數的絕對值相等。若 | x|=| 1| ,則x=;若|x|=| 4| ,則x=;2若-|x|二-|2|,那么 x=;若-|-x|二-|2|,那么 x=4 .互為相反數的兩個數的平方相等。如果a2 16 ,那么a=；若x2=(2)2,則乂=.5 .注意乘方

2、中括號的作用。(一2) 3的底數是 ,結果是 ； 32的底數是,結果是; n 為正整數，則(1) 2n=,(_ 1)2n+1=_ 。計算：4L卻一又加(1) 一=;(2) - 5* = ;(3)4=； ( 4)=(5)(-1)=6. a的相反數是 ; a+b的相反數是; a-b的相反數是 ; -a+b-c的相反數是：變式訓練：若 avb,貝卜 a-b I =, - I a-b I =(二)突破絕對值的化簡：7 .絕對值即距離，則 a 08 .絕對值的代數定義用式子可表示為：(體現分類討論的思想)'(a>0)|a| = *(a= 0 ) (a< 0 )9 .絕對值的非負性：(

3、1)若 |a| =0,則 a;(2)若 |a| = a,則 a;(3)若|a| = a,則 a;一.a一一. a(4),貝 U;(5)a 0,貝 U|a|a|(6)若 |a|+|b|=0 ,則 a 且 b小結：要打開絕對值號，關鍵要確定絕對值號里的數的符號。例 1. 已知：| a- 1 | + (b+1) 2=0,那么(a+b) 2003+a2003+b2003 的值是多少？例 2.若 ab<0,求 aL + bL+abL 的值.|a| |b| |ab|1.例 3. (1)如果 x< 2,那么 |1 11+ x|= ;若|m 1|=m 1,則 m 1.;若 |m 1|=1 m,則

4、n(2)已知 a 3,且 a a 0,則 a3 a2 a 1 .例4.(數形結合) 有理數a, b, c在數軸上對應點如圖所示，化簡 |b+a|+|a+c|+|c-b|I II I .CB 0 A即時練習：1已知a, b, c在數軸上的位置如圖所示，化簡|a| |c b|a c|+|b-a|II】一a0cb2.數a, b在數軸上對應的點如圖所示，是化簡|a+b|-|b-a|+|b|-|a-|a|例 5.若-2WaW0,化簡 |a+2|+|a-2| 即時練習：1.已知x<-3,化簡|3+|2-|1+x|2.若a<0,試化簡2a |3a|l|3a| a|一 a3.右abcw 0,貝U|

5、a I的所有可能值為|c|例6.（難題，整體思想） 若x y 3與x y 1999互為相反數，求 x 2y的值x y（三）分類討論的思想：例7.已知a, b互為相反數，c, d互為倒數，且 x的絕對值是5,試求 x （a+bcd） + （ a+b） 4 + 3 cd 的值.2.解方程：|x-5|二8即時練習：1.已知|x|=2 , |y|=3且x-y>0 ,則x+y的值為多少?（四）兩個重要的非負數： a 0；a2>0； a2 a2 a2例 8.若 2a 1 2 2ab0,且 c 12,求 c a3b的值。例9.已知ab 2與b1互為相反數，求代數式111的值.ab (a 1)(b

6、 1) (a 2)(b 2)(a 1999)(b 1999)突破有理數的計算（一） 混合運算的幾個優先原則：乘方優先，括號優先，湊整優先，同號優先，相反數優先，同分母優 先，分配律優先。減法要用心：連減取負當加算；小減大，取負，倒過來減。例10.計算：（過關訓練）11( 1.5) 42.75 ( 5 )1) 42_ 322) ) ( 6) 8 ( 2)( 4)5215 4 (1 0.2 -)( 2)52564)28( 16 50 3 ) ( 2)(4 ) 5 ( 6) ( 4)( 8)(5)5(6)5244832( 3)2 (2) | 22 ( 98)99 9899（二）利用運算律、裂項、逆向思維等技巧巧算：例11.計算：（巧算）11 I I 112004 2003112003 20021100311002(2)!+1+1+±+±+±, 2 4 8 16 32 64例12.（逆向思維）計算：（4） X亙（3） X （一 旦513513133x (- 1-)5例13.（裂項求和）111 1+!".,+1X3 3乂5 5X719kMi999例 14. (1)(分組求和)1-2+3-4+ +2001-2002(2)(倒序求和)1+3+5+7+-一+99001 （三）利用哥