1、1 在自然科學和工程技術中很多問題的解決常常歸結為解線性在自然科學和工程技術中很多問題的解決常常歸結為解線性 方程組。方程組。這些方程組的系數矩陣大致分為兩種：這些方程組的系數矩陣大致分為兩種： (1)(1)低階稠密矩陣（通常階數低階稠密矩陣（通常階數150） (2)(2)大型稀疏矩陣（即矩陣階數高且零元素較多）大型稀疏矩陣（即矩陣階數高且零元素較多） 3.1 引例及問題綜述引例及問題綜述3.1.1 引例引例P161引例引例1 :電路問題（電網絡電路問題（電網絡)3.1.2 問題綜述問題綜述nnnnnnnbxaxabxaxa1111111線性方程組線性方程組12克萊姆（克萊姆（Cramer）法

2、則：）法則：如果如果 ，則方程組有唯一解，則方程組有唯一解 0)det(A其中 ), 2 , 1( )det(nixiiADnninniinnnniiiniiiaaaaaaaaaaaaaaaaaa,1,1,21, 21, 221, 22221, 11, 111, 11211)det(Anninninnnniiniiiaabaaaaabaaaaabaaa,1,1,21, 21, 221, 22221, 11, 111, 11211D2用這種方法解一個用這種方法解一個n元方程組元方程組,要算要算n+1個個n階行列階行列 式式 的值，總共需要的值，總共需要(n+1)n!(n-1)次乘法。次乘法。當當

3、n較大時，計算量相當驚人。較大時，計算量相當驚人。如：如：n=20時，時， (n+1)n!(n-1)9.7*1020工作量太大，不適用在計算機上求解高維方程組。工作量太大，不適用在計算機上求解高維方程組。34 直接法直接法 就是經過有限步算術運算，可求得方程組精確解的就是經過有限步算術運算，可求得方程組精確解的方法（若計算過程中沒有舍入誤差）。方法（若計算過程中沒有舍入誤差）。但實際計算中由于舍入誤差的存在和影響，這種方法也只能但實際計算中由于舍入誤差的存在和影響，這種方法也只能求得線性方程組的求得線性方程組的近似解近似解。這類算法中最基本的這類算法中最基本的高斯消去法及其某些變形高斯消去法及

4、其某些變形。這類方法是解這類方法是解低階稠密矩陣方程組低階稠密矩陣方程組的有效方法，的有效方法，近十幾年來直接法在求解某些大型稀疏矩陣方程組方面取得近十幾年來直接法在求解某些大型稀疏矩陣方程組方面取得了較大進展。了較大進展。線性方程組的數值解法一般分為線性方程組的數值解法一般分為直接法直接法和和迭代法迭代法兩類。兩類。45 迭代法迭代法 基本思想與解一元非線性方程的迭代法類似。基本思想與解一元非線性方程的迭代法類似。 從任意給定的初始近似解向量出發，按照某種方法從任意給定的初始近似解向量出發，按照某種方法逐步生成近似解序列，使解序列的極限為方程組的解。逐步生成近似解序列，使解序列的極限為方程組

5、的解。 迭代法就是用某種極限過程去逐步逼近線性方程組迭代法就是用某種極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法，可以用有限步運算算出具有指定精確度的精確解的方法，可以用有限步運算算出具有指定精確度的近似解近似解。 迭代法主要有：雅可比（迭代法主要有：雅可比（Jacobi)Jacobi)迭代法；高斯迭代法；高斯- -賽賽德爾（德爾（Gauss-Seidel)Gauss-Seidel)迭代法。迭代法。 迭代法具有需要計算機的存貯單元較少、程序設計迭代法具有需要計算機的存貯單元較少、程序設計簡單、原始系數矩陣在計算過程中始終不變等優點，簡單、原始系數矩陣在計算過程中始終不變等優點， 但存在但存在收斂性

6、及收斂速度問題收斂性及收斂速度問題。 迭代法是解迭代法是解大型稀疏矩陣方程組大型稀疏矩陣方程組（尤其是由微分方（尤其是由微分方程離散后得到的大型方程組）的重要方法。程離散后得到的大型方程組）的重要方法。563.2 線性方程組的直接解法線性方程組的直接解法有有3種方程的解可以直接求出：niabxaaadiagAiiiinn, 1,),(2211n次運算nilxlbxllllllAiiijjijiinnnn, 1,1121222111(n1)n/2次乘除運算對角矩陣對角矩陣下三角矩陣下三角矩陣bAx 回代過程回代過程61 ,122211211niuxubxuuuuuuAiinijjijiinnnn

7、(n1)n/2次乘除運算消元法消元法就是對方程組做些等價的變換，變為我們已知就是對方程組做些等價的變換，變為我們已知的的3種類型之一，而后求根種類型之一，而后求根上三角矩陣上三角矩陣回代過程回代過程78對方程組，作如下的變換，解不變對方程組，作如下的變換，解不變交換兩個方程的次序交換兩個方程的次序一個方程的兩邊同時乘以一個非一個方程的兩邊同時乘以一個非0的數的數一個方程的兩邊同時乘以一個非一個方程的兩邊同時乘以一個非0數，加到另一個方程數，加到另一個方程對應的對增廣矩陣對應的對增廣矩陣(A,b)，作如下的變換，解不變，作如下的變換，解不變交換矩陣的兩行交換矩陣的兩行某一行乘以一個非某一行乘以一

8、個非0的數的數某一個乘以一個非某一個乘以一個非0數，加到另一行數，加到另一行（同解變換）（矩陣的初等行變換）893. 2. 1 高斯消去法的基本思想高斯消去法的基本思想 高斯消去法是一個古老的求解線性方程組的方法，但高斯消去法是一個古老的求解線性方程組的方法，但由它改進、變形得到的選主元素消去法、三角分解法仍然由它改進、變形得到的選主元素消去法、三角分解法仍然是目前計算機上常用的有效方法。是目前計算機上常用的有效方法。 思思路路首先將首先將A化為化為上三角陣上三角陣，再回代求解，再回代求解 。=910例例1 用高斯消去法解方程組用高斯消去法解方程組1231231232221 (1)3241/2

9、 (2)395/2 (3)xxxxxxxxx解解 第1步： 將方程（1）乘上（-3/2）加到方程（2）上去， 將方程（1）乘上（-1/2）加到方程（3）上去， 則得到與原方程組等價的方程組3. 2. 1 高斯消去法的基本思想（續）高斯消去法的基本思想（續）P163（消元（消元x1 ）10112/5932/14231222321321321xxxxxxxxx12323232221 1 (4) 282 (5)xxxxxxx 其中方程（4），（5）已消去了未知數x1。 第第2步：步：將方程（將方程（4）乘上）乘上2加到方程（加到方程（5），消去（），消去（5）式中未知數）式中未知數x2， 得到與原方

10、程組得到與原方程組等價等價的三角形方程組的三角形方程組3. 2. 1 高斯消去法的基本思想（續）高斯消去法的基本思想（續）（消元（消元x2 ）11123. 2. 1 高斯消去法的基本思想（續）高斯消去法的基本思想（續）1232332221 1 (6) 0 xxxxxx 最后由上述方程組，用回代的方法，即可求得原方程組的解。 x3=0，x2=1，x1=-1/2 這種求解過程，稱為具有回代的高斯消去法。這種求解過程，稱為具有回代的高斯消去法。1213010011101222228201110122212/59312/ 14231222,bA2/593 2/1423 1222321321321xxx

11、xxxxxx用高斯消去法解方程組的用高斯消去法解方程組的基本思想基本思想是是用矩陣用矩陣行的初等變換行的初等變換將系將系數矩陣數矩陣A約化為具有簡單形式的矩陣約化為具有簡單形式的矩陣（如：上三角陣），（如：上三角陣），而三角形方程組是很容易解的而三角形方程組是很容易解的（回代回代）3. 2. 1 高斯消去法的基本思想（續）高斯消去法的基本思想（續）增廣矩陣增廣矩陣1314 通常把這種按照通常把這種按照先消元先消元，再回代再回代兩個步驟求解線性方兩個步驟求解線性方程組的方法稱為程組的方法稱為高斯（高斯（Gauss)消去法。消去法。3.2.2 高斯消去法的算法構造高斯消去法的算法構造設有n個未知數

12、的線性方程組 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(3.1) 1415引進記號 nnnnnnaaaaaaaaa212222111211Anxxx21xnbbb21bbAx (3.1)可用矩陣形式表示 (3.2) 為了討論方便，記 ， 假設A為非奇異矩陣非奇異矩陣（即設det(A)0）。 nnija)()1()1(AATnbb),()1()1(1)1( bb3.2.2 高斯消去法的算法構造（續）高斯消去法的算法構造（續）滿秩矩陣，有唯一解滿秩矩陣，有唯一解1516第第1步步 （k=1）：設設 計算乘數計算乘數： 0)1(11a(1

13、)11(1)11,(2, )iiamina 用用mi1乘上第一個方程，加到第乘上第一個方程，加到第i（i=2，n）個方程上去）個方程上去（即施行行的初等變換（即施行行的初等變換RiRi+mi1*R1，i=2，n），），消去第消去第2 個方程第個方程第n個方程的未知數個方程的未知數x1，得到等價方程組，得到等價方程組nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111)2()2(2) 1 (121)2()2(2)2(2)2(22) 1 (1) 1 (12) 1 (11nnnnnnnbbbxxxaaaaaaa 3.2.2 高斯消去法的算法構造（續）

14、高斯消去法的算法構造（續）(1) (1) 消元過程消元過程1617記為: A(2)x=b(2) ；其中(2)(1)(1)1 1(2)(1)(1)1 1, ( ,2,3, ), (2,3, )ijijijiiiaam ai jnbbm bin(1)(1)(1)(1)11112211(2)(2)(2)22222(2)(2)(2)22, , (3.3) nnnnnnnnna xa xa xba xa xba xa xb3.2.2 高斯消去法的算法構造（續）高斯消去法的算法構造（續）17183.2.2 高斯消去法的算法構造（續）高斯消去法的算法構造（續）第第2步步 （k=2）：對線性方程組）：對線性方

15、程組(3.3)中的第中的第2，3，n個方程組個方程組成的成的n-1元方程組元方程組(2)(2)(2)(2)22223322(2)(2)(2)(2)32233333(2)(2)(2)(2)2233, nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb做類似于第1步的處理，消去除第一個方程之外的變元x2，得到第2步消元后的線性方程組1819(1)(1)(1)(1)(1)11112213311(2)(2)(2)(2)222(3)(3)(2333)3322333 , , nnnnnnnaxaxaxaxbaxaxaaxaxabbx(3)(3)(3)33 nnnnxaxb式中式中(3)(2)(

16、2)22(3)(2)(2)22(2)(2)2222 ( ,3,4, )/ijijijiiiiiaam abbm bi jnmaa 1920第k步：（k=1，2，n-1）繼續上述消去過程，設第1步第k-1步計算已經完成，得到與原方程組等價的方程組( )( )( )( )(1)(1)(1)(1)1111211(2)(2)(2)2( )(2222)kkkkkknkkkknknnnnnknxaaabxaaabaaabxbx記為A(k)x=b(k)；現進行第k步消元計算，設 ，計算乘數0)(kkka( )( ),(1, )kikikkkkamikna 用（用（mik）乘上式的第）乘上式的第k個方程加到第

17、個方程加到第i個方個方程，消去第程，消去第i個方程的未知數個方程的未知數xk，得到與原，得到與原方程組等價的方程組方程組等價的方程組 3.2.2 高斯消去法的算法構造（續）高斯消去法的算法構造（續）第i行第k行（i=k+1，n）2021(1)(1)(1)1 11, n1(1)(1)(1),1(1)(1)(1)(1)1111121(2)(2)(2)22222( )( )( )kkkkkkkkkkn knnnnnkkkkkkkknnaabaabbxaaabxaabxaax 簡記為A(k1)x=b(k1)；其中A(k1)，b(k1)元素計算公式為：(1)( )( )(1)( )( )(1)( )(1

18、)( ), ( ,1, ), (1, )kkkijijikkjkkkiiikkkkkkaam ai jknbbm biknkkAAbb與前 行元素相同，與前 個元素相同。3.2.2 高斯消去法的算法構造（續）高斯消去法的算法構造（續）2122 最后，重復上述約化過程，即k=1，2，n-1且設 （k=1，2，n-1）共完成n-1步消元計算，得到與原方程組（3.1）等價的三角形方程組 0)(kkkannnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111)()2(2) 1 (121)()2(2)2(22) 1 (1) 1 (12) 1 (11nnnnn

19、nnnbbbxxxaaaaaa3.2.2 高斯消去法的算法構造（續）高斯消去法的算法構造（續）消元過程消元過程2223(1)(1)(1)(1)(1)(1)1111221331,1111(2)(2)(2)(2)(2)2222332,11221 , nnnnnnnnna xa xa xaxa xba xa xaxa xba(1)(1)(1),111,11( )( ) (3 4 . )nnnnnnnnnnnnnnnxaxba xb3.2.2 高斯消去法的算法構造（續）高斯消去法的算法構造（續）第1步 在方程（3.4）的最后一個方程中解出xn，得( )( )nnnnnnbxa（2）回代過程23243.

20、2.2 高斯消去法的算法構造（續）高斯消去法的算法構造（續）第3步 依次繼續下去，一般可得xk的計算公式( )( )1( ),(2,3,1)nkkkkjjj kkkkkbaxxknna 第2步 將xn的值代入式（3.4）的倒數第二個方程，解出xn-1，得(1)(1)(1)1,111,11(1)(1)11,11(1)1,1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxaxbbaxxa當k=1時，就完成了回代過程，得到所求的解。(k=n-1, n-2, , 1)2425 將（將（3.1)約化為約化為(3.4)的過程稱為的過程稱為消元過程消元過程， （3.4）的求解過程稱為）的求解過程稱為回代過程回代

21、過程由消元過程和回代過程求解線性方程組的方法稱為由消元過程和回代過程求解線性方程組的方法稱為高斯消去法高斯消去法。11 11221121 1222221 122 (3.1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb(1)(1)(1)(1)(1)(1)1111221331,1111(2 )(2 )(2 )(2 )(2 )2222332,11221 , nnnnnnnnnaxaxaxaxaxbaxaxaxaxba (1)(1)(1),111,11()() (3 4 . )nnnnnnnnnnnnnnnxaxbaxb3.2.2 高斯消去法的算法構造（續）高斯消去

22、法的算法構造（續）2526 消元計算消元計算 ( )( )(1)( )( )(1)( )( ),(1, ), ( ,1, ), (1, )kikikkkkkkkijijikkjkkkiiikkamiknaaam ai jknbbm bikn k=1，2，n-1 3.2.2 高斯消去法的算法構造（續）高斯消去法的算法構造（續）定理定理3.13.1設線性方程組Ax=b，其中ARnn(Rnn表示n階方陣的集合）。（1）如果 則可通過高斯消去法將Ax=b化為等價的上三角方程組，且有計算公式：( )0(1,2, )kkkakn2627( )( )( )( )1( ),(1,2,1)nnnnnnkkkkj

23、jj kkkkkbxabaxxknna 回代計算回代計算 (2)(2)如果如果A為非奇異矩陣時，可能有某為非奇異矩陣時，可能有某 ，則在第，則在第k列存列存在有元素在有元素 ，于是可能通過交換（于是可能通過交換（A，b）的第）的第k行和第行和第ik行元素，將行元素，將 調到調到（k，k）位置，然后再進行消元計算。）位置，然后再進行消元計算。于是，在于是，在A為非奇異矩陣時，只要引進行交換，則高斯消去法可為非奇異矩陣時，只要引進行交換，則高斯消去法可將將 化為上三角方程組，且通過回代即可求得方程組解。化為上三角方程組，且通過回代即可求得方程組解。 0)(kkka)1(0)(nikakkkik)(

24、kkikaAxb3.2.2 高斯消去法的算法構造（續）高斯消去法的算法構造（續）2728高斯消去法要求( )0(1,2, )kkkakn第k步消元的主元素3.2.2 高斯消去法的算法構造（續）高斯消去法的算法構造（續）判斷主元素判斷主元素 的一個充要條件：的一個充要條件：( )0(1,2, )kkkakn定理定理3.2對矩陣對矩陣A=(aij)nn消元時，主元素消元時，主元素 的一個充要條件是矩陣的各階順序主子式的一個充要條件是矩陣的各階順序主子式( )0(1,2, )kkkakn0(1, 2,)iDin28293.2.2 高斯消去法的算法構造（續）高斯消去法的算法構造（續）即即1111111

25、0,0 (2,3, )iiiiiDaaaDinaa29303.2.3 3.2.3 高斯消去法算法分析高斯消去法算法分析 消元過程的計算量消元過程的計算量，高斯消去法消去過程分高斯消去法消去過程分n-1-1步步 第第k步的計算工作量為：步的計算工作量為：1）計算乘數計算乘數：需要作（：需要作（n-k）次除法運算；）次除法運算；2）消元消元：需作：需作(n-k)2次乘法運算和次乘法運算和(n-k)2次加減法運算；次加減法運算；3）計算計算b(k)：需作（：需作（n-k）次乘法運算和）次乘法運算和(n-k)次加減法運算；次加減法運算；), 1( ,)()(nkiaamkkkkikik), 1( ,)

26、, 1,( ,)()()1()()()1(nkibmbbnkjiamaakkikkikikkjikkijkijk=1，2，n-1 （1）高斯消去法的計算量）高斯消去法的計算量（n-k）行）行,（n-k）列）列（n-k）行）行（n-k）列）列30312) 1(6) 12() 1(2) 1()()()(1111211nnnnnnnknknknnknknk2) 1(6) 12() 1()()(11112nnnnnknknnknk乘除法運算加減法運算于是完成n-1-1步運算步運算全部消元計算共需要作2/) 1(1nnini) 1(6/ ) 12)(1(12nnnnini求和公式求和公式3.2.3 3.

27、2.3 高斯消去法算法分析高斯消去法算法分析( (續）續）3132（2）回代計算： 共需要作 n(n+1)/2 乘除法運算，n,1 n(n-1)/2 加減法運算 ，n-1,1) 1 , 2, 1( ,)(1)()()()(nniaxabxabxiiinijjiijiiinnnnn用高斯消去法解 （其中ARnn）的計算量為共需作 bAx 332) 1(2) 1(6) 12() 1(2) 1(323nnnnnnnnnnnnMD6)52() 1(2) 1(2) 1(6) 12() 1(nnnnnnnnnnAS乘除法運算加減法運算3.2.3 3.2.3 高斯消去法算法分析高斯消去法算法分析( (續）續

28、）3233在計算機上用高斯消去法解低階稠密矩陣線性方程組時要注意在計算機上用高斯消去法解低階稠密矩陣線性方程組時要注意幾點：幾點： （1）要用一個二維數組）要用一個二維數組A(n,n)存放系數矩陣存放系數矩陣A的元素，用一的元素，用一維數組維數組b(n)存放常數項存放常數項b分量。分量。 （2）需要輸入的數據：）需要輸入的數據： A ，b。 （3）約化的中間結果）約化的中間結果A(k)元素沖掉元素沖掉A元素，元素，b(k)沖掉沖掉b。例如，計算例如，計算（a）mik-A(i,k)/ A(k,k)，（，（i=k+1，n）；）；（b）A(i,j)A(i,j)+mik*A(k,j)，(i=k+1,n

29、；j=k+1,n）;（c） b(i)b(i) +mik* b(k)，（，（i=k+1，n）。）。 （4）如果不存在如果不存在ik，使，使 ，輸出方程沒有唯一解的信，輸出方程沒有唯一解的信息。息。 0)(kkika3.2.3 3.2.3 高斯消去法算法分析高斯消去法算法分析( (續）續）（2）高斯消去法的矩陣解釋高斯消去法的矩陣解釋33343.2.4 3.2.4 列主元高斯消去法列主元高斯消去法 用高斯消去法解用高斯消去法解Ax=b時，其中設時，其中設A為非奇異矩陣，可能為非奇異矩陣，可能出現出現 情況，這時必須進行帶行交換的高斯消去法。情況，這時必須進行帶行交換的高斯消去法。 但在實際計算中即

30、使但在實際計算中即使 但其絕對值很小時，用但其絕對值很小時，用 作除數，會導致中間結果矩陣作除數，會導致中間結果矩陣A(k)元素數量級嚴重增長和舍入元素數量級嚴重增長和舍入誤差的擴散，使得最后的計算結果不可靠。誤差的擴散，使得最后的計算結果不可靠。 0)(kkka0)(kkka)(kkka3435例3.2 設有方程組210001. 02121xxxx解解方法1 用高斯消去法求解（用具有舍入的4位浮點數進行運算）。3111110.1000 100.1000 100.1000 10 , 0.1000 100.1000 100.2000 10A b3.2.4 3.2.4 列主元高斯消去法（續）列主元

31、高斯消去法（續） 421211110ama (1)(0)(0)15222221 12555(1)520.1000 100.1000 100.00001 100.1000 100.1000 100.1000 10aam ab3536回代，求得解x2=1.000，x1=0.0003111110.1000 100.1000 100.1000 10 , 0.1000 100.1000 100.2000 10A b210001. 02121xxxx不滿足原方程：錯誤錯誤3.2.4 3.2.4 列主元高斯消去法（續）列主元高斯消去法（續） 3637方法方法2 用具有行交換的高斯消去法（避免小主元）。用具有

32、行交換的高斯消去法（避免小主元）。 m21=-10-4121113110.1000 100.1000 100.2000 10 , 0.1000 100.1000 100.1000 10rrA b111110.1000 100.1000 100.2000 1000.1000 100.1000 10 x2=1.00，x1=1.00 方法方法1 1計算失敗的原因，是用了一個計算失敗的原因，是用了一個絕對值很小的數作絕對值很小的數作除數除數，乘數很大，引起約化中間結果數量很嚴重增長，再舍，乘數很大，引起約化中間結果數量很嚴重增長，再舍入就使得計算結果不可靠了。入就使得計算結果不可靠了。 1210000

33、9998,99999999xx精確解為或 x*=(0.9998999，1.00010001)T3.2.4 3.2.4 列主元高斯消去法（續）列主元高斯消去法（續） 37對同一個數值問題，用不同的計算方法，得到的結果對同一個數值問題，用不同的計算方法，得到的結果的精度大不一樣。的精度大不一樣。一個計算方法，如果用此方法的計算過程中舍入誤差一個計算方法，如果用此方法的計算過程中舍入誤差得到控制，對計算結果影響較小，稱此方法為數值穩得到控制，對計算結果影響較小，稱此方法為數值穩定的；否則，如果用此計算方法的計算過程中舍入誤定的；否則，如果用此計算方法的計算過程中舍入誤差增長迅速，計算結果受舍入誤差影

34、響較大稱此方法差增長迅速，計算結果受舍入誤差影響較大稱此方法為為數值不穩定數值不穩定。應選擇和使用數值穩定的計算方法，否則，如果使用應選擇和使用數值穩定的計算方法，否則，如果使用數值不穩定的計算方法去解數值計算問題，就可能導數值不穩定的計算方法去解數值計算問題，就可能導致計算失敗。致計算失敗。383.2.4 3.2.4 列主元高斯消去法（續）列主元高斯消去法（續） 3839 在采用高斯消去法解方程組時，小主元可能導致計算在采用高斯消去法解方程組時，小主元可能導致計算失敗，故在消去法中應避免采用絕對值很小的主元素。失敗，故在消去法中應避免采用絕對值很小的主元素。 對一般矩陣方程組，需要引進選主元

35、的技巧，對一般矩陣方程組，需要引進選主元的技巧， 即在高斯消去法的每一步應該選取系數矩陣或消元后即在高斯消去法的每一步應該選取系數矩陣或消元后的低階矩陣中絕對值最大的元素作為主元素，保持乘數的低階矩陣中絕對值最大的元素作為主元素，保持乘數|mik|1，以便減少計算過程中舍入誤差對計算解的影響。，以便減少計算過程中舍入誤差對計算解的影響。3.2.4 3.2.4 列主元高斯消去法（續）列主元高斯消去法（續） 完全主元消去法：行列均采用最大主元系數調整完全主元消去法：行列均采用最大主元系數調整3940列主元消去法列主元消去法 完全主元素消去法是解低階稠密矩陣方程組的有效方完全主元素消去法是解低階稠密

36、矩陣方程組的有效方法，但完全主元素消去法在選取主元時要花費一定的計算法，但完全主元素消去法在選取主元時要花費一定的計算機時間。機時間。 現介紹一種在實際計算中常用的部分選主元（即現介紹一種在實際計算中常用的部分選主元（即列主列主元元）消去法。列主元消去法即是每次選主元時，僅）消去法。列主元消去法即是每次選主元時，僅依次按依次按列列選取絕對值最大的元素作為主元素，且僅選取絕對值最大的元素作為主元素，且僅交換兩行交換兩行，再，再進行消元計算。進行消元計算。 3.2.4 3.2.4 列主元高斯消去法（續）列主元高斯消去法（續） 40413.2.4 3.2.4 列主元高斯消去法（續）列主元高斯消去法（

37、續） 設有線性方程組設有線性方程組Ax=b，其中設，其中設A為非奇異矩陣。方程組為非奇異矩陣。方程組的增廣矩陣為的增廣矩陣為111211212222112 , nnnlnnnnaaaabaaabaaaba b 然后交換（然后交換（A，b）的第）的第1行與第行與第l行元素，行元素，再進行消元計算。再進行消元計算。 第第1步（步（k=1）：首先在）：首先在A的第一列中選取絕對值最大的的第一列中選取絕對值最大的元素元素al1，作為第一步的主元素，作為第一步的主元素:111max0lii naa 4142設列主元素消去法已經完成第1步到第k-1步的按列選主元，交換兩行，消元計算得到與原方程組等價的方程組 A(k)x=b(k) 第k步選列主元區域3.2.4 3.2.4 列主元高斯消去法（續）列主元高斯消去法（續） (1)(1)(1)(1)(1)1112111(2)(2)(2)(