1、基于 Leslie 矩陣的中國計劃生育政策探討摘要我國是一個人口大國, 人口問題始終是關系著我國發展的關鍵問題, 已成為經濟發展中的一個重要組成部分, 對我國的經濟社會發展有著越來越大的影響, 人口問題也是我國的根本問題 , 可是我國目前人口的發展卻出現老齡化嚴重，男女性別比例失調等不良現象。在本文中，我們首先針對近幾年的人口數據做出了一些簡要的分析，特別是自從2002 年計劃生育政策實施至今，我國的人口自然增長率出現一定的降低，為了考慮其以后的人口發展情況，我們在實行計劃生育政策的情況下對未來人口數量和結構進行一定的預測，并評價其合理性。從種群的方面出發，在種群的Leslie 模型的基礎上，

2、我們將整個中國的年齡按階段分成20組，通過Leslie 矩陣建立起他們的相關關系，我們以最近中國第六次人口普查所得的數據進行研究，通過控制5 年內總生育率的倍數來控制每個夫婦所生孩子的個數，通過多次迭代求解，最終可得到：若我國嚴格采用現行的計劃生育政策，即每個夫婦僅生一個孩子，則 50 年后我國的人口將為5 億左右，可見人口老齡化現象的嚴重。為了提出新的政策，我們通過改變其倍數關系來改變其人口的結構，我們發現當生育率為原總和生育率的倍數為1.8 左右，也即每個夫婦大約生2 個孩子時，從人口數量來看，50年后我國的人數將在10 億左右；而從人口的結構來看，男女比例也接近于1，老少比也比較合適。所

3、以，這應該是一個我們比較容易接受的結果。關于放寬二胎政策的時間，我們通過探索兩個不同總和生育率的相關人口變化情況下，發現在 2015年對計劃生育進行改變，其改變的內容為：在控制人口數量為10 億情況下，在最近50 年里，可以對二胎政策給予一定的放寬。在模型的檢驗中，在現行總和生育率與原總和生育率的倍數為1.8 時，我們通過增大或減小其值時，其效果都不是往老齡化方向發展就是往人口數量急劇上升的方向發展，所以，我們就認為其值為1.8時，在未來50年內，其效果是最好的。關鍵詞：計劃生育，Leslie矩陣，人口老齡化，總和生育率，二胎政策目錄一、問題重述1二、問題分析12.1 關于人口數量與結構的分析

4、12.2 二胎政策相關問題的分析3三、模型的建立與求解33.1 模型的假設33.2 符號的定義43.3 基于Leslie 的矩陣模型建立53.3.1 Leslie 種群模型的介紹53.3.2 基于Leslie 矩陣的人口模型 63.4 模型的求解63.4.1 存活率s的求解 73.4.2 生育率的確定73.4.3 Leslie 矩陣的確定及模型求解9四、模型的分析114.1 實施當前計劃生育政策的分析114.2 a值對人口年齡結構的影響 124.3 人口政策的分析154.4 人口政策的建議15五、模型的評價165.1 優點 165.2 缺點 16六、模型的檢驗16七、參考文獻17問題重述我國是

5、一個人口大國，人口問題始終是關系著我國發展的關鍵問題 ，已成 為經濟發展中的一個重要組成部分，對我國的經濟社會發展有著越來越 大的影響.0人口問題也是我國的根本問題。我國由于人口基數大，國家實施了計劃生育的政策，雖說人口的自然增長 率較之前有一定的降低，人口的遞增速度也有所減緩。但是，近年來，我 國人口面臨著老齡化進程加速，出生人口性別比嚴重失調，以及鄉村人口 城鎮化等不良現象。所以很有必要利用現有的相關人口統計數據，在當前 計劃生育政策實施的情況下，通過建立數學模型來研究我國人口在結構及 數量上在近階段的變化情況，并對其未來情況進行一定的預測，以適應整 個中國國情與經濟的形勢.同時，還需要我

6、們分析現行人口政策的優缺點， 同時，為了解決上述人口結構的一些的問題，我們也還得考慮是否需要對 該政策進行一定的改變來改善我國人口老齡化，男女比例失調等現象。從 而使我國人口向一個比較樂觀的方向發展。二、問題分析2.1 關于人口數量與結構的分析隨著人們生活水平和社會醫療水平的提高，我國人口的平均壽命顯著變 長。在人口的數量和結構上，根據表一的相關數據顯示：表一：我國人口年齡結構數據表格年份總人口（年末）按年齡組分總撫養比少兒撫養比老年撫養比（萬人）0-14歲15-64歲65歲及以上(%)(%)(%)人口數人口數人口數19821016543414662517499162.654.68.01987

7、1093003134771985596851.843.58.319901143333165976306636849.841.58.319951211213221881393751048.839.69.219961223893231182245783348.839.39.519971236263209383448808548.138.59.719981247613206484338835947.938.09.919991257863195085157867947.737.510.220001267432901288910882142.632.69.920011276272871689849906

8、242.032.010.120021284532877490302937742.231.910.420031292272855990976969242.031.410.720041299882794792184985741.030.310.7200513075626504941971005538.828.110.7200613144825961950681041938.327.311.0200713212925660958331063637.926.811.1200813280225166966801095637.426.011.3200913345024659974841130736.925

9、.311.6201013409122259999381189434.222.311.9從表一中，我們可以看出，自 2002年實施計劃生育以來，我國人口變化有如下特點： 人口的數量持續增加，到 2010年底，我國的人口達到13.4億，這與我國的人口基數大這一點是分不開的。我國的老年人比重逐漸增加，少兒的比重逐漸降低，而總撫養比重卻出現降低，這充分說明了我國人口老齡化但勞動人口增加的現象。所以，在本文中，我們將通過2010 年的人口數量及結構的相關數據，基于 Leslie 模型 【 2】 ，結合中國當今的人口情況，對其作一定的改進與分析，最終對未來時間的人口數量以及年齡結構進行一定的預測與分析。2

10、.2 二胎政策相關問題的分析所謂二胎政策，是指農村戶口的話，頭一抬是女的就可以生第二胎，但是前提條件是年滿28 周歲的夫婦，否則兩胎要相隔四年才能生第二胎，如果頭一抬是男的，無論是什么戶口，則只能生一胎。所以，如果考慮是否需要全面實施二胎政策，則需要我們從原來的計劃生育政策中改變一定的條件，也即是要我們探究在基本保持人口增長速度保持較慢的情況下，使人口的男女性別出現均衡以及老齡化的進程得到減緩。所以，我們將會對上述所建立的數學模型作一定的參數修正，同時也用其對未來近幾年進行一定的預測。并能使其達到相關的預期目標。通過對其所得相關結果給予一定的分析與討論，我們將從中對該政策是否實施、什么時候實施

11、以及怎么實施給予最終的結果。三、模型的建立與求解3.1 模型的假設1. 假設沒有重大的自然災害，政府的政策沒有重大的變化以及醫療水平基本保持不變。2 .所研究的人口沒有太大的遷出與遷出，且基本相等。3 .我國人口數量主要取決于出生率與死亡率兩個因素。4 .短期內人口的生育率與死亡率的總體水平可以視為常數5 .本文參考的所有文獻及資料的所有的數據來源均真實可靠。6 .2符號的定義序號符號含義1表示年份（選定初始年份為 0）2第k年齡組的平均生育率3Leslie矩陣4xi(k),i 1,2,n時刻tk第i個年齡組中人口數目52010年各年齡組的人口分布向量6第i個年齡組的存活率7第i個年齡組的死亡

12、率8所有年齡組的女性人口占同一組的所有人的比例的系數向量9各年齡組的育齡婦女在五年內的平均生育率向量10第k年的各年齡組的人口分布向量11總和生育率7 .3基于Leslie的矩陣模型建立7.1.1 Leslie 種群模型的介紹Leslie模型是一個研究群體的離散模型，對于人這種特殊的群體也同樣適用，而且特別是其考慮年齡結構，所以其顯得比 Logical等其他群體的模 型更具有優越性。我們將群體按年齡的大小等間隔的分成n個組，討論其在不同時間年齡的分布，對時間加以離散化，其間隔也必須與年齡組的間隔相同。設某生物種群的最大生存年齡為l （年），我們將其按年齡的大小區間0,l分為n等分，可得到n個年

13、齡間隔為的年齡組，即有n對于第i個年齡組ll,設其存活率為s ,生育率為b, 一個年齡組的 n n變化時間為1,則有當時間從t 1至h的過程中，顯然有 nxi（t+i）= Kt）i=013.1）X（t+1）=SiX（t）,i=1,2,L ,n-1其中若計矩陣L為 則"式可寫為(3.2)X(t 1) LX(t)(3.3)當L,X（0）均已知時，當t 1,2,3，n時，通過多次迭代，則不難得到X(t) LnX(0) 其中若（3.2）式中的元素滿足si0,i=1,2,L ,n-1;則稱矩陣 L 為 Leslie 矩陣。所以只要已知Leslie矩陣和初始時間種群年齡組的分布向量，就可以求 出

14、以后各時間t的種群年齡組的分布向量。7.1.2 基于 Leslie 矩陣的人口模型按照每五歲一個年齡組，我們將0-99 歲分為 20 個組，即0-4 歲為第一個年齡組，5-9歲為第二個年齡組，10-14歲為第三個年齡組，把95-99歲為第 20 個年齡組，而100 歲及 100 歲以上分為第21 個年齡組。在這里，我們引入實數a,并設實數a為未來年份的生育率與現在種群的生育率之比， 并且 a (0.8,1.9) , 很顯然 , 在平均生育率一定的情況下, 我們可以通過改變 a 值來改變每個夫婦所生的孩子的個數. 而且 a 的值大概等于每對夫婦 所生的孩子的數除以總和生育率，各年齡組的育齡婦女在

15、五年內的平均生育率向量實際上應該為b a bi,b2,L b2i To把t階段全部存活的新生兒全部劃分到 t 1 階段的第一年齡組，并設各年齡組人口在 5 年時間里的存活率向量為S Si£,L際二而且t階段第k 1年齡組人存活到第t i階段就是第k年齡組的人(k 1,2,.20) ，且第 21 年齡組的人五年后存活下來的仍然屬于第21 年齡組。 根據我們前面敘述的Leslie 種群的模型應用于這21 個年齡組， 則必滿足21x1(t+1)=ackbkxk(t)3.4)k=1xk(t+1)=sk-1xk-1 t-1x21(t+1)=s20x20(t)+s21x21(t)8 .4 模型的

16、求解我們以2010年中國第六次人口普查的相關數據來獲取L矩陣以及X(0),由于我們以每5 歲作為一個年齡組，所以也必須以每五年作為一次人口數量及年齡結構的相關推測，通過控制a 值的大小來控制當今我國適齡夫婦的生育孩子個數, 實質上其對應的也是計劃生育的政策, 然后通過改變a 值來討論這個相應的人口結構的變化,. 除此以外，我們還得對存活率進行一定的求解.下面,我們對這些參數進行一一求解8.1.1 存活率s的求解根據死亡率的相關定義及微分的相關思想，則有,Ui)Xi(t)(3.5)對該公式兩邊進行全微分運算，則有dXkUkXk (3.6)dt對該微分方程(3.6)進行整理,并對其兩邊求定積分,則

17、有(3.7)(3.8)sk ds5i T 0 1出 s所以，可以解得五年的平均成活率為5ukSke8.1.2 生育率的確定根據全國第六次人口普查的結果，我國各年齡組的人口總數，女性比例，年 均生育率的數據如下表所示表二2010年第六次全國人口普查相關數據記錄表格編號年齡組年均死亡率%。人口總數X(0)女性人口女性比重C年生育率%。10-4歲1.292577222937352493950.45646276025-9歲0.300770449638322126450.457243580310-14歲0.299377144787357763440.463755820415-190.3877104380

18、676504026290.482873186.16歲520-24歲0.5039124144390618956670.4985780486.61625-29歲0.607599847689495213280.4959686996.58730-34歲0.810798630105483083870.4897935350.29835-39歲1.161121046434590991360.4882352519.84940-44歲1.7559123217058603886990.490100157.571045-49歲2.6112100540459493163180.490512165.781150-54歲

19、4.181880681808393136300.4872675901255-59歲6.185779916406395152880.4944577701360-64歲10.307156869341279090510.4907574201465-69歲17.206440430322199658300.4938330701570-74歲30.639132626699164334250.5036802801675-7949.523523477629123645010.526650330歲1780-84歲84.80921275456271366130.5595341501885-89歲127.42545

20、38716832942510.6114995901990-94歲190.782114653849737920.6645302502095-99歲217.10363442092343760.68091189021100+454.34536283270750.746217240當第k組的育齡婦女的年平均生育率為fk時，則五年的平均生育率就是bk 5fk.計算可得以五年為一個單位時間的人口存活率和平均生育率向里.所以，由上表中的數據可得：其中平均生育率向量為B 0,0,0,0.0308,0.4330,0.4829,0.2514, 0.0992,0.0378,0.028900,0,0,0,0,0,0,

21、0,0,0而其存活率的向量為Sk=0.9936,0.9985,0.9985,0.9981 , 0.9975,0.997,0.996,0.994 0.9695,0.9498,0.9176,0.858,0.7807,0.6544,0.5288,0.38528.1.3 Leslie矩陣的確定及模型求解由于在前面我們已將存活率向量以及生育率向量給出，所以我們可以很容易的得到Leslie矩陣，再通過公式（3.4）編程，在MATLABF經過多次迭代運算對其進行一一進行求解.可知在2010年的總和生育率R =1.364,為響應計劃生育政策時，也即每對夫婦僅生一個孩子，此時我們需將實數a值設為0.8,也即此時

22、以總和生育率a ? R的值約為1,這樣，我們則可以求得結果如下表三實施現行計劃生育政策的未來人口變化趨勢表格年份人口總數（萬）女性人口總數（萬）0- 14 歲(萬)15-64 歲(萬)65歲以上（萬）2015124520.03160993.3564520596.007689162.7399714761.283412020114524.410756269.3608119164.428679930.9513815429.030732025102224.796650296.8947416139.343571677.6659514407.78713203093154.3817746052.975441

23、3951.541563319.7356315883.10461203583030.5123441230.6459811655.969655449.4525515925.09014204072676.1036236103.0845610003.432548031.699814640.97133204565233.2404832516.045098925.0429342498.4872813809.71028205057261.4417328650.663467902.4474237032.1706512326.82366205549639.9123924855.156846853.7232331

24、238.8534611547.33571206044006.5335622089.214185878.6713727111.6495711016.21261借助表三的數據,我們由式（3.9）,式（3.10）進一步計算老少比和負擔老年系數負擔老年系數65歲以上的人口數15-64歲以上的人口數(3.9)(3.10)老少比=65歲以上的人口數 /- 0-14歲的人口數表四 實施現行計劃生育政策的未來人口結構變化年份負擔老年系數老少比男女人口比20150.1655543940.7167061.041520200.1930294890.8050871.035320250.201008040.892712

25、1.032420300.2508397181.1384481.022820350.2872001331.366261.013820400.304818931.4635951.01320450.3249459261.5472991.006220500.3328679751.5598740.998620550.3696465921.6848270.997220600.4063276411.8739290.9922四、模型的分析4.1 實施當前計劃生育政策的分析為了讓表三和表四的數據更加的直觀化，以便于更好的進行計劃生育政策 該不該改變的分析，我們將人口總數，老少比，男女比例，以及負擔老年系 數分別

26、對時間作圖，通過其整個過程中的相關變化，我們來從這幾方面來 對當前實施的計劃生育政策進行評價 .圖一圖二圖三圖四從圖一 , 圖二 , 圖三 , 圖四中 , 我們可以很直觀的看出實施當前計劃生育政策的優缺點:.缺點 :1. 當我國嚴格的執行現行的計劃生育政策時, 也即嚴格控制一對夫婦僅生一個孩子, 可得其人口總數顯著減少, 且當時間到2060 年時 , 人口將不到五億 , 由此可見, 人口的趨勢明顯出現衰退情況.2. 從老少比的變化趨勢來看, 其比值隨時間的變化是單調遞增的, 所以人口的老齡化越來越嚴重,3. 從負擔老年系數來看, 它也隨時間呈現單調遞增的變化, 這一趨勢說明了中青年的負擔會越來

27、越重.優點 :1. 從性別的比例來看, 男女的性別比隨著時間的變化是逐漸接近于1 的 , 這也是我們所要希望達到的一個狀態.綜上來看, 當我國嚴格執行計劃生育政策時, 從數量上來講, 人口的數量大大的減少, 雖然說起到了計劃生育控制人口增長的目的, 但是其抑制的程度還是過于太大, 而從結構上來講, 老齡化的現象越來越嚴重, 不但改善人口老齡化的進程, 反而加速了人口的進一步老齡化, 總的來說, 人口在未來的幾十年中是呈現一個衰退型的, 所以 , 這是極其不利于中國未來人口發展的 , 所以說 , 計劃生育政策對未來人口的發展弊大于利, 所以必須加以改進.4.2 a值對人口年齡結構的影響從上述分析

28、中可以看出, 人口的發展趨勢不是很樂觀, 為了讓其得到一定的改善 , 我們將通過改變a 值來改變整個人口的數量以及整個人口的結構.我們不妨假定每對夫婦生兩個孩子, 同樣在原總生育率R =1.364 的情況下由此可計算得a值的大小應該為1.8左右，在此情況下，我們也用上述方法 對其進行同樣的求解運算，可得其結果應該為表五所示：表五 每對夫婦生兩個孩子所對應的人口變化趨勢年份人口總數（萬）女性人口總數（萬）0-14 歲（萬）15-64 歲（萬）65歲以上（萬）2015131919.121164370.7655527995.097789162.7399714761.283412020128944.7

29、72462857.4591133584.790379930.9513815429.030732025122398.976159564.4444836313.52371677.6659514407.787132030116864.546657096.8532331390.968469590.4735115883.104612035110020.592355518.2277126393.802467701.6997315925.090142040105080.47853559.2481725268.269565171.237214640.971332045103926.821251922.5375

30、527957.253662159.8573713809.710282050102445.357951092.3937231099.838459018.6958412326.823662055100273.21249920.9190931301.287257424.5891411547.33571206097481.7986648607.9851328636.890857828.6952111016.21261由上述數據，我們同樣對這些參數做出求解，可得表六的內容表六每對夫婦生兩個孩子時未來人口變化趨年份負擔老年系數老少比%男女人口比20150.1655543940.5272811.049364

31、20200.1930294890.4594051.05138420250.201008040.3967611.054920300.2282367660.5059771.04677720350.2352243770.6033651.0087220400.224653880.5794211.00862620450.2221644460.4939581.00157420500.208863030.3963631.005120550.2010869540.3689091.00864120600.190497340.3846861.005469同樣的，我們也分別用上述值對年份進行圖五作圖，則有圖六圖七圖

32、八從圖五，圖六，圖七，圖八來看1 .人口的總體數量較2010年要低，且隨著時間的推移，人口在2040年后趨 近于10億左右.這也是一個我們所要要求達到的效果.2 .人口的老少比隨時間的變化是呈現先單調下降，再單調上升直至達到一個最大值，此時再出現下降的情況.而且其最大值為0.6左右，較a 0.8的 情況要低得多.3 .人口的性別比也是逐步接近于1,且離數1越來越近，這也是我們所渴求的狀態.4 .人口負擔系數較a 0.8時也要小得多.所以，我們可以得出如下的結論隨著a值的增大，人口的總數呈現一個比較健康的態勢，其數量比較滿足當今未來人口的發展趨勢，而更重要的是，人口的年齡結構以及性別結構愈 來愈

33、合理，特別是老少比以及負擔系數均不是很大，也即人口的老齡化現象非常輕微，綜上來看，整個人口的變化趨勢是屬于一個穩定型的.但是a值并不是越大越好，a值太大，反而會出現一個相反的情況4.3 人口政策的分析從上面的分析可以看出, 在控制人口增長政策時要多方面考慮, 如果只看重多人口總數的控制, 嚴格實行當前的計劃生育政策, 可能導致嚴重的社會老齡化, 勞動力不足這種嚴重的社會現象. 如果為了防止社會老齡化加快 , 全面放開二胎政策, 放任人口的增長, 也會導致社會人口過多對資源和環境的壓力. 因此要制定正確的人口政策才能使國民經濟持續增長, 人民生活水平不斷提高.4.4 人口政策的建議從上面的一些分析來看, 結合我國的整個人口增長的情況, 提出對我國人口發展的一些相關性人口政策建議我們針對人口未來的情況提出了比較新的生育政策:在實施計劃生育政策的同時, 逐步放開二胎政策, 也即一對夫婦最好生育兩個孩子. 同時穩定整個相對比較低的生育水平.從圖五 , 圖六 , 圖七 , 圖八等圖解來看, 圖中在2