1、導數及其應用類型一：沒有其他未知字母情況下，求單調性，極值，最值例1：設函數f(x) x3 ax2 9x 1(a p 0).若曲線y=f (x)的斜率最小的切線與直線I2x+y=6平行，求：(I) a的值；(n)函數f(x)的單調區間.解：(I ) a3油題設a 0,所以a 3.32(n )由(I)知 a 3,因此 f (x) x 3x 9x 1,f (x) 3x2 6x 9 3(x 3(x 1) 令f (x) 0,解得：x1 1,x2 3.當x ( , 1阿，f (x) 0,故可刈在(，1)上為增函數； 當x ( 1,3時,f (x) 0,故f(x)在(1,3)上為減函數； 當x (3,+

2、)時，f (x) 0,故f(x)在(3,)上為增函數.由此可見，函數f(x)的單調遞增區間為(，1)和(3,);單調遞減區間為(1.變式訓練1 ：設函數f(x) x4 ax3 2x2 b(x R),其中a, b R .10 (i)當a 一時，討論函數f(x)的單調性； 3(n)若函數f (x)僅在x 0處有極值，求a的取值范圍；(I)解：f (x) 4x3 3ax2 4x x(4x2 3ax 4).102當 a 上時，f (x) x(4x 10x 4) 2x(2x 1)(x 2).令 f (x) 0 ,解得為 0, 3111x2x3 2 , f (x)在0, , (2, 8)是增函數，在(00

3、,0), ,2內是減函數.222(n)解：f (x) x(4x2 3ax 4),顯然 x 0不是方程 4x2 3ax 4 0的根.為使f(x)僅在x 0處有極值，必須4x2 3ax 4 0恒成立，即有 9a2 64 0.解此不等式，得8waw8.這時，f(0) b是唯一極值. a的取值范圍是8,-.333 3類型二：結合函數的圖像與性質求參數的取值范圍問題例2：設a為實數，函數f (x) x3 x2 x a。(1)求f (x)的極值；(2)當a在什么范圍內取值時，曲線 yf (x)與x軸僅有一個交點。1解：(1) f (x) 3x2 2x 1 ,若 f (x) 0,則 x 1,13,一，八一1

4、5，一，一所以f(x)的極大值是f 1 a,極小值是f(1) a 1。327(2)函數 f(x) x3 x2 x a (x 1)2(x 1) a 1 o由此可知x取足夠大的正數時，有 f(x) 0, x取足夠小的負數時，有 f (x) 0 ,所以曲線y f(x)與x軸至少有一個交點.結合f (x)的單調性可知：當f(x)的極大值 3 a 0,即a , 2 時，它的極小值也2727因此曲線y f (x)與x軸僅有一個交點，它在 (1,)上;當f(x)的極小值a 1 0時，即a (1,)上時，它的極大值也小于0, y *)與*軸僅一個交點，它在，1上。當a35.一 U(1,)時，y f (x)與x

5、軸僅有一個交點。27變式訓練2:.已知函數1 ,因為函數f(x)x441 439 2f(x) x x xcx有二個極值點。證明： 27 c 5;42x3 9x2 cx有三個極值點，所以f (x) x3 3x2 9x c 0有2322二個互異的頭根.設 g(x) x 3x 9x c,則 g (x) 3x 6x 9 3(x 3)(x 1), 當x 3時，g (x) 0, g(x)在(，3)上為增函數；當3 x 1時，g (x) 0, g(x)在(3,(1) 減函數；當x 1時，g (x) 0, g(x)在(1,)上為增函數，所以g(x)在x3時取極大值，在x 1時取極小值。當g(3) 0或g(1)

6、 0時，g(x) 0最多只有兩個不同實根。g(x) 0有三個不同實根所以 g( 3) 0 且 g(1) 0 ,即 27 27 27 c 0,且13 9c 0 ,解得 c27,且c 5,故 27 c 5.類型三：含字母時，對判別式進行分類討論例3：.已知函數f (x)x3ax2 x 1, a R . (1)討論函數f(x)的單調區間;(2)設函數f(x)在區間212, 1內是減函數，求a的取值范圍.33解：(1) f(x) x3 ax2x 1 求導得 f (x) 3x2 2ax 1當a2 3時,20, f (x) 0, f(x)在R上遞增；當a 3, f(x) 0求得兩根為a a2 3,即f(x

7、)在3a .a2 33遞增,a 、 a2 3 a . a2 3，33減,a a2 33a 、a2 32遞增。(2)3 3 ,且a2 3,解得a 2。a .a2 3133變式訓練3:設函數f (x)2x b ln( x 1),其中 b 0.21 _ .(I)當b 時，判斷函數f (x)在定義域上的單調性；(II)求函數f(x)的極值點；高&考資(源#網wxc解：(I)函數f(x)x2 bln(x 1)的定義域為1,f(x)2x x 12x2 2x b5x 1高造資(源#網wxc令 g(x)2x2 2x則g(x)在1,1，、-上遞減,2g (x)ming( 2)0,g(x) 2x2 2x b0在1

8、,上恒成立.f (x)0,即當,1 , b萬時，函數f (x)在定義1,上單調遞增。(II )分以下幾種情形討論:(1)(I)知當1 5時函數f (x)無極值點.(2)f,(x)1,時，f (x)0,1,時，f(x) 0,2時,函數f (x)在1,上無極值點。(3)f (x)0得兩個不同解高&考資(源#網wxc x11 J 2b2x2x11 ,1 2b21.1 2bx1，x21,?21,f (x)在1,唯一的極小值點x21,，高&考瀚(源#網wxc f (x)在1,x1,x2,都大于 0 , f (x)在(x1,x2)此時f(x)有一個極大值點x11,1 2b _和一個極小值點2x2綜上可知，

9、b 0時，f(x)在 1,上有唯一的極小值點X2i ,r-2bc -10 b 時, 2一11 2bf (x)有一個極大值點 X1 和一個極小值點 X22,1 , /一，一b萬時，函數f (x)在 1, 上無極值點類型四：含字母時，對導函數的零點以及區間的位置進行分類討論1 Q 。一例 4：已知函數 f(x) - x ax bx,且 f( 1) 0 3(I)試用含a的代數式表示 b; (n)求f(x)的單調區間；w.w.wks.5.u.c.o.m:解：(I)依題意，得b 2a 1一1。 C(2 a 1)x (n)由(I)得 f (x) -x3 ax23故 f (x)x2 2ax 2a 1 (x

10、1)(x 2a 1)令 f*( x) 0,則 x1 或 x 1 2a當a 1時，1 2a 1由此得，函數f(x)的單調增區間為(,1 2旬和(1,)，單調減區間為(1 2a, 1)由a 1時，1 2a 1，此時，f (x) 0恒成立，且僅在x 1處f (x) 0 ,故函數f (x)的單調區間為R當a 1時，1 2a 1, f(x)的單調增(，1)和(1 2a,)，單調減區(1,1 2a)綜上：當a 1時，函數f (x)增區間為(，1 2a)和(1,),單調減區間為(1 2a, 1);當a 1時，函數f(x)的單調增區間為 R；當a 1時，函數f(x)的單調增區間為(，1)和(1 2a,)，單調

11、減區間為(-1.1-2a)變式訓練4：已知a是實數，函數f (x) x2(x a)(1)若f(1) 3,求a的值及曲線y f (x)在點(1,f (1)處的切線方程；(2)求函數y = f (x)在區間1 ,2 上的最小值。解：(1) f (x) 3x2 2ax,因為 f(1) 3 2a 3,所以 a 0.又當 a 0 時，f(1) 1, f (1) 3, y f(x)在(1, f(1)處的切線方程為 3x y 2 0.2 . .一(2)設最小值為 m, f/(x) 3x2 2ax 3x(x a),x (1,2),3當a 0時，f/(x) Qx (1,2)，則f(x)是區間1,2上的增函數，所

12、以m f (1) 1 a；2a .2當a 0時，在x 0或x 時，f (x) 0,從而f (x)在區間a,)上是增函數；33, 2a / 2 一 一 在0 x 一時，f (x) 0,從而f(x)在區間0, a上是單減函數33小2 一一當一a 2 ,即a 3時，m3a 3時,.一 2c r 3f (2) 8 4a ；當 1 a 2 ,即一324a_ ,3 ,.一；當 0 a 一時，m f (1) 1 a.272則函數的最小值ma,(a 2)4a33-2, 23)切線方程；(2)若x a,3a時，f (x)0恒成立，求a的取值范圍。解：(1)設切線斜率為k,則k2f (x) x 2x 3當x 1時

13、，k取最小值-4 ,20 一 一 .、一又f (1)20,所以，所求切線方程為320 y T4(x 1),即 12x 3y 8 0(2)由 f (x) x2 2x 3 0 ,解得：x1或 x 3。函數f (x)在1和3, 上是增函數，在 1,3上是減函數。所以0 a 3a 3 一或f (3a) 00 a 3 3a 或f(3) 0a 3解得a 6 f(a) 04(2a), (a 3)題型五、恒成立問題3例 5.設函數 f (x) x2 3x 3a(a 0) o3如果a 1,點P為曲線yf (x)上一個動點，求以 P為切點的切線斜率取最小值時的變式訓練5：已知函數f (x) x3 3x2(1)若y

14、 f (x)在區間2 m 1,m 1上是增函數，求實數 m的取值范圍;(2)若為？2 1,1,求證：| f (不)f (x2)| 4 .解：(1) f (x) 3x2 6x3x(x 2),令 f (x)0 即 x(x 2) 0 x 0或x2f(x)的增區間為(，2和0,).Q f (x)在區間2m 1,m 1上是增函數,2m 1,m 1 (, 2或2m 1,m 1 0,)；2m 1 02m 1 mm2m 1 m 1f (x) 3x2 6x3x(x 2) 0 x 0或 x2, Q f(0) 0, f( 1) 2, f(1) 4,f (x)在區間-1,1上的最大值M為4,最小值N為0,故對任意 X

15、1,X2 1,1,有 |f(X1)f(X2)|題型六、導數解決不等式問題例6.對于函數f x - x3 -x2 a2x a32(1)若函數f x在x2處的切線方程為y7x20 ,求a,b的值;(2)設X1,X2是函數f(x)的兩個極值點，且X1X22,證明:4、39解：(1)由切點為 2, 6 ,2.ax bxa o3 b o226 2 2 a32_2-27 a 2 b 2 a解得a3,b(2)由題，x1、x2是方程2 axbx0的兩個根,X2b,KX2 aa 0可得兩根一正一負，不妨設Xi0, X20,XiX2X2Xi2,2X2X1X2Xi24XiX2bl2 a4ab24at a2 4 4a

16、4a24a3,其中a0.t 8a 12a212a舍去2,當0 3r 2當a 一時，t30.所以當2a 一時,3tmax162716274.39變式訓練6:已知函數f(x)ln(x 1)ln(x1)題型七、以函數為模型運用導數解決應用問題2: 1,例7.用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少?18 12x3解：設長萬體的范為 x (m),則長為 2x (m),圖為h 4.5 3x(m)0x-.42故長方體的體積為V x 2x2 4.5 3x 9x2 6x3 m30 x -22 ,從而 V (x) 18x

17、 18x (4.5 3x) 18x(1 x).令V x 0 ,解得 x 0 (舍去)或 x 1 ,因此x 1.3當0 x 1時，V x 0;當1 x 時，Vx 0,故在x 1處V x取得極大值，并 2且這個極大值就是 V x的最大值，從而最大體積 V Vx 9 12 6 13m3,此時長方體的長為2 m,高為1.5 m變式訓練7:某公司為獲更大收益，每年要投入一定資金用于廣告促銷，經調查，若每年投廣告費t (百萬元)，可增加銷售額約為t2 5t (百萬元).(0 t 5).(1)若公司將當年的廣告費控制在3百萬元之內，則應投入多少廣告費才能使公司由此獲得收益最大？(2)現公司準備共投入 3百萬

18、元分別用于廣告促銷和技術改造，經預測，每投入技術改進費1 32x百萬兀，可增加銷售額約-x x2 3x百萬兀.請設計一種資金分配萬案，使該公司由此3獲得最大收益.(注：收益=銷售額成本)解：(1)設投入廣告費t百萬元，則收益 y t2 5t t (t 2)2 4(0 t 3) ot 2時，ymax 4 .，應投入2百萬元廣告費，由此獲得收益最大。1(2)投入廣告費(3 x)百萬兀，則收益y 1 x3 x2 3x (3 x)2 5(3 x) 31 3-x3 4x 3(0 x 0,函數f(x) x3 ax在1,上是單調增函數則 a的最大值是( D )A 0B、1C 2D 31 o43.曲線y 1x

19、3 x在點(1,4)處的切線與坐標軸圍成三角形面積為( A )33A、4 .若函數f (x)a(x3 3x)的遞減區間為(一1,1 ),則a的取值范圍( A )A、a0B、- 1a1Dk 0a15 .設P為曲線C:2x 2x3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為則點p橫坐標的取值范圍為1,6 .已知a為實數，函數f (x)323x ax x2(1)若函數f (x)的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍;(2)若 f (f(x)323x ax x23r-af (x)2c 2 c33x 2ax 2由題意知f (x)0有實數解.9 Na2(2) f ( 1) 03 2a I43.224

20、0得Xi3 3 03x22).一一 2 一f (x) 3x2 2ax2 3(x1),令 f (x)12,X21.25149當 x 1,0時，f( 1) 25, f( 1) 49, f(0) 821627 _149 f(x)max f(0)27, “3訪 f(力 49.8216278故 X1,X2 1,0時，|f(X1) f (X2) | f(x)maxf(x)min.所以165 rr一，即m的最小161) 0 ,對任意x1,x2 1,0,不等式| f(x1)f(x2)| m恒成立，求m的最小值.5值為.167 .已知函數f (x) x b的圖像與函數2g(x) x 3x 2的圖象相切，記F(x) f (x)g(x).(1)求實數b的值及函數F (x)的極值；(2)若關于x的方程F (x) = k恰有三個不等的實數根，求實數 k的取值范圍.解：(1)依題意，令 f(x) g(x),得1 2x 3,故x 1函數f(x)的圖像與函數g(x)的圖象的切點為(1,0),將切點坐標代入函數f(x) x b可得b 1(或：依題意方程f(x) g(x