1、1證明不等式的基本方法比較法比較法2方法綜述比較法是最原始，也是最常用的證明不等式的方法比較法是最原始，也是最常用的證明不等式的方法.作差比較作差比較 直接作差直接作差 平方作差平方作差 取對數作差取對數作差 作商比較作商比較(同號的時候才能用同號的時候才能用)作差后常見的處理方法：作差后常見的處理方法：配完全平方配完全平方因式分解因式分解有理化有理化分類討論分類討論3比較法證明不等式.,.).(.)()(.bnamnbmanmnmbabaabbbaababdacdcbabcad，證證明明且且都都是是正正數數若若，求求證證已已知知，求求證證已已知知題題組組134621122422422222.

2、,.sinsinsinsin,.mnnmnmnmbababanmbayxyxRyxbaaccbabcabccba求求證證已已知知，求求證證已已知知，求求證證若若題題組組000061542222222.,33442233222abbabaabbabaabababbanm常見的不等式：常見的不等式：取特殊值，可得到以下取特殊值，可得到以下對對4. )(log)(log.,.log)(log,.,.)()( ;)(,.)(xxxaaaaacbacbacbaabbabababaaaaabaaccbcbababaabba111010101298217312222求求證證：設設求求證證：已已知知是是正正數

3、數，求求證證已已知知是是正正實實數數，求求證證已已知知題題組組5證明不等式的基本方法綜合法、分析法綜合法、分析法6方法綜述常利用分析法找思路，綜合法表述，或分析綜合結合常利用分析法找思路，綜合法表述，或分析綜合結合運用運用“添添”、“拆拆”、“并并”等代數變形技巧，靈活等代數變形技巧，靈活使用一些常用不等式使用一些常用不等式關注關注“1”這個常見條件這個常見條件1、運用拆、并項等技巧，湊成能運用基本不等式的形式。2、熟悉一些已證過的常用不等式形式：cabcabcbaabbaababbaabbaabbaabbababaababbaabbaaa222222222222502020024421223

4、0201)()(),(),(,)( ,)(,2)( ;)(;)(及及其其變變式式：）的的變變式式：7).(,.).(,.,.,.).()()()(,.,.)()(,.)(zxyzxyzcbaybacxacbRcbaRzyxcbaabccbacbannnaccbbacbabaccabcbacbaRcbaabccbaaccbbacbaaaaaaaRaaannnn2171634015011114213012211111142224442222333222222212121求證：求證：已知已知求證求證為互不相等的實數為互不相等的實數已知已知求證求證已知已知求證求證已知已知求證求證已知已知求證求證已知已

5、知求證求證且且已知已知課本習題課本習題題組題組8.:,.).()( ;)(:,.)( ;)( ;)(:,.34111203231119313323111185222222bacbacbaabccbacbaabcacbbcacbacabcabRcbacabcabcbacbacbaRcba求求證證滿滿足足已已知知實實數數求求證證且且已已知知求求證證且且已已知知題題組組*與“1”有關的證明9證明不等式的常用技巧放縮放縮10方法綜述常見類型常見類型 1、添項或減項的、添項或減項的“添舍添舍”放縮放縮 2、函數的單調性放縮、函數的單調性放縮 3、重要不等式放縮（包括基本不等式、真分數性質）、重要不等式放

6、縮（包括基本不等式、真分數性質） 4、利用二項式定理進行放縮、利用二項式定理進行放縮 5、拆項對比的分項放縮，如：、拆項對比的分項放縮，如：122211111121121111111nnnnnkkkkkkkkkkkk!,)(!,)(,)(1、放縮成等比數列或可裂項求和的數列2、適當調整從第幾項開始放縮3、注意放縮的幅度11*).()()()().(.)()(, )(.,.,.NnnnnSnnnnScbacacababaRcbacaddbdccacbbdbaaRdcbann12121151131111185421211322132211122222求證：求證：上海上海求證：求證：設設求證：求證：

7、若若求證求證已知已知題組題組添、減項放縮12.,)()(*).(,)(,),(),(),(.)(.)(.),(.2321110821312111127411212519164321131211121522111122221112222 nnnnnnnnnnnnnnnTSSSTSPxNnxxxPPxPxxyPnyxPyxPyxPxoynnnnnnnnn求求證證：的的面面積積為為設設圓圓是是等等差差數數列列；求求證證：數數列列且且若若又又彼彼此此外外切切與與圓圓且且圓圓軸軸都都相相切切為為圓圓心心的的圓圓與與以以點點的的圖圖象象上上位位于于函函數數點點對對每每個個非非零零自自然然數數平平面面上上有

8、有一一系系列列點點在在求求證證求求證證求求證證題題組組放縮成裂項求和13放縮成等比數列 ).(,)(.)().(,)(.)(,)(;)();(_,)(.,.,.124124524511816251115545553212142102112931111111111113221nnnnnnnnnnnnkknnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSnnbSabbaafaaaxxxfxxxxxxxxnbaxbabbbabaxbanaaaaaaa時時求證：當求證：當項和項和的前的前為為記記滿足滿足設數列設數列的大小，并說明理由的大小，并說明理由與與比較比較滿足滿足設正項數列設正項數列已知函數已知函

9、數求證：求證：；個更接近于個更接近于中哪一中哪一與與并說明并說明小小另一個比另一個比大大中一個比中一個比與與求證：求證：表示表示試用試用，不必證明，不必證明、填填時時填空當填空當滿足滿足、已知數列已知數列證明證明已知已知題組題組14二項式定理放縮 .:)()(.,*:.*.24225216166114121331121241122122nnanaanananNnananaanNnnnnnnnnnnnnn時時，在在證證明明的的通通項項公公式式；求求數數列列時時，有有且且在在滿滿足足列列已已知知各各項項均均為為正正數數的的數數，求求證證：的的通通項項數數列列，都都有有求求證證：對對一一切切題題組組

10、15證明不等式的常用技巧換元換元16方法綜述的常見類型的常見類型).(tan,tan,tan)(;cottan)(;sincos)(;sin,cos)()( ;sin,cos)(;sin,cos)( CBACzByAxxyzzyxxxxxxxrbyraxrbyaxkrryrxkyxryrxryx，可可設設若若或或，可可設設對對于于或或，可可設設對對于于，可可設設若若，可可設設若若，可可設設若若6151430212222222222222：在對稱式：在對稱式(任意互換兩個字母任意互換兩個字母,代數式不變代數式不變)和給定字母順序和給定字母順序(如如abc)的不等式的不等式,可以增量進行可以增量進

11、行代換代換,代換的目的是減少變量的個數代換的目的是減少變量的個數, 使問題化難為易使問題化難為易,化繁為簡。化繁為簡。 17三角換元.|,.|),(,.:),(.20383417200161314915522222222222222bababaRbaRrbdacRrRdcrbadcbayxyxyxM求求證證：已已知知求求證證：，都都是是實實數數，且且已已知知上上，求求證證在在橢橢圓圓已已知知點點題題組組增量代換.:,.:,.11naaaaaacbacbaRcbacacbbacbann11203111941118622222222 求證求證已知已知求證求證且且已知已知，求證：，求證：已知已知題組題組18證明不等式的常用技巧構造構造19方法綜述構造函數證明不等式構造函數證明不等式構造函數構造函數探討函數的單調性或最值探討函數的單調性或最值轉化轉化為不等式證明為不等式證明能化成同一代數結構的，抽象為一個函數的不同能化成同一代數結構的，抽象為一個函數的不同函數值函數值兩個變量的，考慮主元思想兩個變量的，考慮主元思想構造向量構造向量yxyxyxyxyx20構造函數mc