1、等腰三角形典型例題練習(xí)（含答案）等腰三角形典型例題練習(xí)3 / 104.在4ABC中，AD是/ BAC的平分線,參考答案與試題解析E、F分別為 AB、AC上的點(diǎn)，且 Z EDF+ ZEAF=180 °,求證考點(diǎn)：DE=DF .全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義.分析:解答:過D作DM LAB ,于M , DN LAC于N,根據(jù)角平分線性質(zhì)求出 DN=DM ,根據(jù)四邊形的 內(nèi)角和定理和平角定義求出 / AED= / CFD ,根據(jù)全等三角形的判定 AAS推出 EMD AFND 即可.證明：過D作DM ±AB，于M , DN LAC于N ,即 / EMD= / FND=90

2、°, AD 平分 / BAC , DM ±AB , DN ±AC , DM=DN （角平分線性質(zhì)）,/ DME= / DNF=90 °, / EAF+ / EDF=180 °,/ MED+ / AFD=360 - 180 =180°, ZAFD+ Z NFD=180 °, . . / MED= / NFD ,在EMD和4FND中 fZMED=ZDPN ZDIE=ZDNF , .EMDAFND, . DE=DF .DM=DN5.在ABC中，/ABC、ZACB的平分線相交于點(diǎn) O,過點(diǎn)O作DE/BC,分別交 AB、AC于點(diǎn)D、E

3、.請說明分析：根據(jù)OB和OC分別平分/ ABC和/ ACB ,和DE / BC ,利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和等量代換,求證出DB=DO , OE=EC .然后即可得出答案.解答：解：在4ABC中，OB和OC分別平分/ABC和/ ACB ,Z DBO= Z OBC, /ECO=/OCB,. DE/BC, . . / DOB= / OBC= / DBO , / EOC= / OCB= / ECO , .DB=DO , OE=EC , DE=DO+OE , . . DE=BD+EC .6. 已知：如圖，D是ABC的BC邊上的中點(diǎn)，DE LAB, DFXAC ,垂足分別為 E, F,且DE=DF .

4、請判斷ABC 是什么三角形？并說明理由.等腰三角形典型例題練習(xí)（含答案）考點(diǎn)：等腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì).分析：用（HL）證明EBDFCD,從而得出/ EBD= / FCD ,即可證明 ABC是等腰三角形.解答：4ABC是等腰三角形.證明：連接 AD , DEXAB , DFXAC ,/ BED= / CFD=90 °,且 DE=DF ,. D是4ABC的BC邊上的中點(diǎn)，.,.BD=DC ,RtA EBDRtAFCD （HL）, . / EBD= / FCD , .ABC 是等腰三角形.7.如圖, ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長 BC至E,使CE=CD .

5、連接DE.（1） /E等于多少度？ （ 2） 4DBE是什么三角形？為什么?考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定.分析：（1）由題意可推出/ ACB=60 °,/E=/CDE,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知：/ ACB= / E+/ CDE ,即可推出/E的度數(shù)；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，BD不但為AC邊上的高，也是/ABC的角平分線，即得：Z DBC=30 °,然后再結(jié)合（1）中求得的結(jié)論，即可推出 4DBE是等腰三角形.解答：解：（1） .ABC是等邊三角形，./ACB=60°, CD=CE, ZE=ZCDE, / Z ACB= ZE+ZCDE,60*

6、" -30"，（2） . ABC 是等邊三角形，BDXAC, . / ABC=60 °, ZDBC=-ZABC=30" ，/E=30°,，/DBC=/E,ADBE 是等腰三角形./A=30 °.求證：AB=4BD .8 .如圖，在 4ABC中，Z ACB=90 °, CD是AB邊上的高,考點(diǎn)：含30度角的直角三角形.分析：由4ABC中，Z ACB=90 °, / A=30 °可以推出AB=2BC ,同理可得BC=2BD ,則結(jié)論即可證明.解答：解：. /ACB=90 °, /A=30°

7、, .,.AB=2BC , /B=60°.又 CDAB, Z DCB=30 °, . . BC=2BD . . . AB=2BC=4BD .9 .如圖，ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在 AB、AC的延長線上，且 BD=CE , DE與BC相交于點(diǎn)F.求證: DF=EF .考點(diǎn)： 分析：解答:全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).過D點(diǎn)作DG / AE交BC于G點(diǎn)，由平行線的性質(zhì)得 / 1 = Z2, Z4=Z3,再根據(jù)等腰三角形的性 質(zhì)可得/B=/2,則/B=/1,于是有DB=DG ,根據(jù)全等三角形的判定易得 DFGEFC,即可 得到結(jié)論.證明：過D點(diǎn)作DG / A

8、E交BC于G點(diǎn)，如圖，1 = /2, /4=/3,. AB=AC , .1. ZB=Z2,，/B=/1, . . DB=DG ,而 BD=CE , . . DG=CE , 在 DFG和EFC中/DFG =/EFC,ADFGAEFC, . DF=EF Idg=ce10.已知等腰直角三角形 ABC , BC是斜邊./ B的角平分線交 AC于D,過C作CE與BD垂直且交BD延長線 于E,考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).分析：延長CE, BA交于一點(diǎn)F,由已知條件可證得 4BFE全BEC,所以FE=EC ,即CF=2CE ,再通過證明ADBFAC 可得 FC=BD ,所以 BD=2CE .解答：證明：如

9、圖，分別延長 CE, BA交于一點(diǎn)F. BE XEC, Z FEB= ZCEB=90 °, BE 平分 / ABC , / FBE= / CBE , 又,.BE=BE, BFEABCE (ASA). . FE=CE . . CF=2CE .AB=AC , Z BAC=90 °, ZABD+ / ADB=90 °, / ADB= / EDC, . / ABD+ Z EDC=90 °.又. / DEC=90 °, Z EDC+ Z ECD=90 °, . . / FCA= / DBC= / ABD .ADBAAFC. FC=DB , .

10、. BD=2EC .等腰三角形典型例題練習(xí)11. (2012?牡丹江)如圖 ，4ABC中.AB=AC , P為底邊BC上一點(diǎn)，PE± AB , PF± AC, CH LAB ,垂足分 別為E、F、H.易證PE+PF=CH .證明過程如下：如圖，連接AP. PEXAB , PF± AC, CH LAB, /. Saabp=-AB ?PE, Saacp=1aC ?PF,Sa abc =Iab ?ch .22國又Saabp +Sa acp=Saabc , .AB?PE+AC?PFAB?CH .222 AB=AC , .-.PE+PF=CH .(1)如圖，P為BC延長線上

11、的點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明：(2)填空：若/A=30°, AABC的面積為49,點(diǎn)P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF,當(dāng)PF=3時(shí)，則 AB邊上的高 CH= 7 .點(diǎn)P到AB邊的距離 PE= 4或10 .國鶯7 / 10考點(diǎn)： 分析：等腰三角形的性質(zhì)；三角形的面積.(1)連接AP .先根據(jù)三角形的面積公式分別表示出Sa abp , Sa acp , Saabc , 再由 Saabp =Sa acp+Saabc即可得出PE=PF+PH;(2)先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出 AC=2CH ,再由4ABC的面積為49,求出CH=

12、7 ,由于CH>PF, 則可分兩種情況進(jìn)行討論： P為底邊BC上一點(diǎn)，運(yùn)用結(jié)論 PE+PF=CH;P為BC延長線上的 點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用結(jié)論 PE=PF+CH .解答:解：(1)如圖,PE=PF+CH .證明如下：. PEXAB , PFXAC , CH± AB ,Saabp=AB?PE, Saacp=|aC?PF, S ABC"ab?ch , 占，- Saabp=Saacp+Saabc, .二AB?PE=LaC?PFAB?CH,又,. AB=AC , . . PE=PF+CH ;22|2(2) .在 AACH 中，Z A=30 °,，AC=2CH. Saabc=-

13、|aB?CH , AB=AC ,>2CH?CH=49 , . CH=7 .分兩種情況：P為底邊BC上一點(diǎn)，如圖. PE+PF=CH , .1. PE=CH - PF=7 - 3=4;P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí)，如圖.（含答案）10.12.數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：在等邊三角形 ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且 ED=EC ,如圖，試確定線段 AE與DB的大小 關(guān)系，并說明理由小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答: （1）特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1,確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE = DB （填 法”，之或="）.（2

14、）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE = DB （填 冬"，之"或="）.理由如下：如圖2,過點(diǎn)E作EF/ BC , 交AC于點(diǎn)F.（請你完成以下解答過程）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線 AB上，點(diǎn) D在直線 BC上，且 ED=EC .若4ABC的邊長為1, AE=2 ,求CD考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出/ D=/ ECB=30 °,求出/ DEB=30 °,求出BD=BE即可；（2

15、）過E作EF/ BC交AC于F,求出等邊三角形 AEF ,證4DEB和 ECF全等，求出BD=EF即的長（請你直接寫出結(jié)果）（3）當(dāng)D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時(shí)， 由（2）求出CD=3 ,當(dāng)E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時(shí)，求出 CD=1 .解答：解：（1）故答案為：=.（2）過 E 作 EF/ BC 交 AC 于 F,.等邊三角形 ABC , Z ABC= Z ACB= Z A=60 °, AB=AC=BC ,/ AEF= / ABC=60 °, / AFE= / ACB=60，即/ AEF= / AFE= / A=60 °,.AEF 是等邊

16、三角形，AE=EF=AF , Z ABC= / ACB= / AFE=60 °, . . / DBE= / EFC=120 °, / D+ / BED= / FCE+ / ECD=60 °,. DE=EC,，/D=/ECD, . / BED= / ECF, 在 DEB和AECF中ZDEB=ZBCF/D%/即C，ADEBAECF, . BD=EF=AE ,即 AE=BD ,故答案為: DE=CE(3)解：CD=1 或 3,過 A 作 AM，BC 于 M ,過 E 作 EN，BC 于 N ,則 AM / EM ,.ABC 是等邊三角形，.AB=BC=AC=1 ,-.

17、AM ±BC,BM=CM= BC=, / DE=CE ,22. AM/EN, AAMB AENB ,_BHEE麗ENXBC, CD=2CN ,1.m=i,2 - 1 BN.BN= , CN=1 +2如圖2,作AM，BC于M ,過E作EN，BC于N , 貝U AM / EM ,.ABC 是等邊三角形，.-.AB=BC=AC=1 , DE=CE , ENXBC , . CD=2CN ,AB BI=一AE MWMN=1 , CN=1I弓，.CD=2CN=11. AM / EN ,13.M .已知：如圖， AF平分/BAC, BCAF于點(diǎn)E,點(diǎn)D在AF上，ED=EA ,點(diǎn)P在CF上，連接PB

18、交AF于點(diǎn) 若/BAC=2/MPC,請你判斷Z F Z MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.等腰三角形典型例題練習(xí)(含答案)考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定和線段垂直平分線性質(zhì)求出AB=AC=CD ,推出/ CDA= / CAD= / CPM ,求出 / MPF= / CDM , / PMF= / BMA= / CMD ,在 DCM 和 PMF 中 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可.解答：解：/F=/MCD,理由是：AF 平分/BAC, BCXAF , . / CAE= / BAE , / AEC= / AEB=90 °,在 ACE AABE

19、中fZAEC=ZAEBJ AE=AE , .,.AACEAABE (ASA)，AB=AC ,IZCAE=ZBAE / CAE= / CDE AM 是 BC 的垂直平分線， . CM=BM , CE=BE ,. / CMA= / BMA , . AE=ED , CEXAD , . AC=CD , . . / CAD= / CDA , / BAC=2 / MPC ,又. / BAC=2 / CAD ,/ MPC= / CAD ,/ MPC= / CDA ,. / MPF= / CDM ,/ MPF= / CDM (等角的補(bǔ)角相等)， / DCM+ / CMD+ / CDM=180 °,

20、/ F+/ MPF+ / PMF=180 °,又 / PMF= / BMA= / CMD ,/ MCD= / F.14.如圖，已知 4ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD , AD與BE相交于點(diǎn)F.# / 10(1)線段AD與BE有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論.(2)求/ BFD的度數(shù).考點(diǎn)： 分析：解答:等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知 / BAC= / C=60°, AB=CA ,結(jié)合AE=CD ,可證明 ABE ACAD , 從而證得結(jié)論；(2)根據(jù) / BFD= / ABE+ / BAD , /ABE=

21、/ CAD ,可知 / BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60 °.(1)證明：.ABC 為等邊三角形，Z BAC= Z C=60°, AB=CA .在 ABE和ACAD中，1 ZBAE=ZC ABE 9 CAD AD=BE .AE=CD(2)解： /BFD=/ABE+ Z BAD等腰三角形典型例題練習(xí)（含答案）又 ABE 省 CAD ,Z ABE= / CAD . . . / BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=6015 .如圖，在 4ABC中，AB=BC , / ABC=90 °, F為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn) E在BC上，BE=BF

22、 ,連接 AE、EF 和CF, 求證：AE=CF .11 / 10考點(diǎn)： 分析：二考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).分析：根據(jù)已知利用SAS即可判定ABECBF,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到AE=CF .解答：證明：. /ABC=90 °, ZABE= Z CBF=90 °,又.AB=BC, BE=BF , /.AABE ACBF （SAS）. . AE=CF .16 .已知：如圖，在 AOAB 中，/AOB=90°, OA=OB ,在 EOF 中，Z EOF=90 °, OE=OF,連接 AE、BF.問線 段AE與BF之間有什么關(guān)系？請說明理由.全等

23、三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.可以把要證明相等的線段 AE, CF放到AEO, BFO中考慮全等的條件，由兩個(gè)等腰直角三角形得AO=BO , OE=OF,再找夾角相等，這兩個(gè)夾角都是直角減去/BOE的結(jié)果，當(dāng)然相等了，由此可以證明 AEOA BFO;延長BF交AE于D,交OA于C,可證明/ BDA= / AOB=90。，則AE± BF.解答:解：AE與BF相等且垂直，理由：在4AEO與ABFO中，. RtOAB 與 RtOEF 等腰直角三角形，. . AO=OB , OE=OF , Z AOE=90 ° - Z BOE= Z BOF , AEO 9 BFO ,AE=B

24、F .延長BF交AE于D,交OA于C,則/ ACD= / BCO ,由（1）知 / OAE= /OBF, Z BDA= Z AOB=90 °, AEXBF.17. （2006?郴州）如圖，在 4ABC中，AB=AC , D是BC上任意一點(diǎn)，過 D分別向AB , AC引垂線，垂足分別為 巳F, CG是AB邊上的高.等腰三角形典型例題練習(xí)（含答案）（1） DE, DF, CG的長之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；（2）若D在底邊的延長線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？請說明理由.考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).分析：（1）連接AD,根據(jù)三角形ABC的面積二三角形ABD的面積+三角形ACD的面積，進(jìn)行分析證明；（2）類似（1）的