1、2,所以，每條直線上三數之15+重疊數”只能是偶數，重疊數（15+1） +2=8填法見下圖（1）;（15+3） +2=9填法見下圖（2）;（15+5） +2=10填法見下圖（3）.數陣圖與數字謎練習題（含答案）你還記得嗎【復習1】把15這五個數填入右圖中的。里，使每條直線上的三個數之和相等重疊數=每條直線上三數之和x分析：（1+2+3+4+5）+ 和=（15+重疊數） + 2.因為每條直線上的三數之和是整數，所以 只可能是1, 3或5.若“重疊數” =1,則兩條直線上三數之和為若“重疊數” =3,則兩條直線上三數之和為若“重疊數” =5,則兩條直線上三數之和為【復習3】在右圖所示的豎式中，相同

2、的漢字表示相同的數字，不同的漢 字表示不同的數字。如果：巧 +解+數+字+謎=30,那么“數字謎”所代表 的三位數是多少？分析：還是先看個位，5個“謎”相加的結果個位還是等于“謎”，“謎” 必定是5 （0顯然可以排除）；接著看十位，四個“字”相加再加上進位2,結果尾數還是“字”，那說明“字”只能是6;再看百位，三個“數”數 艇數 十賽艇數字字字字巧解數字謎【復習2】將17這七個數分別填入右圖的。里，使得每條直線上三個數之和與每個圓圈上的三個數之和都相等 .分析：所有的數都是重疊數，中心數重疊兩次，其它數重疊一次.所以三條邊及兩個圓周上的所有數之和為：（1+2+ 7）X斗中心數=56+中心數.因

3、為每條邊及每個圓周上的三數之和都相等，所以這個和應該是5的倍數，再由中心數在1至7之間，所以中心數是4.每條邊及每個圓周上的三數之和等于（56+4）+5=12.中心數是4,每邊其余兩數之和是12-4=8,兩數之和是 8的有1 , 7; 2, 6; 3, 5.于是得到右下圖的填法.相加再加上進位2,結果尾數還是“數”，“數”可能是 4或9;再看千位，（1）如果“數”為4,兩個“解”相加再加上進位 1,結果尾數還是“解”，那說明“解” 只能是9; 5+6+4+9=24, 30-24=6, “巧”等于6與“字”等于6重復，不能；，那說明“解”965.數陣圖數陣圖是將一些數按照一定要求排列而成的某種圖

4、形,陣圖，一般地，將九個不同的數填在 條對角線上的三數之和均相等，這樣的 三階幻方相仿！3X3 （即三行三歹U）有時簡稱數陣. 的方格中，使每行、3X3的數陣陣列稱為三階幻方.n幻方是特殊的數 每列、及二階幻方的定義與【例1】（1）將九個數填入下圖（1）的九個空格中，使得任一行、任一列以及兩條對角線上的三個數之和都等于定數k,則中心方格中的數必為k .請你說明理由!3（2）將九個數填入下圖（2）的空格中，使得每行、a b相等，則一定有： e .請你說明理由！2每列、每條對角線上的三個數之和都（3）將九個數填入下圖（3）的空格中，使得每行、a b相等，則一定有： C .請你說明理由！2每列、每條

5、對角線上的三個數之和都Cab（2）如果“數”為9,兩個“解”相加再加上進位 2,結果尾數還是“解”代表的三位數是只能是8; 5+6+9+8=28, 30-28=2,可以.所以“數字謎”分析：（1）因為每行的三數之和都等于 下圖所示，經過中心方格的有四條虛線,+中心方格中的數x 3=4k,IKJJ zJ -JLJk,共有三行，所以九個數之和等于 3k.如右 每條虛線上的三個數之和都等于 k,四條虛線上的所有數之和等于 4k,其中只有中心方格中的數是“重疊數”，九個數各被計算一次后，它又被重復計算了三次.所以有：九數之和k3k+中心萬格中的數x 3=4k,中心萬格中的數 =-3(2)和=3e ,

6、a+e+b/D=3e,所以 a+b=2e,即得:（3）設中心數為d.每行、每列、每條對角線上的三個數之和都等于此可得右圖，那么有:c + (2d-b) = a + (2d-c),由此可得：c3d.由b.2值得注意的是， 也可以是分數、小數;這個結論對于a和b并沒有什么限制，可以是自然數, 可以相同，也可以不同c2d-bdab2 dr【鞏固】在右圖的空格中填入七個自然數，使得每一行、每一列及每一條對角線上的三個數之和都等于 90.分析：中心數為 90+3=30;右上角的數為（23+57） + 2= 40, 其它數依次可填（見右下圖）.4734023303T20S713【鞏固】在下圖的每個空格中填

7、入個自然數，使得每一行、每一列及每條對角線上的三 個數之和都相等.分析：右下角的數為（8+10） +2=9,中心數為（5+9） +2=7,且每行、每列、每條對角線上的三數之和都等于7X3=21.由此可得右下圖的填法.【鞏固】圖中3X3的正方形的每一個方格內的字母都代表一個數，已知其每行、 以及兩條對角線上三個數之和都相等.若f=19 , g=96.那么b是多少？分析：我們知道：g= （b+f） +2,易得b=173.510e97634g每列【例2】在右圖的每個空格中，填入不大于12且互不相同的八個自然數， 使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和都等于21 .分析：中央一數必定是 21 + 3

8、=7.從而一條對角線為 8, 7, 6.另兩個角上的數，和為14=2+12=3+11=4+10=5+9,不難驗證只有 3、11與4、10兩種符合要求.于填法有：【鞏固】一個數）abcdf旦8310821197510744116312,E在右圖的九個方格中填入不大于12且互不相同的九個自然數（其中已填好，使得任一行、任一列及兩條對角線上的三個數之和都等于21.【例3】將 1, 3, 5,7,9, 11, 13, 15, 17填入3X3的方格內，使其構成一個幻方3LT713g511115分析：（法1）：易得中心數為9,然后將剩余那么其余 8個數分為4組，每組兩個數的和是18,把它們分別填入圖中關于

9、中心格對稱的格子內，實驗可得結果，如右圖.答案不唯一，僅供參考.（法2）:其實會學習的小朋友就知道理利用已經學習過的一些典型題目結果加以變形得到新題答案.事實上我們可以把結果中的幻方看作是19填圖的幻方相應位置數字乘2減1得來的.推廣開來可以知道等差數列填圖的三階幻方幾乎都具有相似的 形式.【前鋪】將自然數1至9,分別填在右圖的方格中，使得每行、每列以及兩條對角線上 的三個數之和都相等.分析：（法1）:三行的總和=1+2+3 + 4+ 9=45,所以每行三個數的和是 45+3=15,所以E代表15+3=5,由于在同一條直線的三個數之和是15,因此若某格中的數是奇數，那么與這個數在同一條直線上的

10、另兩個數的奇偶性相同因此，四個角上的數 A、C、G I必為偶數.（否則，若A為奇數，則I為奇數.此時若B為奇數，則其余所有格亦為奇數；若 B為偶數，則其余所有格亦為偶數.無論哪種情形，都與1至9中有5個奇數，4個偶數這一事實矛盾.）因此，B、D F、H為奇數.我們不妨認為 A=2 （否則，可把3X3方格繞中心塊旋轉即能做到這一點）.此時1=8.此時有兩種選擇：C=4或G=4.因而， 同小|G=6或C=6.其他格的數隨之而定.如果把經過中心塊旋轉而能完全重合的兩用目? 邛種填數法視作一種的話，一共只有兩種不同的填數法：A=2, C=4或A=Z, G=4 舊1H I 4 1 3 "（2,

11、 4被確定位置后，其他數的位置隨之而定）（法2）:從法1知道中心數為5,那么其余8個數分為4組，每組兩個數的和是 10,把它們分別填入圖中關于中心格對稱的格子內，實驗可得結果.這種試填的方法更易讓學生接受.【拓展】如圖（1）的3X3的陣列中填入了 l9的自然數，構成大家熟知的 3 4gz 階幻方.現在另有一個3X3的陣列，如圖（2）,請選擇9個不同自然數填人 9 3卜 個方格中，使得其中最大者為 20,最小者大于5,且要求橫加、豎加、對角線E方式相加的3個數之和都相等.分析：觀察原表中的各數是從19不同的九個自然數，其中最大的數是9,最小的數是1 ,且橫加、豎加、對角線方式相加結果相等.根據題

12、意，要求新制的幻方最大數為20,而9+11=20,因此，如果原表中的各數都增加11,就能符合新表中的條件了 .【例4】右圖是一個四階幻方，請將其補全：分析：根據各行，各列，各對角線和相等為34,可得圖（1）,此時我們可以設未知數，如圖（2）,將一些數表示出來，進而根據和為34求得x代表9,隨后得到答案，如圖（3）.1147124X61051631113(?)1 11l4712154961。5163811213-1第二行第二個元素與 C同行，因此不是C,所以*代表白元素必為 C.【拓展】在圖中所示方格表的每個方格內填入一個恰當的字母；可使每行、每列及 兩條對角線上4個方格中字母都是 A B、C、

13、D,那么標有“* ”的方格內應填的字 母是什么？ 分析：考慮含A和*的對角線上的元素.第三行第三個元素與 C同列，因此也不是【鞏固】在右圖的每個方格中填入一個數字, 格中的四個數字都是 1, 2, 3, 4.使得每行、每列以及每條對角線上的方分析：如下圖所示，受列及對角線的限制,處只能填4, d處填 的數陣圖1,從而b處填3;進而推知c123qd電=±cb2a處填3, e處填4, 右下圖為填好后234341Z43212t43【例5】右圖是大家都熟悉的奧林匹克的五環標志.請將19入五個圓相互分割的九個部分，并且使每個圓環內的數字之和都相等分析：設每個圓內的數字之和為k,則五個圓內的數字

14、之和是 5k,加上兩兩重疊處的四個數之和.而兩兩重疊處的四個數之和最小是它等于19的和45,再1 + 2+3+ 4=10,最大是 6+ 7+8 + 9=30,所以，5kW4計 30=75 且 5kA4計 10=55,即 11<k<15 .當 k= 11, 13,14時可得四種填法（見下圖），k=12, 15時無解.4【前鋪】將111填入左下圖的。內，使每條虛線上的三數之和都等于分析：設中心數為a,由五條虛線上的數字之和得到5X18=18.(1+2+ii)+4a,解得a=6.填數方法如下圖【例6】 將17這七個自然數分別填入右圖的七個。內，使得三個大圓周上的四個數之和都等于定數，指出

15、這個定數所有的可能取值，并給出定數為13時的一種填法.分析：設每個大圓周上的四個數之和為k (即題中的定數).圖中有一個。屬于三個大圓公有，有三個。各屬于兩個大圓公有.設屬于三個大圓公有的。內的數為w,屬于兩個大圓公有的三個。內的數字之和為v.將三個大圓上的數字和相加，得到：3k= 1 + 2+3 + 4+5+6+7 + v+ 2w= 28+ v +2w,因為 v+2w最小為 11 (w= 1, v=2 + 3+4),最大為 29 (w= 7, v=6+5 + 4), 分別代入上式，解得 13<k<19,即定數可以取 13至19之間的整數.本題是k = 13的情況，此時 w= 1,

16、 v = 2+3+4,填法見右下圖.【例7】在右圖所示立方體的八個頂點上標出19中的八個，使得每個面上四個頂點所標數字之和都等于 k,并且k不能被未標出的數整除.分析：標出的八個數是每面四個數和的2倍，是偶數，19和為45 ,因此未標出的數是一個奇數，在 1, 3, 5, 7, 9中選一個數，并使余下八個數之和的一半不能被這 個數整除，依此可知未標出的數是7.下面用余下的8個數填圖，每面四個數和為：(45-7) + 2=19.如果已知某一面上四個數和為19.那么與其平行的面上四數和也必為19.因此我們只考慮有公共頂點的三個面即可.下面我們考慮以9為公共頂點的三個面.由于8, 9不公面，因此 8

17、在頂 點9的對頂點上，有公共點 9的三個面上，每面其余三個數和為10,且每兩個面有一個公共頂點.由此試驗易得三個面上的數分別為：(6, 3, 1), (5, 4, 1), (3, 2, 5),填圖如右下圖.數字謎【例8】將09中的8個不同的數字分別用 a、b、c、d、e、f、g、h替換.在替換規則下：gxg = db , gxc=bd , gxf= ef , ag b eh,如上面 4 個式子中，“ +”、“x”、“=與平常算術中相應的符號意義相同，而且也是十進位制.在這種替換規則下，ca e的數值等于-分析：由gxg=db知，g>4.若g=4, d=1,與gxc=bd是偶數矛盾;若 g

18、=5,則 d=2, b=5,與 g wb 矛盾；若 g=6,則 d=3, b=6,與 g wb矛盾；若 g=7,貝U d=4, b=9,由 gX c =bd =94，得至ij c = 4+7 =133也不合題意；73右 g=8,貝U d=6, b=4,由 gXc=bd46,得至U c=46+8 =5,仍不合題息;4若 g=9,則 d=8,b=1,由 gXc=bd=18,得至U c=18+9=2,再由 gX92.f= ef ,f=5 , e=4,再由 ag b eh,得 a=e-1=3.所以 ca e 23 4【例9】在下面的加法算式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同的數字.請把下

19、面漢字算式翻譯成數字算式.香港回歸 答： 十 華人愛港 +一華人回港游一分析：首先 華” =1由于 人"故 人”只能是0.從百位看出.百位沒有向千位進位，即有智” =9看百位，知 回“比 港”大1；再看十位，可知 愛” =8并且個位要向十位進位，即？T'+港” =10 +游”.因為游” w,0 1,知游”藝2即歸” +港” 12又歸”壬9,知歸” 從而港” 常同 樣，歸”也不小于5,并且由于 回“比 港”大1,知歸“、港“、回”應該是5, 6, 7(次 序未確定).容易驗證，只有“歸” =7,港" =5回”=喻合條件，此時 游” =2即算式為： 9567+1085=

20、10652 .第十一屆+ 華杯賽 一2 00一6【鞏固】在下面的算式中，漢字“第、十、一、屆、華、杯、賽”代表 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中的7個數字，不同的漢字代表不同的數字，恰使得加法算式 成立.則第、十、一、屆、華、杯、賽”所代表的7個數字的和等于多少？分析：根據加法規則，第" =1屆" +賽”=蛾屆" +賽” =16若屆” +賽” =6只能是屆“、賽”分別等于2或4,此時” +杯” =10只能是、杯 分別為3或7.此時 +” +華” =9 十“、華分別只能取 (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5).但l, 2,

21、 3, 4均已被取用，不能再取.所以， 屆" + 賽” =6填不出來，只能是屆” +賽” =16這時屆“、賽”只能分別取9和7.這時只能是+杯" +1=10且十” +華” +1=10也就是+杯” =9 同時+" +華” =9所以它們可以分別在(3, 6), (4, 5)兩組中取值.因此第、十、一、屆、華、杯、賽”所代表的7個數字的和等于1+9+9+16=35 .【例10】 在右面的口內，各填一個合適的數字，使算式成立.分析：從被乘數個位上的口里填什么數字入手及豎式中口*6= ( ) 4,是本題的突破口.這里有兩種情況： 4X6=24或9X6=54,都可使6= (

22、) 4成立.也就是 說，被乘數個位上的數字可能是 4,也可能是9.先考慮被乘數個位上的數字是9的可能性，因為在乘數十位上找不出任何數字與9相乘得“整十數”，所以被乘數個位上的數字不可能是9.如果被乘數個位上的數字是 4,很容易推出乘數十位上的數字應是5,才能與4相乘得“整十數” .由被乘數乘以乘數十位上的5得270,也很容易推出被乘數十位上的數字是5,進而可推出其它各數字.【鞏固】在口內填入適當的數字，使下列乘法豎式成立：(1) (2> 7 X X X口 96 6 0 6 ? 77 口口4404 0口 M 6百仃4+ 270 口 4一國即Bl E 4+2 7 0囿回倒4分析：(1) 17

23、X64=1088; (2) 5283X 39=206037;(3) 734X619=45434a被乘數是 6606和4404的三位數的公約數【例11】口內填入適當的數字，使下列豎式成立，并使商盡可能小:叼 口 口口3 口 口 50 0 & 9- 3 5 口分析：由右式知d=8,所以c=3或8.當a=2時，由bcx a=D5D ,推出c不等于3,所以c=8 , 故推出b=7;因為除數是兩位數，它與商的各個數位的乘積都是三位數，所以商的最小可能 值為262。【鞏固】右式中不同的漢字代表19中不同的數字，當算式成立時，“中國”這兩中國個漢字所代表的兩位數最大是多少 ？新北京+ 新奧運分析：顯

24、然，“新”=9.因為要使“中國”盡量大，所以可以假定“中”=8.因為十位加法（含個位加法進位）等于20,所以“北+奧”在17中的取值有三種可能：7, 5; 7,4; 6, 5.再考慮到“國+京+運”的個位數是 8,經試算，只有“北”、“奧”等于7, 5,“國”、“京”、“運”等于 1,3, 4. “國”取1,3,4中最大的4,得到“中國”最大是84.267的三階質數幻方附加題目【附1】求任一列、任一行以及兩條對角線上的三個數之和都等于圖131LOT1578911T147149分析：在3X3的方格中，如果要求填入九個互不相同的質數，要求任一行、任一列 以及兩條對角線上的三個數之和都相等，那么這樣

25、填好的圖稱為三階質數幻方.中間方格中的數為267+3=89.由于在兩條對角線、中間一行及中間一列這四組數中，每組的三個數中都有 89,所以每組的其余兩數之和必為267-89 = 178.兩個質數之和為178 的共有六組：5+173= 11 + 167=29+ 149= 41 + 137 = 47+131 = 71+107.經試驗，可得右圖所示的三階質數幻方【附2】將自然數111填入下圖的11個。中，使得每條直線（共 10條）上的三個數字之 和都相等.分析：左下角的數屬于 5條直線共有，對角線上中間的數屬于4條直線共有，其余數只屬于2條或3條直線，所以左下角的數和對角線上中間的數處于特殊地位，應

26、當首先確定這 兩個數以及每條直線上三數之和 .I X11UX 166 4a由圖（1）中5條實線上所有數字之和， 可列方程：5k=（1+2+11）+4a，即k因為k是整數，所以a只能取1, 6或11;再由圖（2）中四條實線上所有數字之和，可列方程：4k= （1+2= - +11）+a ,即k 竺一a4得到a只能取2, 6或10.綜合以上討論知 a=6, k=18.在圖（3）中的5條實線中，只有b屬于3條實線共有.注意到這5條實線上的數字沒 有6,在剩下的十個數字中，三個數的和等于18的共有以下八組：3+4+11; 1+8+9; 1+ 7+10; 3+5+10; 2+7+9; 2+5+11; 3+

27、7+8; 4 + 5+ 9,其中同時出現在三個算式中的數只有3和9,所以b只可能是3或9,此時c等于9或3.由同時含有3的三個算式知, 由于每條直線上的三個數之和為 取7, 8.由此可得左下圖中的答案若 b=3, c= 9,則 d, e 只能取 4, 11 或 5, 10 或 7, 8 ,18,且c=9,故d, e不能等于10或11,所以d, e只能則每條邊上五個數和為：（45X2-k） +K最小時，取 k=1+2+3=6, 一邊上的和為:3=30- 1 k .3130- X 6=28;3K最大時，取 k=7+8+9=24 , 一邊上的和為： 30- 1 X 24=22,因此這個和最大為328

28、,最小為同理，若b= 9, c=3,則可得右下圖的另一答案 .【附3】右圖中大三角形被分成九個小三角形，大三角形的每條邊都與其中五個小三角形有公共點，試將19九個自然數分別填入這九個小三角形內，使得每條邊上的五個小三角形內的數字之和都相等.問這個和最小值是多少？最大值是多少？分析：19和為45.設3個只屬于一條邊的數的和為k,等.每豎行三數之和相等知十二個數之和既是3的倍數也是4的倍數，因此是由此可知不用填圖的數字是7,所選十二個數和為：（1+13） X1 3+2 -7=84,12的倍數,每橫行四個22.使每橫行四數【附4】在113這十三個自然數中選十二個填在圖中的空格內, 之和相等，每數列三

29、數之和相等 .分析：由和的整除性質，首先確定使用哪十二個數填圖.由于每橫行四數之和相數和為：84+3=28,每豎行三個數和為：84+4=21.由于豎行和為21,因此可知1, 2, 3,(1 ，4在不同豎行，而 5只能跟3或4在同一豎行，由此可確定豎行分組有如下兩種情況:8, 12) ,(2,9, 10) ,(3,5, 13) , (4 , 6, 11)或(1 , 9,11) , (2 , 6, 13) ,(3,8, 10), (4, 5, 12).再根據橫行和為 28,易得如下結果：新年好 【附5】右面算式（1）中，相同的漢字表示相同的數，不同的漢字表示不同的數,其中“新” >4.清補殘缺的數字，那么“新年好”代表的數字是 -分析：“新年好”代表的數字是691 .如右下式，“新痂年好X A B定小于7,否則A是2大了，是l又小了.不論 “新”，新口口年是5或6,由于乘法第一行首位是“新