1、真金國際教育&中國考試研究院經(jīng)典資料 §曲線運(yùn)動一、知識解碼（一）曲線運(yùn)動的基本概念1曲線運(yùn)動中的速度方向：沿曲線的切線方向2物體做曲線的動的條件：合外力方向跟它的速度方向不在一直線上；反之，如果已知曲線運(yùn)動的軌跡，則可知軌跡上任何一點(diǎn)：（1）速度的方向=切線方向；（2）受合外力的方向范圍=指向曲線的內(nèi)側(cè)。（二）運(yùn)動的合成和分解1實(shí)際的運(yùn)動就是合運(yùn)動；2合成和分解時，與其它矢量（如力）一樣。如分解時，首先建立坐標(biāo)系（建立原則與力的相同，可見講義前面部分），其次把所有不在坐標(biāo)系上的矢量分解，最后分X、Y兩個方向的直線運(yùn)動來認(rèn)識此曲線運(yùn)動。注：學(xué)運(yùn)動的分解就是為了把我們不熟悉的曲

2、線運(yùn)動轉(zhuǎn)化為兩個垂直方向的直線運(yùn)動。 3兩種常見的合成分解模型A 小船過河問題：（僅有兩個考查點(diǎn)：時間最短及航程最短）如右圖所示，若用v1表示水速，v2表示船速，則：過河時間僅由v2的垂直于岸的分量v決定，即，與v1無關(guān)，所以當(dāng)v2岸時，過河所用時間最短，最短時間為。過河路程由實(shí)際運(yùn)動軌跡的方向決定：當(dāng)v1v2時，最短路程為d；當(dāng)v1v2時，最短路程為（如右圖所示）。B連帶運(yùn)動問題指物拉繩或繩拉物問題。由于高中研究的繩都是不可伸長的，即繩的長度不會增長（即不可能斷），所以解題原則是：把物體的實(shí)際速度分解為垂直于繩和平行于繩（即沿繩）兩個分量，根據(jù)繩兩端沿繩方向的分速度大小相同求解。例1：如圖5

3、-3所示，在一光滑水平面上放一個物體，人通過細(xì)繩跨過高處的定滑輪拉物體，使物體在水平面上運(yùn)動，人以大小不變的速度v運(yùn)動.當(dāng)繩子與水平方向成角時，物體前進(jìn)的瞬時速度是多大？圖5-3錯解分析：弄不清合運(yùn)動與分運(yùn)動概念，將繩子收縮的速度按圖5-4所示分解，從而得出錯解v物=v1=vcos.5-4正解：解:應(yīng)用合運(yùn)動與分運(yùn)動的關(guān)系繩子牽引物體的運(yùn)動中，物體實(shí)際在水平面上運(yùn)動，這個運(yùn)動就是合運(yùn)動，所以物體在水平面上運(yùn)動的速度v物是合速度，將v物按如圖5-6所示進(jìn)行分解.5-6其中:v=v物cos，使繩子收縮.v=v物sin,使繩子繞定滑輪上的A點(diǎn)轉(zhuǎn)動. 所以v物=（三）特殊的曲線運(yùn)動1平拋運(yùn)動：當(dāng)物體初

4、速度水平且僅受重力作用時的運(yùn)動，是勻變速運(yùn)動。（1）時間是水平方向運(yùn)動和豎直方向運(yùn)動的聯(lián)系途徑（兩個分運(yùn)動的同時性）；（2）按照曲線運(yùn)動的分解方法，平拋運(yùn)動可分解為水平方向的勻速運(yùn)動和豎直方向的自由落體運(yùn)動這兩個分運(yùn)動：平拋運(yùn)動可以分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動和豎直方向的自由落體運(yùn)動。注：當(dāng)然也可根據(jù)“所問矢量落在坐標(biāo)軸上”的原則，可對平拋運(yùn)動進(jìn)行其它的分解，例如有些含斜面的平拋運(yùn)動問題可沿斜面、垂直斜面分解。2圓周運(yùn)動（1）圓周運(yùn)動的描述：A線速度（m/s）； B角速度（rad/s）；（v=r）C周期，指運(yùn)動一周所用時間； D頻率f：1秒內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)E向心力：物體所受合外力沿半徑方向與垂直半

5、徑方向（切線方向）分解后，沿半徑方向的分力即為向心力 ()F離心/向心運(yùn)動沿半徑方向的力圓周運(yùn)動所需的向心力物體做向心運(yùn)動（靠近圓心）；沿半徑方向的力圓周運(yùn)動所需的向心力物體做離心運(yùn)動（遠(yuǎn)離圓心）。注：勻速圓周運(yùn)動，合外力始終指向圓心且大小不變。（v、等為常量）（2）常見的勻速圓周運(yùn)動模型A圓錐擺在水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動，由物體所受的重力與彈力的合力充當(dāng)向心力，向心力的方向水平。也可以說是彈力的水平分力提供向心力（彈力的豎直分力和重力互為平衡力）。例2：小球在半徑為R的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動，試分析圖中的（小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角）與線速度v、周期T的關(guān)系。（小球的半徑遠(yuǎn)

6、小于R，可忽略）解：小球做勻速圓周運(yùn)動的圓心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如圖所示有：，由此可得：，（h為小球軌道平面到球心的高度）可見，越大（即軌跡所在平面越高），v越大，T越小。本題的分析方法和結(jié)論同樣適用于火車轉(zhuǎn)彎、飛機(jī)在水平面內(nèi)做勻速圓周飛行等在水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動的問題。共同點(diǎn)是由重力和彈力的合力提供向心力，向心力方向水平。B靜摩擦力提供向心力例3：如圖所示，A、B、C三個物體放在旋轉(zhuǎn)圓臺上，它們由相同材料制成，A的質(zhì)量為2m，B、C的質(zhì)量各為m。如果OA=OB=R，OC=2R，則當(dāng)圓臺旋轉(zhuǎn)時（設(shè)A、

7、B、C都沒有滑動），下述結(jié)論中正確的是： A. C物向心加速度最大 B. B B物靜摩擦力最小C 當(dāng)圓臺旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速增加時，C比B先開始滑動D 當(dāng)圓臺旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速增加時，A比B先開始滑動答案：ABC3豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動（只研究豎直最高和最低兩點(diǎn)）這類問題的特點(diǎn)是：由于機(jī)械能守恒，物體做圓周運(yùn)動的速度大小時刻在改變，物體在最高點(diǎn)處的速度最小，在最低點(diǎn)處的最大。物體在最低點(diǎn)處向心力向上，而重力向下，所以彈力必然向上且大于重力；而在最高點(diǎn)處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向不能確定，分三種情況進(jìn)行討論：（1）彈力只可能向下，例如繩拉球。這種情況下有，即，否則不能通過最高點(diǎn)而做完整的圓周運(yùn)動。（2）彈力

8、只可能向上，如車過橋。在這種情況下有：，即，否則車將離開橋面，做平拋運(yùn)動。（3）彈力既可能向上又可能向下，例如球在管內(nèi)（或桿連球、環(huán)穿球）。這種情況下，速度大小v可以取任意值。但可以進(jìn)一步討論在最高處時：A 當(dāng)時物體受到的彈力必然是向下的；B 當(dāng)時物體受到的彈力必然是向上的；C 當(dāng)時物體受到的彈力恰好為零。二、題型解碼題型一：運(yùn)動合成分解、勻速圓周的直接考查 對應(yīng)解碼套路：經(jīng)典例題1（0191）在抗洪搶險中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人。假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2。戰(zhàn)士救人的地點(diǎn)A離岸邊最近處O的距離為d。如戰(zhàn)士想在最短時間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸

9、的地點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為A B0 C D2（TJ0030）在高速公路的拐彎處，路面造得外高內(nèi)低，即當(dāng)車向右拐彎時，司機(jī)左側(cè)的路面比右側(cè)的要高一些，路面與水平面間的夾角為。設(shè)拐彎路段是半徑為的圓弧，要使車速為時車輪與路面之間的橫向（即垂直于前進(jìn)方向）摩擦力等于零，應(yīng)等于（A） （B）（C） （D）3如圖所示,傳動輪A、B、C的半徑之比為2：1：2，A、B兩輪用皮帶傳動，皮帶不打滑，B、C兩輪同軸，a、b、c三點(diǎn)分別處于A、B、C三輪的邊緣，d點(diǎn)在A輪半徑的中點(diǎn)。試求：a、b、c、d四點(diǎn)的角速度之比，即a:b:c:d= 線速度之比,即va:vb:vc:vc= ;向心加速度之比,即:aa:ab:ac:a

10、d= .課后提升訓(xùn)練1（GD0178）有一種叫“飛椅”的游樂項(xiàng)目，示意圖如圖14所示，長為L的鋼繩一端系著座椅，另一端固定在半徑為r的水平轉(zhuǎn)盤邊緣，轉(zhuǎn)盤可繞穿過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動.當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度勻速轉(zhuǎn)動時，鋼繩與轉(zhuǎn)軸在同一豎直平面內(nèi)，與豎直方向的夾角為,不計鋼繩的重力，求轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度與夾角的關(guān)系.題型二：平拋運(yùn)動對應(yīng)解碼套路：經(jīng)典例題30°1（JD）如圖所示，以9.8m/s的水平速度拋出的小球，飛行一段時間以后，垂直撞在傾角為30°的斜面上，可知小球完成這段飛行時間是（ ） A B C D2（9255）在研究平拋物體運(yùn)動的實(shí)驗(yàn)中,用一張印有小方格的紙記錄軌跡,小方格的邊

11、長l=1.25厘米.若小球在平拋運(yùn)動途中的幾個位置如圖中的a、b、c、d所示,則小球平拋的初速度的計算式為v0= (用l、g表示),其值是 .(取g=9.8米/秒2)3（NX0237）傾斜雪道的長為25 m，頂端高為15 m，下端經(jīng)過一小段圓弧過渡后與很長的水平雪道相接，如圖所示。一滑雪運(yùn)動員在傾斜雪道的頂端以水平速度v08 m/s飛出。在落到傾斜雪道上時，運(yùn)動員靠改變姿勢進(jìn)行緩沖使自己只保留沿斜面的分速度而不彈起。除緩沖外運(yùn)動員可視為質(zhì)點(diǎn)，過渡軌道光滑，其長度可忽略。設(shè)滑雪板與雪道的動摩擦因數(shù)0.2，求運(yùn)動員在水平雪道上滑行的距離（取g10 m/s2）課后提升訓(xùn)練1.（GDJ0048）從水平

12、勻速飛行的直升機(jī)上向外自由釋放一個物體，不計空氣阻力，在物體下落過程中，下列說法正確的是A從飛機(jī)上看，物體靜止B從飛機(jī)上看，物體始終在飛機(jī)的后方C從地面上看，物體做平拋運(yùn)動D從地面上看，物體做自由落體運(yùn)動2（TJ0166）在平坦的壘球運(yùn)動場上，擊球手揮動球棒將壘球水平擊出，壘球飛行一段時間后落地。若不計空氣阻力，則 A壘球落地時瞬間速度的大小僅由初速度決定 B壘球落地時瞬時速度的方向僅由擊球點(diǎn)離地面的高度決定 C壘球在空中運(yùn)動的水平位移僅由初速度決定 D壘球在空中運(yùn)動的時間僅由擊球點(diǎn)離地面的高度決定3（0146）如圖，在同一豎直面內(nèi)，小球a、b從高度不同的兩點(diǎn)，分別以初速度va和vb沿水平方向

13、拋出，經(jīng)過時間ta和tb后落到與兩出點(diǎn)水平距離相等的P點(diǎn)。若不計空氣阻力，下列關(guān)系式正確的是A. ta>tb, va<vb B. ta>tb, va>vbC. ta<tb, va<vb D. ta>tb, va>vb4（QG10008）如圖所示，一物體自傾角為的固定斜面頂端沿水平方向拋出后落在斜面上。物體與斜面接觸時速度與水平方向的夾角滿足A.tan=sin B. tan=cosC. tan=tan D. tan=2tan5（QG20234）一水平放置的水管，距地面高h(yuǎn)l.8m，管內(nèi)橫截面積S2.0cm2。有水從管口處以不變的速度v2.0m/s源

14、源不斷地沿水平方向射出，設(shè)出口處橫截面上各處水的速度都相同，并假設(shè)水流在空中不散開。取重力加速度g10ms2，不計空氣阻力。求水流穩(wěn)定后在空中有多少立方米的水。6（JS0 138）拋體運(yùn)動在各類體育運(yùn)動項(xiàng)目中很常見，如乒乓球運(yùn)動現(xiàn)討論乒乓球發(fā)球問題，設(shè)球臺長2L、網(wǎng)高h(yuǎn)，乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力(設(shè)重力加速度為g)(1)若球在球臺邊緣O點(diǎn)正上方高度為h1處以速度，水平發(fā)出，落在球臺的P1點(diǎn)(如圖實(shí)線所示)，求P1點(diǎn)距O點(diǎn)的距離x1(2)若球在O點(diǎn)正上方以速度水平發(fā)出，恰好在最高點(diǎn)時越過球網(wǎng)落在球臺的P2(如圖虛線所示)，求的大小

15、(3)若球在O正上方水平發(fā)出后，球經(jīng)反彈恰好越過球網(wǎng)且剛好落在對方球臺邊緣P3，求發(fā)球點(diǎn)距O點(diǎn)的高度h3 7（SH0136）如圖所示一足夠長的固定斜面與水平面的夾角為370，物體A以初速度V1從斜面頂端水平拋出，物體B在斜面上距頂端L15m處同時以速度V2沿斜面向下勻速運(yùn)動，經(jīng)歷時間t物體A和物體B在斜面上相遇，則下列各組速度和時間中滿足條件的是（sin37O06，cos37008，g10 m/s2） （A）V116 m/s，V215 m/s，t3s（B）V116 m/s，V216 m/s，t2s（C）V120 m/s，V220 m/s，t3s（D）V120m/s，V216 m/s，t2s8（

16、SH0214）滑雪者從A點(diǎn)由靜止沿斜面滑下，沿一平臺后水平飛離B點(diǎn)，地面上緊靠平臺有一個水平臺階，空間幾何尺度如圖所示，斜面、平臺與滑雪板之間的動摩擦因數(shù)為.假設(shè)滑雪者由斜面底端進(jìn)入平臺后立即沿水平方向運(yùn)動，且速度大小不變.求：（1）滑雪者離開B點(diǎn)時的速度大小；（2）滑雪者從B點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動的水平距離s.9如圖所示，半徑為R的圓板置于水平面內(nèi)，在軸心O點(diǎn)的正上方高h(yuǎn)處，水平拋出一個小球，圓板做勻速轉(zhuǎn)動，當(dāng)圓板半徑OB轉(zhuǎn)到與拋球初速度方向平行時，小球開始拋出，要使小球和圓板只碰一次，且落點(diǎn)為B，求：(1)小球初速度的大小(2)圓板轉(zhuǎn)動的角速度。 題型三：豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動對應(yīng)解碼套路：經(jīng)典例題

17、1（9099）如圖，細(xì)桿的一端與一小球相連，可繞過O點(diǎn)的水平軸自由轉(zhuǎn)動現(xiàn)給小球一初速度，使它做圓周運(yùn)動，圖中a、b分別表示小球軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，則桿對球的作用力可能是（ ） Aa處為拉力，b處為拉力 Ba處為拉力，b處為推力Ca處為推力，b處為拉力 Da處為推力，b處為推力2如圖所示，豎直放置的光滑圓環(huán)上套有一質(zhì)量為m的小球，小球經(jīng)過最高點(diǎn)時的速度為，其中R為圓環(huán)的半徑，g為重力加速度求：小球經(jīng)過圓環(huán)最高點(diǎn)時受到圓環(huán)的彈力的大小和方向； 小球經(jīng)過圓環(huán)最低點(diǎn)時對圓環(huán)的彈力大小和方向OmR3如圖，質(zhì)量為M的支架放在水平地面上，兩側(cè)有光滑螺栓限制，使支架不能在水平方向運(yùn)動，一線長為L的輕質(zhì)線系住

18、一個質(zhì)量為m的小球，系于支架上的O點(diǎn)。（1）當(dāng)線與水平面平行且繃直（如圖位置）無初速度釋放，球到達(dá)最低點(diǎn)時，支架對地面的壓力是多大？（2）若球在豎直面內(nèi)作圓運(yùn)動，使球到達(dá)最高點(diǎn)時，支架對地面恰好無壓力，此時球的速度多大？4如圖所示，一個人用一根長1 m，只能承受46 N拉力的繩子，拴著一個質(zhì)量為1 kg的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動.已知圓心O離地面h=6 m，轉(zhuǎn)動中小球在最低點(diǎn)時繩子斷了.求：（1）繩子斷時小球運(yùn)動的角速度多大？（2）繩斷后，小球落地點(diǎn)與拋出點(diǎn)間的水平距離.5.如圖所示，光滑圓管形軌道AB部分平直，BC部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓，圓管截面半徑，有一質(zhì)量m，半徑比r略小

19、的光滑小球以水平初速射入圓管。（1）若要小球能從C端出來，初速多大？（2）在小球從C端出來瞬間，對管壁壓力有哪幾種典型情況。初速各應(yīng)滿足什么條件？課后提升訓(xùn)練1（QG40204）如圖所示，輕桿的一端有一個小球，另一端有光滑的固定軸O。給球一初速度，使球和桿一起繞O軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，不計空氣阻力，用F表示球到達(dá)最高點(diǎn)時桿對小球的作用力，則F（ ）A一定是拉力 B一定是推力C一定等于0 D可能是拉力，可能是推力，也可能等于02在質(zhì)量為M的電動機(jī)飛輪上，固定著一個質(zhì)量為m的重物，重物到轉(zhuǎn)軸的距離為R，如圖919所示，為了使電動機(jī)不從地面上跳起，電動機(jī)飛輪轉(zhuǎn)動的最大角速度不能超過：（ ）（A） （B）

20、 （C） （D）S3、質(zhì)量為m的物塊，沿著半徑為R的半球形金屬殼內(nèi)壁滑下，半球形金屬殼豎直放置，開口向上，滑到最低點(diǎn)時速度大小為V，若物體與球殼之間的摩擦因數(shù)為，則物體在最低點(diǎn)時，下列說法正確的是： （）VA. 受到向心力為 B. 受到的摩擦力為 C. 受到的摩擦力為mg D 受到的合力方向斜向左上方.如圖所示, 在內(nèi)壁光滑的平底試管內(nèi)放一個質(zhì)量為1g的小球, 試管的開口端加蓋與水平軸O連接. 試管底與O相距5cm, 試管在轉(zhuǎn)軸帶動下沿豎直平面做勻速圓周運(yùn)動. 求：(1) 轉(zhuǎn)軸的角速度達(dá)到多大時, 試管底所受壓力的最大值等于最小值的3倍.(2) 轉(zhuǎn)軸的角速度滿足什么條件時,會出現(xiàn)小球與試管底脫

21、離接觸的情況? g取10m/s.如圖所示，輕桿長2l，中點(diǎn)裝在水平軸O點(diǎn)，兩端分別固定著小球A和B，A球質(zhì)量為m ,B球質(zhì)量為2m，兩者一起在豎直平面內(nèi)繞O軸做圓周運(yùn)動。（1）若A球在最高點(diǎn)時，桿A端恰好不受力，求此時O軸的受力大小和方向；（2）若B球到最高點(diǎn)時的速度等于第（1）小題中A球到達(dá)最高點(diǎn)時的速度，則B球運(yùn)動到最高點(diǎn)時，O軸的受力大小和方向又如何？（3）在桿的轉(zhuǎn)速逐漸變化的過程中，能否出現(xiàn)O軸不受力的情況？若不能，請說明理由；若能，則求出此時A、B球的速度大小。§曲線運(yùn)動（答案）二、題型解碼題型一：運(yùn)動合成分解、勻速圓周的直接考查 經(jīng)典例題1 C 2B3（1）b=c,a=b

22、,因?yàn)関=R,va=vb 且ra=2rB,所以b=2a,由此得出:因?yàn)閍:b=1:2,b:c=1:1,a:d=1:1 a:b:c:d=1:2:2:1(2)va=vb,而va=2vd,vc=2vb,所以va:vb:vc:vd=2:2:4:1(3) aa:ab:ac:ad =2:4:8:1或者按aa:ab:ac:ad=a2ra:b2rb:c2rc:d2rd=2:4:8:1.課后提升訓(xùn)練1解：設(shè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動角速度時，夾角夾角，座椅到中心軸的距離： 對座椅分析有： 聯(lián)立兩式 得題型二：平拋運(yùn)動經(jīng)典例題1C 2 2；0.7m/s3解：如圖選坐標(biāo)，斜面的方程為： 運(yùn)動員飛出后做平拋運(yùn)動 聯(lián)立式，得飛行時間t1

23、.2 s落點(diǎn)的x坐標(biāo)：x1v0t9.6 m 落點(diǎn)離斜面頂端的距離：落點(diǎn)距地面的高度： 接觸斜面前的x分速度：y分速度： 沿斜面的速度大小為：設(shè)運(yùn)動員在水平雪道上運(yùn)動的距離為s2，由功能關(guān)系得： 解得：s274.8 m課后提升訓(xùn)練1.C 2D 3A 4D 5解：以t表示水由噴口處到落地所用的時間，有： 單位時間內(nèi)噴出的水量為：QS v 空中水的總量應(yīng)為：VQ t 由以上各式得： 代入數(shù)值得：m3 6解：設(shè)發(fā)球時飛行時間為，根據(jù)平拋運(yùn)動有 解得 設(shè)發(fā)球高度為，飛行時間為，同理有 且 得 如圖所示，發(fā)球高度為，飛行時間為，同理得 且 設(shè)球從恰好越過球網(wǎng)到最高點(diǎn)的時間為t，水平距離為s，有 由幾何關(guān)系知 聯(lián)立解得 7C8解：（1）設(shè)滑雪者質(zhì)量為m，斜面與水平面夾角為，滑雪者滑行過程中克服摩擦力做功 由動能定理 離開B點(diǎn)時的速度 （2）設(shè)滑雪者離開B點(diǎn)后落在臺階上，可解得 此時必須滿足 ，當(dāng) 時，滑雪者直接落到地面上， 可解得 9解：(1)小球做平拋運(yùn)動在豎直方向hgt2 t在水平方向： sv1tv0 R 所以v0R(2)因?yàn)閠nTn 即 n 所以2n (n1，2，