1、 適用學科 適用年級高一高中數(shù)學 課時時長（分鐘）適用區(qū)域 蘇教版區(qū)域 2課時 知識點 平面向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的運算律、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示 教學目標. 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 . 2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系 . 3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算 . 4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系 . 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題5. 會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題6. 教學重點 掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算 教學難點 能運用數(shù)量積表示兩個向量

2、的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系 【知識導圖】 教學過程 一、導入 考情展望 1.以客觀題的形式考查平面向量數(shù)量積的計算，向量垂直條件與數(shù)量積的性質(zhì). 2.以平面向量數(shù)量積為工具，與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識交匯命題，主要考查運算能力及數(shù)形結合思想 二、知識講解 考點1 平面向量的數(shù)量積 頁 1 第?bbaa，的數(shù)量積是數(shù)，它們的夾角為1數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量與，則向量?cos|a|bcosb|a?b=|a|ba?0. ，記作，即規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為.|量 ?cos|aababba在的夾角，則向量；在2向量的投影：設向量為方向上的投影是與 ?cos|b.

3、 方向上的投影是 結論 幾何表示 坐標表示 22 模a a·|a| xy|a|11 yxaa·b| |b|cos ya·bx數(shù)量積2211yyxxb·a2112 cos 夾角 cos 2222|b|ayy·xx21120 y ·aab的充要條件 b0yxx2211時等號a|b|b當且僅當|a·b與|ab|的關a(b|a·2222 |xyy·x|xxyy21121221 )成立系 ?cos|a|b|aba?ab的在的長度3數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積與的方向上的投影等于 乘積 平面向量的數(shù)量積運算律 考點2 a

4、?b?ab?；交換律： 1?b)?(?b)?(aa)?b?a(； 2數(shù)乘結合律： a(b?c)?a?b?a?c. 分配律：3 已知非零向量a(x，y)，b(x，y)，為向量a，b的夾角 2121 考點3 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示 類型一 平面向量數(shù)量積的運算 例題1 在ABC中，M是BC的中點，AM3，BC10，則AB·AC_. (2)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則DE·CB的值為 _；DE·DC的最大值為_ 【規(guī)范解答】(1)如圖所示，ABAMMB，ACAMMCAMMB， 三 、例題精析 頁 2 第222216. 25|MB|MB

5、)AMMB|AM|9AB·AC(AMMB)·(AM(2) 由于軸和y軸建立平面直角坐標系，以AB，AD所在的直線分別為x法一 如圖所示， 正方形邊長為1， D(0,1)B(1,0)，C(1,1)，故 1)(t,0)(0t又E在AB邊上，故設E 1)1)，CB(0，則DE(t，1. CB故DE· (1,0)，又DC. t(t，1)·(1,0)DE·DC1. 的最大值為1，DE·DC又0t. CBABCD是正方形，DA法二 EDA|DA|cos·CBDE·DA|DEDE21. DA|DA|·|DA|DA|DE

6、|cosEDADE上的投影最大，此時DC·與點B重合時，DE在DC又E點在線段AB上運動，故為點E21. ×2|DC|DE|cos 45°21. DC的最大值為所以DE· 【總結與反思】. 1.平面向量的數(shù)量積的運算有兩種形式，一是依據(jù)長度與夾角，二是利用坐標來計算 MBAM 、關鍵用基向量表示題目中所求相關向量，如本例?1?中用2.要有“基底”意識，. 三種特殊情形，180°90°注意向量夾角的大小，以及夾角0°，表示AB 、AC 等. 平面向量的夾角與垂直類型二 例題1 (1)若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，

7、則a與b夾角的余弦值為_ (2)已知向量AB與AC的夾角為120°，且|AB|3，|AC|2.若APABAC，且APBC，則實數(shù)的值為_ 【規(guī)范解答】 (1)由|a|a2b|，兩邊平方，得|a|22224a·b，所以|a|4|ba·bb(a2)2.又|a|3|b|b|， 頁 3 第2|b1·ba. 所以cosa，b2 3|a|b|3|b0. BCAPBC，AP·(2) ，)(ACAB)0AC，BCACAB，(ABACAB又AP220. |cos 120°9AC40，(1)|AC|即(1)AC·ABABAB17?×&

8、#215;21)×340.解得. (9 ?212 【總結與反思】. |與a·b的關系a，b的關鍵是借助已知條件求出|a|、|b1.當a，b以非坐標形式給出時，求中常?2?xyy0.2?本例ab?a·b0?|ab|b|?x2.?1?非零向量垂直的充要條件：a2211 .，導致求解受阻見的錯誤是不會借助向量減法法則把BC 表示成AC AB 平面向量的模及其應用類型三 1例題 已知OP(cos ，sin )，OQ(1sin ，1cos )，其中0，求|PQ|的取值范圍及|PQ|取得最大值時的值 【規(guī)范解答】PQOQOP(1sin cos ，1cos sin )， 222

9、. 2sin 2cos 4sin )4sin 4|PQ|(1sin cos )(1cos 1，sin 2，0132 PQ|取得最大值即時，|in 2PQ|2，6當s1，|PQ，2,6| 4【總結與反思】 求解向量的長度問題一般可以從兩個方面考慮： ?1?利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解； 222把長度問題轉化為數(shù)量積的運算問題解|b|b±2a·± |?2利用公式|aa·a及?ab?|a決. 類型四 向量的數(shù)量積在三角函數(shù)中的應用 例題1 33?x，sin cos xa ，已知向量 ?22

10、頁 4 第xx?，cos ，sin ，且xb. ?4322 b|；(1)求a·b及|a (x)的最大值和最小值b|ab|，求f(2)若f(x)a·x3x3【規(guī)范解答】cos (1)a·b cos 2x，xcos sin xsin 2222x33x?22sin sin cos xcos x| |ab?2222 2|cos x|，22cos 2x?，x ，cos x>0， ?43. 2cos x|ab|21 2cos x2cos x2cosx(2)f(x)cos 2x13?2cos x2. ?221?，xx1， cos ， ?43231 ；，f(x)取得最小值當

11、cos x時 221. 取得最大值，f(x)當cos x1時 【總結與反思】與三角函數(shù)相結合考查向量的數(shù)量積的坐標運算及其應用是高考熱點題型解答此類問題，還應掌握三向量模、夾角的坐標運算公式外，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標運算公式， 角恒等變換的相關知識兩向量的平行與垂直問題類型五 已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且kab的長度是akb的長度的3倍(k>0) 例題1 (1)求證：ab與ab垂直； (2)用k表示a·b； (3)求a·b的最小值以及此時a與b的夾角. 【規(guī)范解答】(1)由題意得，|a|b|1， 220，bab)a (ab)

12、83;(ab與ab垂直 222222ka·b1，2ka·bb b(2)|ka|kka22(3|akb|)3(1k)6ka·b. 22)6ka·b13(1k， 由條件知，k2ka·b2k1從而有，a·b(k>0) 4k2k1111(3)由(2)知a·b(k)， 4k4k21當k時，等號成立，即k±1. kk>0，k1. 1ba·此時cos ，而0，. |a|b|231故a·b的最小值為，此時. 23 頁 5 第 【總結與反思】0. yya?·b0?xx1.非零向量ab2211

13、用已知的不共線的向量表示但要注意運算技ba、2當向量a與b是非坐標形式時，要把 巧，有時把向量都用坐標表示，并不一定都能夠簡化運算，要因題而異 、課堂運用四 基礎 a|2，|b|4，向量a與向量b的夾角為120°1|，則向量a在向量b方向上的投影為_ 2已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b與ab垂直，則_. 3已知向量a，b滿足a·b0，|a|1，|b|2，則|2ab|_. 答案與解析 1.【答案】-1 【解析】a在b方向上的投影是 |a|cos 2×cos 120°1. 3 2.【答案】 2【解析】(3a2b)·(ab) 22 2ba&#

14、183;ba(23)32212182b0. 3a3. 23.【答案】22. 22224×14×048，|2ab|(2ab)24|a|4a·b|b|2. 【解析】|2ab| 1給出下列結論： 鞏固 若b0，則b0；若a·bb·c，則ac；(a·b)ca(b·c)；a·b(a·a0，a·c)c(a·b)0. 其中正確結論的序號是_ 2設非零向量a、b、c滿足|a|b|c|，abc，則a，b_. 3若向量a與b的夾角為60°，|b|4，(a2b)·(a3b)72，則向量a

15、的模為_ 答案與解析 1.【答案】 【解析】因為兩個非零向量a、b垂直時，a·b0，故不正確； 當a0，bc時，a·bb·c0，但不能得出ac，故不正確；向量(a·b)c與c共線，a(b·c)與a共線，故不正確； 正確，a·b(a·c)c(a·b) (a·b)(a·c)(a·c)(a·b)0. 2.【答案】120° 2222. b2a·|ab|ab，【解析】 abc|c|2， b，|2a·b又|a|b|c2. |ba2|b|cosa，b即1cos

16、a，b， 2 頁 6 第. 120°a，b6 【答案】3. ，|a|·|b|·cos 60°2|a|【解析】a·b22 a|6|b|a·b(a2b)·(a3b)|272. 2|a|96|a6. |a| 拔高 1. 已知|a|1，|b|1，a，b的夾角為120°，計算向量2ab在向量ab方向上的投影 答案與解析 3?【答案】 1.(1，3)1，?3，a與b夾角為如圖所示，當點B位于B和B時，(1,1)【解析】已知OA，即A(1,1) 2112 ，BOx即AOBAOB，此時，BOx 211236412124123? 與

17、b夾角不為零，B(1，3)，又故Ba，121?33? ，a的范圍是3)(1故a1，由圖易知1，?3 課程小結 五 、課堂小結 1一些常見的錯誤結論： 22，則ab；(3)若ab，bc，則ac；ba|b|，則a；(2)若a(4)b若a·b0，(1)若|則a0或b0；(5)|a·b|a|·|b|；(6)(a·b)ca(b·c)；(7)若a·ba·c，則bc.以上結論都是錯誤的，應用時要注意 2平面向量的坐標表示與向量表示的比較： 已知a(x，y)，b(x，y)，是向量a與b的夾角. 2112 向量表示 坐標表示 向量a的模2 a

18、a|a·a|22yx |a|11 a與b的數(shù)量積 a·b|a|b|cos a·bxxyy 2211共線的充要條件a與b 0)?ab Ab(bb?xyxya0 1212垂直的充要條件，非零向量ab abb?a·0 b?xxyya0 2112 a的夾角與b向量ba· cos |a|b|xxyy2211 cos 22y x1122yx223.證明直線平行、垂直、線段相等等問題的基本方法有： 22或|AB|可轉化證明，AB|CDCD|. AB（1）要證=CD?CD0，使等式ABAB2）要證兩線段只要證存在唯一實數(shù)，CD成立即可 （3）要證兩線段ABCD

19、，只需證AB·CD0. 頁 7 第 、課后作業(yè) 六 基礎 _. b，|1，則|a2b1平面向量a與|b的夾角為60°，a(2,0) b(4,7)，則a在b方向上的投影為_2若a(2,3)， b(3,18)，則a，b夾角的余弦值為_3a，b為平面向量，已知a(4,3)，2a 答案與解析3. 1.【答案】2 ，|1(2,0)，|ba【解析】 1. ×cos 60°b2×12|a|，a·223. b4b|a2b|a24×a·65. 【答案】2.5 ，a、b的夾角為【解析】 設7×4?32×?5 ，則c

20、os 522227423? 方向上的投影為在b故a655. |a|cos 13×55ba· b方向上的投影或直接根據(jù)計算a在 |b16 3.【答案】. 65 (3,18)，(8,6)又2ab【解析】a(4,3)，2a16. 36·b20，b(5,12)a b|13，又|a|5|1616. cosa，b 65135× _的夾角若，2a1已知(，1)b(，1)，a與b為鈍角，則的取值范圍為鞏固 10. 已知2a與ba·b，同向，b(1,2) 的坐標；求(1)a. )b·(c及)cb(a·a1)(2c(2)若，求 D(3,2)，A3已知三個點(2,1)B，(，1,4) AB求證：(1)；AD兩對角線所成的銳角的余ABCD要使四邊形(2)ABCD的坐標并求矩形C為矩形，求點 頁 8 第 弦值 答案與解析1?2，【答案】1.(2，) ?212ba· ，【解析】由題意cos |a|b215· <0，<<180°，1<cos 90°12 1<，<0215· ，1<02? 2?，51>5