1、 三角函數(shù)模型的簡單應用（二） 一、導入新課物理情景的簡單和諧:通過展示上節(jié)作業(yè)引入,學生搜集、歸納到的現(xiàn)實生活中的周期現(xiàn)象有 思路1.,星體的環(huán)繞運動；地理情景的氣溫變化規(guī)律,月圓與月缺；心理、生理現(xiàn)象的情緒的波動運動,. 股票變化等等,體力變化狀況；日常生活現(xiàn)象的漲潮與退潮,智力變化狀況這節(jié)課我們繼續(xù)探究三角函數(shù)模型在日常,復習導入)回憶上節(jié)課三角函數(shù)模型的簡單應用例子 思路2.( . 生活中的一些簡單應用 二、推進新課、新知探究、提出問題怎樣,.回憶上節(jié)課的內(nèi)容本章章頭引言告訴我們,海水在月球和太陽引力作用下發(fā)生周期性漲落現(xiàn)象 用上節(jié)課的方法從數(shù)學的角度來定量地解決這個問題呢？在指數(shù)、對

2、數(shù)模型中是怎樣處理搜集到的數(shù)據(jù) 的？?且,的最小正周期是|)x+),xR(其中0,|請做下題(2007浙江高考)若函數(shù)f(x)=2sin( 23) f(0)=( ,則 ?11,= B.=,=A. C.=2,= D.=2,= 636322 活動:這樣的開頭對學生來說是感興趣的.教師引導學生復習、回憶、理清思路,查看上節(jié)的課下作業(yè).教師指導、適時設(shè)問,讓學生盡快回憶到上節(jié)課的學習氛圍中,使學生的思維狀態(tài)進入到現(xiàn)在的情境中. 討論結(jié)果:略 D 三、應用示例 例1 貨船進出港時間問題:海水受日月的引力,在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情況下,船在漲潮時駛進航道,靠近碼

3、頭;卸貨后,在落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系表: 時刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 /水深 米5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系,給出整點時的水深的近似數(shù)值(精確到0.001). (2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4米,安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙(船底與洋底的距離),該船何時能進入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度為4米,安全間隙為1.5米,該船在2:00開始卸貨,吃

4、水深度以每小時0.3米的速度減少,那么該船在什么時間必須停止卸貨,將船駛向較深的水域? 活動:引導學生觀察上述問題表格中的數(shù)據(jù),會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?比如重復出現(xiàn)的幾個數(shù)據(jù).并進一步引導學生作出散點圖.讓學生自己完成散點圖,提醒學生注意仔細準確觀察散點圖,如圖6.教師引導學生根據(jù)散點 的位置排列,思考可以用怎樣的函數(shù)模型來刻畫其中的規(guī)律.根據(jù)散點圖中的最高點、最低點和平衡點,學生 很容易確定選擇三角函數(shù)模型.港口的水深與時間的關(guān)系可以用形如y=Asin(x+)+h的函數(shù)來刻畫.其中x是時間,y是水深,我們可以根據(jù)數(shù)據(jù)確定相應的A,h的值即可.這時注意引導學生與“五點法”相聯(lián)系.要求學生獨立操作完成,

5、教師指導點撥,并糾正可能出現(xiàn)的錯誤,直至無誤地求出解析式,進而根據(jù)所得的. 求出整點時的水深,函數(shù)模型 圖6 根據(jù)學生所求得的函數(shù)模型,指導學生利用計算器進行計算求解.注意引導學生正確理解題意,一天中有兩個時間段可以進港.這時點撥學生思考:你所求出的進港時間是否符合時間情況？如果不符合,應怎樣修改？讓學生養(yǎng)成檢驗的良好習慣. 在本例(3)中,應保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻畫船的安全水深呢？引導學生思考,怎樣把此問題翻譯成函數(shù)模型.求貨船停止卸貨,將船駛向深水域的含義又是什么?教師引導學生將實際問 題的意義轉(zhuǎn)化為數(shù)學解釋,同時提醒學生注意貨船的安全水深、港口的水深同時在變,停止卸

6、貨的時間應當在安全水深接近于港口水深的時候. 進一步引導學生思考:根據(jù)問題的實際意義,貨船的安全水深正好等于港口的水深時停止卸貨行嗎？為什么？正確結(jié)論是什么？可讓學生思考、討論后再由教師組織學生進行評價.通過討論或爭論,最后得出一致結(jié)論:在貨船的安全水深正好等于港口的水深時停止卸貨將船駛向較深水域是不行的,因為這樣不能保證貨船有足夠的時間發(fā)動螺旋槳. 解:(1)以時間為橫坐標,水深為縱坐標,在直角坐標系中畫出散點圖(圖6). 根據(jù)圖象,可以考慮用函數(shù)y=Asin(x+)+h刻畫水深與時間之間的對應關(guān)系.從數(shù)據(jù)和圖象可以得出: A2.5,h5,T12,0, ?2. 得12,由T ?6?x+5近似

7、描述. 所以這個港口的水深與時間的關(guān)系可用y2.5sin 6由上述關(guān)系式易得港口在整點時水深的近似值: 時 刻0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00來 :ZXXK源10:00 11:00 水5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 深 時刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:0021:022:00 23:00 0 *Z*X*X*K科學*來源5.000 6.250 7.16

8、5 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 水深2.835 2.500 2.835 3.754 (2)貨船需要的安全水深為4+1.55.5(米),所以當y5.5時就可以進港. ?x+5=5.52.5sin,sinx=0.2. 令 66由計算器可得 MODE MODE 2 SHIFT -1 sin:Zxxk.。來源0.2 = 0.201 357 920.201 4. ?x+5的圖象與直線y5.5有兩個交點A內(nèi),函數(shù)y2.5sin、B, 如圖7,在區(qū)間0,12 6 圖7 ?x0.201 4,或因此x0.201 4. 66解得x0.384 8,x5.615 2. BA由函數(shù)的周期性易

9、得:x12+0.384 812.384 8,x12+5.615 217.615 2. DC因此,貨船可以在0時30分左右進港,早晨5時30分左右出港;或在中午12時30分左右進港,下午17時30分左右出港.每次可以在港口停留5小時左右. 圖8 (3)設(shè)在時刻x貨船的安全水深為y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x2).在同一坐標系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象, 可以看到在67時之間兩個函數(shù)圖象有一個交點(如圖8). 通過計算也可以得到這個結(jié)果.在6時的水深約為5米,此時貨船的安全水深約為4.3米;6.5時的水深約為4.2米,此時貨船的安全水深約為4.1米;7時的水深約為3.8米,而貨船的安全水深約

10、為4米.因此為了安全,貨船最好在6.5時之前停止卸貨,將船駛向較深的水域. 點評:本例是研究港口海水深度隨時間呈周期性變化的問題,題目只給出了時間與水深的關(guān)系表,要想 由此表直接得到函數(shù)模型是很困難的.對第(2)問的解答,教師引導學生利用計算器進行計算求解.同時需要強調(diào),建立數(shù)學模型解決實際問題,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.這就需要根據(jù)實際背景對問題的解進行具體的分析.如本例中,一天中有兩個時間段可以進港,教師應引導學生根據(jù)問題的實際意義,對答案的合理性作出解釋. 變式訓練 發(fā)電廠發(fā)出的電是三相交流電,它的三根導線上的電流強度分別是時間t的函數(shù),I=Isint,I=Isin(B

11、At+120°),I=Isin(t+240°),則I+I+I=_. CACB答案:0 例2 圖9,是一個單擺的振動圖象,據(jù)圖象回答下列問題: (1)單擺振幅多大； (2)振動頻率多高； (3)擺球速度首次具有最大負值的時刻和位置； 擺球運動的加速度首次具有最大負值的時刻和位置；(4)2 9.86 m/s.J,求擺線長(5)若當g:ZXXK來源點撥學生考這個簡諧運動的函數(shù)模型是什么？引導學生結(jié)合函數(shù)上例. 活動:引導學生觀察圖象并思考,來刻畫單擺離開平衡位置的)思考確定選用函數(shù)慮最高點、最低點和平衡點.通過學生討論、y=Asin(x+. 位移與時間之間的對應關(guān)系 9 圖: 解

12、:結(jié)合函數(shù)模型和圖象 (1)單擺振幅是1 cm； 單擺的振動頻率為1.25 HZ；(2) 通過平衡位置時,首次具有速度的最大負值；單擺在(3)0.6 s 時處正向最大位移處,首次具有加速度最大負值；(4)單擺在0.4 s2gTL=0.16 m. (5)由單擺振動的周期公式T=2L=,可得 2?4g使所求得.同時要注意檢驗, 點評:解決實際問題的關(guān)鍵是要歸納出數(shù)學函數(shù)模型,然后按數(shù)學模型處理 . 的結(jié)論符合問題的實際意義 變式訓練且其圖象上相鄰的一個最高點和最低點之間的距)為偶函數(shù),>0,0已知函數(shù)1.f(x)sin(x+)(2?4. 離為 f(x)的解析式；(1)求函數(shù):ZXXK來源2.

13、 的值(2)若sinx+f(x)求sinxcosx, 3, f(x)為偶函數(shù)解:(1). x+sin()f(x),即sin(x+f(x)?. 2?x+sin()cosx. f(x) 2?1). ,1),相鄰兩點P(xQ(x+00 ?224()?1. ,|PQ|+4.解得= 由題意?cosx. f(x)22,得sinx+f(x)sinx+cosx. 由(2) 335?. sinxcosx兩邊平方,得 182.小明在直角坐標系中,用1 cm代表一個單位長度作出了一條正弦曲線的圖象.若他將縱坐標改用2 cm代表 代表一個單位2 cm那么他所作的曲線的函數(shù)解析式是什么？若他將橫坐標改用,橫坐標不變,一

14、個單位長度長度,而縱坐標不變,那么他所作的曲線的函數(shù)解析式又是什么？ 解:小明原作的曲線為y=sinx,xR,由于縱坐標改用了2 cm代表一個單位長度,與原來1 cm代表一個單位長1個單位長度了.由于橫坐標沒有改變,1 cm只能代表曲線度比較,單位長度增加到原來的2倍,所以原來的 21sinx,xR.同理,若縱坐標保持不變,橫坐標改用形狀沒有變化,而原曲線圖象的解析式變?yōu)閥2 cm代表 21,原曲線周期就由則橫坐標被壓縮到原來的2變?yōu)?故改變橫坐標后,原曲線圖象的解析 一個單位, 2式變?yōu)閥sin2x,xR. 3.求方程lgxsinx實根的個數(shù). 解:由方程式模型構(gòu)建圖象模型. 在同一坐標系內(nèi)

15、作出函數(shù)ylgx和ysinx的圖象,如圖10.可知原方程的解的個數(shù)為3. 圖10 點評:單解方程是很困難的,而根據(jù)方程式模型構(gòu)建圖象模型,利用數(shù)形結(jié)合來解就容易多了,教師要讓學生熟練掌握這一方法. 四、課堂小結(jié) 1.讓學生回顧本節(jié)課的數(shù)學模型都解決了哪些現(xiàn)實生活中的問題,用三角函數(shù)模型刻畫周期變化規(guī)律對國家建設(shè)、制定未來計劃,以及我們的學習、生活都發(fā)揮著什么樣的作用. 2.三角函數(shù)應用題通常涉及生產(chǎn)、生活、軍事、天文、地理和物理等實際問題,其解答流程大致是:審讀題意設(shè)角建立三角式進行三角變換解決實際問題.在解決實際問題時,要學會具體問題具體分析,充分運用數(shù)形結(jié)合的思想,靈活的運用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決現(xiàn)實問題. 五、作業(yè) 圖11 如圖11,一滑雪運動員自h=50 m高處A點滑至O點,由于運動員的技巧(不計阻力),在O點保持速率v不變,0并以傾角起跳,落至B點,令OB=L,試問,當=30°時,L的最大值為多少?當L取最大值時,為多大? 分析:本題是一道綜合性題目,主要考查考生運用數(shù)學知識來解決物理問題的能力.首先運用物理學知識得出目標函數(shù),其次運用三角函數(shù)的有關(guān)知識來解決實際問題. ?cosv?t?Lcosas0?解:由已知條件列出從O點飛出后的運動方程: ?12?gtsin.aLsin?vt?h? 02?Lsina1aLcos?+=cos整理得由,vgt. s