1、 分數加減法的奧數題知識點一 任意一個自然數1除外作為分母的所有最簡真分數的和，等于最簡真分數的個數除以2。1 2 3 4 5 6例1 計算 (1) 7 7 7 7 7 71 3 7 9 (2) 10 10 10 10通過計算，你能從中發現什么規律？練一練 (1) 分母是9的所有最簡真分數的和是( )。 1 (2) 以 為分數單位的所有最簡真分數的和是( )。 12 知識點二 兩個分數單位相加減，如果它們的分母是互質數，那么所得的結果的分母是算式中兩個分母的乘積，分子是算式中兩個分母的和或差，運用這個規律，我們可以使計算簡便。例2 計算下面各題說說你發現了什么？ 1 1 1 1 1 1 1 1

2、 = = - = - = 2 3 4 7 2 3 4 7練一練 在括號里填上合適的數。 1 1 1 1 1 11 = = ( ) ( ) 12 ( ) ( ) 30 1知識點三 一個分數是相鄰兩個自然數的積作分母，形如: ,可以 n×(n1) 1 1 1 1 1把這個分數拆成 - ,即: = - 。利用這個規律可以使 n n1 n×(n1) n n1我們計算簡便。 1 1 1 1 1 1例3 計算 1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 6×7 1 1 1 1 1 1練一練 計算 - - - - 4 20 30 4

3、2 56 72知識點四 一道算式里，第一個加數是1/2，依次每個加數的分母都是前一個分母的2倍，分子都是1，這道算式的結果就是1減去最后一個分數，即計算結果的分母是最后一個分數的分母，分子比分母少1.例4 不用通分，你能很快地算出下面算式的結果嗎？ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 2 4 8 16 32 64 1 1 1 1 1 1 1 1練一練 1- = - = ( ) - = ( ) - = ( ) 2 2 2 3 3 4 4 5 1 1 1 1從上題中你發現了什么？用你的發現計算 2 6 12 201在、四個分數中，第二大的是 .2.有一個分數,分子加1可以約簡

4、為,分子減1可約簡為,這個分數是 3.已知.把A、B、C、D、E這五個數從小到大排列,第二個數是 .4.所有分母小于30并且分母是質數的真分數相加,和是 .5.三個質數的倒數和為,則a= .6.計算,把結果寫成若干個分母是質數的既約分數之和:= .7.將、和分別填入下面各( )中,使不等式成立.( )<( )<( )<( )<( ).8.純循環小數0.abc寫成最簡分數時,分子與分母之和是58,請你寫出這個循環小數 .9.(要求三個加數的分母是連續的偶數).10.下式中的五個分數都是最簡真分數,要使不等式成立,這些分母的和最小是 .11.我們把分子為1，分母為大于1的自

5、然數的分數稱為單位分數.試把表示成分母不同的兩個單位分數的和.(列出所有可能的表示情況).12.試比較2´2´´2與5´5´´5的大小. 301個2 129個513.已知兩個不同的單位分數之和是,求這兩個單位分數之差的最小值.14.(1)要把9塊完全相同的巧克力平均分給4個孩子(每塊巧克力最多只能切成兩部分),怎么分?(2)如果把上面(1)中的“4個孩子”改為“7個孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，為什么？答 案1. 提示,將分子“通分”為72，再比較分母的大小.2. 事實上,所求分數為和的平均數,即(+)¸2

6、=.3. C因為,又,所以D>E>B>C>A,故從小到大第二個數是C.4. 分母是n的所有真分數共有n-1個,這n-1個分數的分子依次為1n-1, 和為,所以分母n的所有真分數之和等于.本題的解為+=+1+2+3+5+6+8+9+11+14=. 5. 131因為231=3´7´11,易知這3個質數分別為3,7和11,又+=,故a=131.6. .原式=,令,則19´a+7´b=83,易見a=4,b=1,符合要求.7. .提示:各分數的倒數依次為,.8. 0.5670.abc化為分數時是,當化為最簡分數時,因為分母大于分子,所以分母

7、大于58¸2=29,即分母是大于29的兩位數,由999=3´3´3´37,推知999大于29的兩位數約數只有37,所以分母是37,分子是58-37=21.因為,所以這個循環小數是0.567.9. 4,6,8.令(a為偶數).由，得，故a=2或4，a=2時，不合題意，因此，.10. 40提示:.11. 令,則.所以.由a、b為整數，知為整數，即a-6為36的約數，所以,2,3,4,6,9,12,18,36.所以a=7,8,9,10,12,15,18,24,42,相應地b=42,24,18,15,12,10,9,8,7.注意到,所有可能情況為.12. 因為301=43´7,129=43´3,所以>.13. 令,且a<b,由=+知a<24<b.依題意, a盡可能大.