1、2022專題4:圓與相似含答案專題：圓與相似(1)1 .如圖,AB是OO的直徑,弦CD!AB于H.點 G在.O上,過點G作直線EF,交CD延長線于 點E,交AB的延長線于點F.連接AG交CD于K, 且 KE= GE(1)判斷直線EF與OO的位置關系,并說明理 由； _假設 AC/ EF, AC I,F巳 1, 求.o的半徑.(T/xL2 .如圖,PB為OO的切線,B為切點,直線PO 交.于點E, F,過點B作PO的垂線BA垂足為 點D,交OO于點A,延長AO與.O交于點C, 連接BC, AF.(1)求證：直線PA為OO的切線;(2)試探究線段EF, OD OP之 間的等量關系,并加以證實；(3

2、)假設 BC= 6, tan / F=；,求cos/ACB的值和線段PE的長.3 .如下圖,AB是.O的直 徑,AE是弦,C是劣弧AE的 中點,過C作CD!AB于點D, CD交AE于點F,過C作CG/AE交BA的延長線于點G連接OC交AE于點H.(1)求證：GCL OC(2)求證：AF=CF(3)假設/ EAB=30 , CF=2,求 GA的長.4 .如圖,在 ABC AB=AC以AB為直徑的.O 分別交AG BC于點D、E,點F在AC的延長線上,且/ cbf-ab(1)求證：直線BF是.O的切 線；(2)假設 AB=5 sin /CBF=1, 求BC和BF的長.CFOMD5 .如圖,O O的

3、弦AB=3直徑CCL AB于 M, OM : MD =3 : 2, E 是劣 弧CB上一點,連結CE并延長交C 的延長線于點F.求：(1).的半徑；(2)求CECF的值.6 .如圖,在 ABP中,C是BP邊上一點,/PACW PBA OO是ABC的外接圓,AD是.O 的直徑,且交BP于點E.(1)求證：PA是.O的切線；(2)過點C作CF,AD垂足為點F,延長CF交AB于點G,假設AG?AB=12求AC的長；(3)在滿足(2)的條件下,假設 AF: FD=1: 2, GF=1求OO的半徑及sin / ACE勺值.7 .如圖,在ABGK /C=90° ,、AC=3 BC=4.必 BC&

4、amp;上一點,以 0<為圓心,O的半徑作半圓與BCi .f7、 和A他分別交于點R點E,連接 C "°DE(1)當BD=3寸,求線段DEE勺長；(2)過點日乍半圓O勺切線,當切線與ACi相交 時,設交點為F.求證： FA虛:等腰三角形.8 .如圖,在ABGK / C=90° , / ABC勺平分線交ACT點E,過點曰BE 的垂線交ABT點F,.渥ZBEF勺外 接圓.(1)求證：AO OOB勺切線；(2)過點E彳EFUAB,垂足為H,求證：CD=HF (3)假設CD=1 EH=3 求BF及AFK.9 .如圖,BD0 cB勺直徑,OAL OB 蛇劣弧 上 一點

5、,過點M乍.0勺切線M哀OA 的延長線于P點,MDf O膠于N點.(1)求證：PM=PN(2)假設BD=4 PA=AQ 過點 BBC/ M咬OCTC 點,求BC勺長.10 .如圖是一個量角器和一個含30°角的直角三 角板放置在一起的示意圖,其中點 昭半圓C勺直 徑DE勺延長線上,ABH半圓CT點F,且BC=CE(1)求證：DE/CF;(2)當CE=2寸,假設以Q B, F為頂點的三角形與 ABC目似,求CB勺長；(3)假設CE=2移動三角板ABCa使A他始終與半 圓5目切,直角頂點 昭直徑DE勺延長線上移動, 求出點眼動的最大距離.11 .如圖,AR A6別是.O勺直徑和弦,點 防

6、劣弧ACh一點,弦DHA的別交.CTE,交AB于H,交ACTF. 譚ED®長線上一點且PC=PF(1)求證：PO OC勺切線；(2)點疏劣弧AC十么位置時,才能使AD2=DE?D F為什么？(3)在(2)的條件下,假設CH=1AH=2求弦AC的長.12 .如圖,在ABC, /ABC=90 ,以 AB的中點.為圓心、CA為半徑的圓交AC于點D, E是BC的中點,連接DE, CE(1)判斷DE與OC的位置關系,并說明理由；(2)求證：BC2=CD?2CE(3)假設 cosZ BAD= BE=q求CE的長.專題：圓與相似答案1. (1)相切,理由見解析；(2) 4.(1)如圖,連接OG ,

7、 O七 og / ogaf /oag. . CDL AB, /AKM /OAG= 90kKEg GE ./ KGE= Z GKtE= /AKH. / KG曰 / OGA= / AKM / OAG= 90° / OG290° ,即 OGLEF.又二 G在圓O上,EF與圓O相切.(2) v AC/ EF,=/ CAH Rt AHCs/ FRt FGO CH OG AC OF在 RtZXOAH, Ah設 AH= 3t ,那么 AC= 5t ,AC 5C+ 4t . CH 4. OG 4* * AC 5'* * OF 5'FB= 1.金 4,解得：OG= 4.OG

8、1 5),圓O的半徑為4.考點：1.等腰三角形的性質；2.切線的判定；3,相似三角形的判定與性質.2. 1證實見解析；2 EF=4OD?OP證實見解析；3 3,小, 53【解析】試題解析：1如圖,連接OB.PB是.O的切線,./ PBO=90 .; OA=OB BM PO于 D,. AD=BD / POA= POB.又, PO=PO PA堡APBOSAS ./ PAOW PBO=90 ,直線PA為.O的切線.(2) EP=4OD?OP證實如下：. /PAO= PDA=90 , ,/OAD+ AOD=90, /OPA+ AOP=90ODOA ./OADWOPA. .OADo OPA.器oA=od

9、?op又 EF=2OAeF=4OD?OP(3),. OA=OCAD=BDBC=6,0=3(三 角形中位線定理).設 AD=xtan/F=ADR . .FD=2x 0A=0F=2x 3.在RtZXAO沖,由勾股定理,得(2x-3)2=x2+3, 解得,xi=4, X2=0 (不合題意,舍去).：AD=4 0A=2x- 3=5. AC是.0直徑,./ ABC=90 .又. AC=2OA=10BC=6 . .cos/ACB型 9 3 )AC 10 5 . OA=OD?OP.3 (PE+5 =25. .PE除3.試題解析:C(1)證實：如圖,連結oc 是劣弧AE的中點,/.OCL AE, CGI AE

10、, .CGL OCCG是OO的切線；(2)證實：連結AC BC.AB是.0的直徑, ./ACB=90 , / 2+/ BCD=90 ,而 CDL AB, / B+/ BCD=90 ) / B=/ 2,AC 弧=CE 弧) ./ 1=/ B, ./ 1=/ 2, .AF=CF(3)解：在 RtZXADF中,/DAF=30 ) FA=FC=2 .DF=LAF=1, 2 .AD=QDF=Q,. AF/1 CG .DA AG=DF CF,即同 AG=1 2, ,AG=,3.4. (1)證實：連接AE,AB是.O的直徑, /AEB=90 )./ 1 + / 2=90° . ; AB=AC =

11、/1=2/2CAB J / CBF=1 / CAB./ 1 = /CBF ./ CBF+/2=90° ,即 / ABF=90 , 丁 AB 是.O 的直徑,直線BF是.O的切線.(2)過點 C 作 CGL AB 于 G sin / CBF=5 ,5 '/1=/ CBF,sin/1=F /在 RtZXAEB中,/AEB=90 , AB=q . BE=AB?sinZ 1=把,. AB=AC /AEB=90 )BC=2BE=/5,在 Rt/XABE中,由 勾股定理得 AE=ab2 be2 =275,sin /2=些=年,7AB 5cos/2=H=3 在 RCBG中,可求得 GC=4

12、GB=2,AG=3 '.GC/BF,.AGSAABF5GC = AGBF - ABBF=GC ABAG203考點：1 ,切線的判定與性質；2,勾股定理；3,圓 周角定理；4.相似三角形的判定與性質；5.試題解析：(1)如圖,連接AO. OM MD=3:2 =可設 OM=3c, MD=2k (k >0), 那么 OA=OD=5 k.又,.弦 AB=& 直徑 CDLAB于 M,AM=4.在RtZXOAMK 由勾股定理可得：k=1 .,圓O的半徑為5 .(2)如圖,連接AE由垂徑定理可知：AEC= CAF又 ACF=ACF.AC& FCA.絲 里,即 ,CF AC ?1

13、aC=cecf.在Rt ACM中,由勾股定理可得：AC=AI2+CM=16+64=80 ). CECF=80.6.解：(1)證實：連接CD/ADb.0的直徑,./ ACD=90 .c C CAD+ ADC=90.又 J / PAC= PBA / ADC= PBA. / PAC= ADC . / CADy PAC=90. PA ± 0A又.AD是慶、.0的直徑,PA是.0的切線.01力(2 )由 一 (1)知,PA! AD,又 CF/ PACAD CF/ PA . / GCA=PAC? PBA = / GCAWPBA又 / CAG= BAC CAS BAC即 AC=AG?ABAG?AB

14、=12 . AC=12.AF=x. AF: FD=1: 2,.FD=2%,AD=AF+FD=3x 在 RtZXACD 中,; CF± AD,AC=AF?AD 即 3x2=12o解得；x=2o,AF=2, AD=6,OO半徑為 3.在 RtZXAFG中,v AF=2, GF=1.二根據勾股定理得：AG JAF2 GF2,22 12娓由2知,AG?AB=12 . AB1212.5AG 5連接BD.AD.0的直徑,./ ABD=90 .在 RtZXABD中,sin /ADB也,AD=6 ab 亞, 7AD 7r 5sin /ADB 5. /ACE=ACBhADB ,sin/ACE=7. (

15、1)解：./ C=90° , AC=3 BC=4.AB=5 .DB為直徑,ABCBDAB ' /DEB= C=90 , 又/ B=/ B, .DB中 匹一 一 AC.DE=即匹=3, 3 5,(2)證法一：連接OE .EF為半圓O的切線, / DEO+ DEF=90 ) / AEW DEO . DB曰 A ABC / A=/ EDB又,/ EDO=DEO /AEWA, .FAE是等腰三角形； 證法二：連接OE EF為切線, /AEF吆 OEB=90 ) . /C=90° ,./A+/ B=90° , .OE=O B / OEBW B, /AEW A, .F

16、AE是等腰三角形.8.證實：1如圖,連接OE圓O的直徑.分/ABC/OBE./ OBE=OEBBE! EF, . / BEF=90 .BF是 . BE平 ./ CBE= . OB=O E./ OEBW CBE . OEI BC ./AEOW C=90 , . AC是OO的切線； 如圖,連結DE/CBEW OBE EC± BC 于 C, EHL AB 于 H,.EC=EH,/ HFE廿 BDE=180 ,P / CDEM BDE=180./ CDE= HFE在CDEf HFE 中,. .CD國 AHFE(AAS, .CD=HF(3)由(2)得 CD=HF 又 CD=1 .HF=1在 R

17、tZXHFE中)EF432 + 12=屈, v EF± BE . / BEF=90 ),/EHFg BEF=90 ) / EFH2 BFE,.EHS ABEF,EF HFV10BF EFBF=1QOE=BF=5 OH=5-1=4RtZXOH即,cos/ EOA=RtZXEOA中,cos/ EOA=E=,>OA ).o唁,/. AF=5-5=. 49. (1)證實：連接OM.M呢圓的切線,.OMLPM / OMD + DMP=90 ,.O從OB / OND +ODM=90, , / MNP= OND / ODM= OMD ./ DMP =MNP .PM=P N(2)解：設 BC交

18、 OMT E,. BD=4 OA=OB=BD=2 .PA=3 .PO=5,. BC/1 MP OML MP OML BC,BE=BC / BOM + MOP=90)在直角三角形OM呻,/MPO +MOP=90) . / BOM= MPO ,/ BEO= OMP=90)/. AOMPABEO.OM BE 目口 BE 一=即=)OP BO'2 '解得：BE=.BC=10.1證實：連接OFOF/DE B AB切半圓O于點F, OF是半徑,ABC=90 , OFB力 ABCBCBC=OE OE=OFBC=OFOFB=90 ,四邊形OBC屋平行四邊形, DE/1 CF;(2)解：假設 O

19、BSAACB.OB AC 一=一)OF AB ' .OB=, / A=30° ) / ABC=90 ) BC=OE=2 .AC=4 AB=“.又 OF=OE=2 OB=, OB=2V3 一,假設 ABO曰 AACBOB AC/.一=一OF BC,.OB=cq4月向2 OB=-2=4;綜上)OB或4;(3)解：畫出移動過程中的兩個極值圖, 由圖知：點B移動的最大距離是線段 BE的長, . / A=30° ). / ABO=30 ) b BO=4 = BE=2 點B移動的最大距離是線段BE的長為2.11. (1)證實：連接OC. PC=PF OA=OC./ PCA=/PFC / OCA =OAC AFH DEL AB