1、新思維軸對稱講義 【學習目標】本章主要介紹軸對稱和軸對稱圖形，研究圖形的一種特殊的對稱以及其性質。進一步詳細介紹線段、角、等腰三角形、等腰梯形的對稱性。【學習重點、難點】等腰三角形、等腰梯形的軸對稱性。【探究過程】1.軸對稱：如果把一個圖形沿著 后，能夠 重合，那么這兩個圖形關于這條直線成軸對稱，這條直線叫做 ，兩個圖形中的對應點叫做 。lAB2.軸對稱圖形：如果把一個圖形沿著 ，直線兩旁的部分能夠 ，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做 。3.軸對稱的性質： 成軸對稱的兩個圖形 。如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是 。4線段的垂直平分線：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分

2、線。（也稱線段的中垂線） lABM5線段的軸對稱性：線段是軸對稱圖形，對稱軸有兩條，一條是 ，另一條是 。線段的垂直平分線上的點到 相等。到 的點，在這條線段的 上。結論：線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合6角的軸對稱性：角是 圖形，對稱軸是 。角平分線上的點到 相等。到 的點，在 上。結論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點的集合7等腰三角形：有 的三角形叫等腰三角形，其中相等的邊叫做腰，另一條邊叫做底。等腰三角形是 ，對稱軸是 。等腰三角形 相等， 相等（簡稱 ）；等腰三角形的 互相重合。（三線合一）8如果一個三角形 ，那么 （簡稱 ）；9等邊三角形是特殊的 ，具備 的一切性質

3、。除此之外，等邊三角形有 ， ， 。10等邊三角形的判定： 是等邊三角形； 的三角形是等邊三角形； 是等邊三角形。11 的四邊形叫做梯形。平行的兩條邊叫做梯形的上底和下底，不平行的兩條邊叫做腰。腰和底的夾角叫做底角。兩底之間的距離叫做梯形的高。12 叫做等腰梯形。13等腰梯形是 ，有一條對稱軸，是 。等腰梯形 ， ，對角線 。14等腰梯形的判定： 的梯形是等腰梯形； 的梯形是等腰梯形；【等腰、等邊、等腰梯形】1、下列說法正確的是（ ） A、等腰三角形的一個角的平分線是它的對稱軸;B、有一個內角是60°的三角形是軸對稱圖形;C、等腰直角三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是斜邊上的中線所在的

4、直線;D、等腰三角形有三條對稱軸2、（1）已知等腰三角形的兩邊長分別是4和6，則第三邊的長是 （2）已知等腰三角形的兩邊長分別是4和9，則周長是 （3）已知等腰三角形的周長為8，邊長為整數，求這個三角形的腰長 （4）知等腰三角形的腰長為10，腰上的高為6，則它的底邊的長為 （5）若等腰三角形的周長是20cm ,一邊長是6cm, 其他兩邊的長為 （6）在等腰三角形中一個角是700，則另兩個角分別為 （7）若等腰梯形的三邊分別為3、4、11，則這個等腰梯形的周長為 （8）等腰梯形的對角線互相垂直且長度為3，則梯形的面積為 ，高為 （9）等腰梯形的上底是4cm，下底是10cm，一個底角是，則等腰梯形

5、的腰長是 （10）正方形ABCD內一點P與點A、B組成等邊三角形，則三角形PCD三個內角的度數分別 為 、 、 . （11）如圖，ABC中，AB=AC，ABC=36°，D，E為BC上的點，且BAD=DAE=EAC，則圖中共有等腰三角形 個 （12）已知ABC中BAC=140°，AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F.則EAF= （13）已知ABC中AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E.已知BEC的周長是16，ABC的周長為 （14） 如圖所示，P是等邊ABC內的一點，且PAPBPC =345，則APB= （15）如圖所示，在ABC中， AB的垂直平分線分別交AB

6、、BC于點M、E；AC的垂直平 分線分別交AC、BC于點N、F，如果B=27°，BAC=2C，EAF的度數 若BC=28cm，那么AEF的周長= ACPB【對稱最值專題】1.1、已知直線及其兩側兩點A、B，如圖.（1）在直線上求一點P，使PA=PB；（2）在直線上求一點Q，使平分AQB 1.2、如圖所示，已知 AOB及點M,在AO，BO分別找一點P，Q，使得MP+MQ最短。 1.3、如圖：已知AOB和C、D兩點，求作一點P，使PC=PD，且P到AOB兩邊的距離相等AC··DOB1.4 如圖，已知平面直角坐標系中，A,B兩點的坐標分別為A(2，-3),B(4，-1)

7、.(1) 若P(x，0)是x軸上的一個動點，當PAB的周長最短時，求x的值。(2) 若C（a，0），D（a+3,0）是x軸上的兩個動點，當四邊形ABCD的周長最短時，求a的值。(3) 設M,N分別為x軸y軸上的動點，問：是否存在這樣的點M（m，0）和（0，n），使四邊形ABMN的周長最短？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由。 2、如圖，若AOB=45°，其內部有一點P，OP=10，在AOB的兩邊上有點Q,R（均不同于O），則PQR周長的最小值為_.（河南省中考題）3、如圖，在ABC中，AB=BC=2，ACB=90°,D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC+E

8、D的最小值是_.（河南省中考題）4、 在直角坐標系中，已知兩點A(-8，3),B(-4，5)以及動點C（0，n），D（m，0），則當四邊形ABCD的周長最小時，比值為 5、河岸l同側的兩個居民小區A,B到河岸的距離分別為a米，b米（如圖所示，AA´=a米，BB´=b米），A´B´=c米，現欲再河岸邊建一個長度為s米的綠化帶CD（寬度不計），使C到小區A的距離為與D到小區B的距離之和最小。（江蘇省競賽題）（1） 在圖中畫出綠化帶的位置，并寫出畫圖過程；（2） 求AC+BD的最小值。【對稱中的動點專題】1、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AD3，CD5，B

9、C10，梯形的高為4動點M從B點出發沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動設運動的時間為t(秒)(1)當MNAB時，求t的值；(2)試探究：t為何值時，CMN為等腰三角形2、 如圖，在RtABC中，C=90°，AB =20，AC=10，點M在邊AB上，且AM=6：（1） 動點D在邊AC上運動，且點A、C均不重合，設CD=x。 設ABC與ADM的面積之比為y，求y與x之間的函數關系式；（寫出自變量x 的取值范圍） 當x取何值時，ADM是等腰三角形？寫出你的理由；（2） 如圖，在以圖中的直角邊為一組鄰邊的矩形中，

10、動點D在矩形邊上運動一周，能使AMD是以M為頂角的等腰三角形共有多少個？3、如圖所示，在梯形ABCD中，AD/BC，A= ，AD=21，BC=24，點M從點A開始沿AD邊向點D以1/的速度移動，點N從點C開始沿CB邊向點B以2/的速度移動，如果M、N兩點分別從A、C同時出發，試探索：經過多長時間梯形MBND為等腰梯形。 3、如圖，在等腰梯形中，等腰直角三角形的斜邊，點與點重合，和在一條直線上，設等腰梯形不動，等腰直角三角形沿所在直線以的速度向右移動，直到點與點重合為止（1）等腰直角三角形在整個移動過程中與等腰梯形重疊部分的形狀由 形變化為 形；（2）設當等腰直角三角形移動時，等腰直角三角形與等

11、腰梯形重疊部分的面積為，求與之間的函數關系式；（3）當時，求等腰直角三角形與等腰梯形重疊部分的面積A（N）MPDCBANMPDCB 【軸對稱雜題】1、如圖，在矩形ABCD中，將ABC繞AC對折至AEC位置，CE與AD交于點F，試說明EF=DF.2、如圖，在ABC中，C=90°,BC=6，D,E分別在AB,AC上，將ABC沿DE折疊，使點A落在點A´處，若A´為CE的中點，則折痕DE的長為 （河北省中考題）3、如圖，在MON的兩邊上順次取點，使 DE=CD=BC=AB=OA，若MON=22°，則NDE= .4、（高中恰存在、最多問題）在MAN中加入長度相同

12、的小棒，已知AB=BC=CD=DE=EF=., （1） 此角中只能放3根，求范圍？（2） 此角中恰能放6根，求范圍？（3） 此角至少能放9跟，求范圍？5、如圖，在ABC中，A=45°，邊AC的垂直平分線交邊AB于E點，交CB的延長線于F點，垂足為D (1)求CEF的度數；（2）若AB=AC,試比較EC與EF的大小，說明理由；（3）若EC=EF，試比較AB與AC的大小，說明理由6、如圖，四邊形ABCD中，BAD=120°,B=D=90°,在BC,CD上分別找一點M,N，使AMN周長最小時，則AMN+ANM的度數為（ ）(2012年蘭州市中考題) A130°

13、 B120° C 110° D 100° 7、在平面直角坐標系中，直線LG過點M(3，0),且平行于Y軸。（南京市中考題）（1） 如果ABC三個頂點的坐標分別是A(-2，0),B(-1，0),C(-1，2)，ABC關于Y軸對稱圖形是,關于直線L的對稱圖形是,寫出的三個頂點的坐標；（2） 如果點P的坐標是（-a,0）,其中a0,點P關于Y軸的對稱點是點,點關于直線L的對稱點是點,求P的長。試一試 對于（2），隨著a的取值不同，與M有不同的位置關系。8、（1）已知：如圖，AB=AC，BD平分ABC，CD平分ACB，過D作EFBC交AB于E，交AC于F，則圖中有幾個等腰

14、三角形?選出其中一個進行說理。（2） 如圖，AB=AC，BF 平分ABC交AC于F，CE平分ACB交AB于E，BF和BE交于點D，且EFBC，則圖中有幾個等腰三角形?（3）如圖，若將第7題中的AB=AC去掉，其他條件不變，情況會如何?若ABC的周長為17，BC7，你能求出AEF的周長嗎？ 【打桌球趣味】1、如圖，在長方形球臺ABCD上，現在要擊打P球，使它依次碰撞球臺的AB邊，BC邊，CD邊，AD邊后，恰好撞到Q球，求P求打擊的路線。解 作法：（1） 作點P關于AB的對稱點，再作點關于BC的對稱點；（2） 作點Q關于AD的對稱點,再作點關于DC的對稱點;（3） 鏈接，分別交BC,CD于F,G,

15、鏈接F交AB于點E,G交AD于點H，折線PEFGHQ即為所求的路線。需要指出的是，上面求得的路線，恰好也是一條最短的路線。拓展 （1）如圖，當母球P再AB邊中（不包括點A,B），先撞擊BC邊，反射到CD邊，再反射到AD邊，最后回到出發點，問母球P的初始路線應該滿足什么條件？（2） 如圖，給出一張長，寬分別為a，b（=）的臺球桌，母球P從桌的一個角落，以45°角擊出，再桌子邊緣回彈若干次后，最終必將落入角落的一個球袋，問球落入球袋前，再桌子邊緣回彈多少次？2、如圖是一個精光改造的臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔。如果一個球按如圖中所示的方向被擊出（球可以經多次

16、反射），那么該球最后將落入的球袋是（ ）（河北省中考題）3、 臺球室一項高雅的體育運動，其中包含了許多物理學，幾何學知識。如圖是一個臺球桌，目標球F于本球E之間有一個G球阻擋。（蘇州市中考題）（1） 擊球者想通過擊打E球先撞擊球臺的AB邊，經過一次反彈后再撞擊F球，他應將E球打到AB邊上的哪一點？請在圖中用尺規作出這一點H，并作出E球的運動路線（不寫畫法，保留作圖痕跡）；（2） 如圖，現以D為原點，建立直角坐標系，記A（0,4）,C(8，0)E(4，3),F(7，1),求E球按剛才方式運行到F球的路線長度（忽略球的大小）4、如圖，一個臺球桌是直角三角形的，如果從斜邊上某點朝著垂直于斜邊的方向擊

17、出臺球，那么球再其他兩個直角邊上反彈后，又能回到斜邊上，請證明：臺球滾過的距離長于擊球點的位置無關（臺球反射時服從入射角等于反射角的規律）（俄羅斯薩文市競賽題）【直角三角形初步探討】解讀課標直角三角形是一類特殊三角形，有以下豐富的性質：角的關系：兩銳角互余；邊的關系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和；邊角關系：30°所對的直角邊等于斜邊的一半。這些性質廣泛應用于線段計算，證明線段倍分關系，證明線段平方關系等方面。熟悉下列基本圖形，基本結論：1、我們知道 3，4,5是最簡單的勾股數，折表明三邊長為連續整數的直角三角形是存在的，并且只有一個（為什么？），由此研究邊長為連續整數的三角形。問題

18、：（1） 三邊長為連續整數的鈍角三角形存在嗎？如果存在，有多少個？（2） 三邊長為連續整數的銳角三角形存在嗎？如果存在，有多少個？分析與解 對于（1），設三遍長分別是x-1，x，x+1（x為大于1的整數），則（x+1）x+（x-1），整理得x（x-4）<0.0<x<4，x=2,3當x=2時，邊長為1，,23的三角形是不存在的故三邊長為連續整數的鈍角三角形也只有一個，這個猜想是錯誤的。實際上，這種銳角三角形有無數個，只要設x為大于4的整數，那么以x-1，x，x+1為三遍的三角形都為銳角三角形，（為什么？）2、 用直角邊分別為3和4的兩個直角三角形拼成凸四邊形，所得的四邊形的周長

19、是 3、有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別是6m，8m。現在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的三角形，則擴充后等腰三角形的周長為 4、在銳角三角形中，已知某兩邊a=1，b=3，那么第三邊的變化范圍是 5、如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A,B的坐標分別為（3,0），（3,4），動點M,N分別從O,B同時出發，以每秒1個單位的速度運動，其中，點M從O點出發沿OA向終點A運動。點N從B出發沿BC向終點C運動，過點N作NPBC,交AC于P,連MP,若M,N兩動點運動了x秒。（蘇州市中考題）（1） 設MPA面積為y，試求y與x的函數關系試；（2） 請你探索：當x為何值時，MPA是一個等腰三角形？【等邊三角形的探討】等邊三角形是特殊的等腰三角形，有以下豐富的性質：1. 三邊相等，每個角都是60°；2. 每條邊上的高線，中線，所對角的平分線互相重合；3. 等邊三角形內任意一點到三遍距離和是一個定值，等于一邊上的高。4. 若等邊三角形的邊長為a，則等邊三角形的面積為 判定等邊三角形的基本方法有：1. 從邊入手，證明三邊相等；2. 從角入手，證明三角形相等或證明兩個角都是60°；3. 從邊角入手，有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形。雙等邊三角形以一個點為頂