1、教材高考·審題答題（六）,概率與統計熱點問題 教材高考審題答題（六） 概率與統計熱點問題 熱點預測 真題印證 核心素養 概率的運算，隨機變量的分布列、均值與方差 2021全國，理 6，15；2021全國，理 18； 2021全國，理 20；2021全國，文 19； 2021全國，理 8；2021全國，理 8； 2021全國，文 11；2021全國，文理 18 數學建模、 數學運算、 數據分析 統計與統計案例 2021全國，文 17；2021全國，理 5，13； 2021全國，文 19；2021全國，3，17； 2021全國，理 3；2021全國，18； 2021全國，18；2021全

2、國，文 14； 2021全國，文 19；2021全國，理 13； 2021全國，理 3； 數學建模、 數學運算、 數據分析 概率與統計的綜合問題 2021全國，理 21；2021全國，理 19； 2021全國理 18，文 19 數學建模、 數學運算、 數據分析 教材鏈接高考概率的運算，隨機變量的分布列、均值與方差 教材探究 1.(必修 3p100 例 1) 一只口袋中裝有大小相同的 5 只小球，其中 3 只白球、2 只黑球.從中一次摸出 2 只球. （1）共有多少個基本事件？（2）摸出的 2 只球都是白球的概率是多少？ 2.(選修 2-3 p69 例 1) 高三（1）班的聯歡會上設計了一項游戲

3、，在一個口袋中裝有 10 個紅球、20 個白球，這些球除顏色外完全相同.某學生一次從中摸出 5 個球，其中紅球的個數為 x ，求 x 的數學期望. 試題評析 （1）本題是古典概型問題，可以通過列表窮舉等的方法找尋基本事件，再從中選出符合要求的事件情形，通過"數'的方法，計算概率. （2）本題隨機變量 x 為 5 個球中紅球的個數，由于共有 30 個球，其中紅球有 10 個，所以符合超幾何分布模型，分布列為510 20530( )i iic cp x xc-= = （ 0 1 2 3 4 5 i = ， ）， 繼而利用50( ) ( )iie x i p x= ×&#

4、229;算出 x 的數學期望. 教材中的這兩題是一脈相承的，分別在必修與選修中出現同樣是摸球問題，后題涉及到的 球的數量較大，計算概率時要用到組合數公式，并在此基礎上研究隨機變量的數學期望，可以說是遵循數學的發展和學習的需要.在解題過程中凸顯數學建模、數學運算和數據分析等數學核心素養 【教材拓展】(2021天津卷 16)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為 24，16，16現采用分層抽樣的方法從中抽取 7 人，進行睡眠時間的調查 (1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？ (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，現從這 7 人中隨機抽取 3 人做進一步的身

5、體檢查 用 x 表示抽取的 3 人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量 x 的分布列與數學期望； 設 a 為事件"抽取的 3 人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工'，求事件 a發生的概率 【鏈接高考】(2021天津卷理 16) 設甲、乙兩位同學上學期間，每天 7：30 之前到校的概率均為23.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立. （1）用 x 表示甲同學上學期間的三天中 7：30 之前到校的天數，求隨機變量 x 的分布列和數學期望； （2）設 m 為事件"上學期間的三天中，甲同學在 7：30 之前到校的天數比乙同學在 7：30 之

6、前到校的天數恰好多 2'，求事件 m 發生的概率. 教你如何審題統計與統計案例 【例題】 (2021全國理 18) 海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取 100 個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： 利用相互獨立事件概率公式 利用公式計算2k與臨界值比較 利用中位數估值公式 利用頻率 估計概率 計算直方圖面積 得到相應頻數 計算直方圖面積 得到相應頻數 （1）設兩種養殖方法的箱產量相互獨立，記 a 表示事件"舊養殖法的箱產量低于 50kg，新養殖法的箱產量不低于 50kg'，估計 a 的概率； （2）填寫

7、下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有 99%的把握認為箱產量與養殖方法有關： 箱產量 < 50kg 箱產量 50kg 舊養殖法 新養殖法 （3）根據箱產量的頻率分布直方圖，求新養殖法箱產量的中位數的估計值(精確到 001) 附： 2( ) p k k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 22( )( )( )( )( )n ad bcka b c d a c b d-=+ + + + 審題路線 新養殖法 舊養殖法頻率/組距箱產量/kg 箱產量/kg頻率/組距0 35 40 45 50 55 60 65 700.0680.0460.0440.0200

8、.0100.0080.00470 65 60 55 50 45 40 35 30 25 00.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012填寫 2 2 ´ 列聯表 分析頻率分布 直方圖 分析頻率分布 直方圖 事件 a 的概率 填寫 2 2 ´ 列聯表 求2k 的值并判斷 判斷中位數所在 區間 估算中位數 自主解答 探究提高 1.本題主要考查頻率分布直方圖、相互獨立事件的概率、獨立性檢驗和中位數等統計中的相關知識，突出數形結合思想和數據分析等核心素養，準確計算是求解的關鍵. 2.需要熟練掌握分析頻率分布直方圖計算頻率、用頻率估計概率以及估算中位數等方法，

9、掌握相互獨立事件的概率公式，會利用 2 2 ´ 列聯表計算2k 的值. 3.本題涉及統計與統計案例中的相關知識，解題時需要能正確認識統計圖表并會利用圖表中信息進行計算. 【嘗試訓練】(2021山東高考模擬卷 20) 滿分答題示范概率與統計的綜合問題 【例題】 (12 分)(2021全國理 19)為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取 16 個零件，并測量其尺寸(單位：cm)根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布2( , ) n m s (1)假設生產狀態正常，記 x 表示一天內抽取的 16 個零件中其尺寸在 ( 3

10、, 3 ) m s m s - + 之外的零件數，求 ( 1) p x 及 x 的數學期望； （2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在 ( 3 , 3 ) m s m s - + 之外的零件，就認為這條生產線 在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查 試說明上述監控生產過程方法的合理性； 下面是檢驗員在一天內抽取的 16 個零件的尺寸： 995 1012 996 996 1001 992 998 1004 1026 991 1013 1002 922 1004 1005 995 經計算得16119.9716iix x= =å，16 162 2 21 11 1(

11、 ) ( 16 )16 16i ii is x x x x= = - = -å å 0.212 » ，其中ix 為抽取的第 i 個零件的尺寸， i =1，2，16 用樣本平均數 x 作為 m 的估計值 m ，用樣本標準差 s 作為 s 的估計值 s ，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除 之外的數據，用剩下的數據估計 m和 s (精確到 001) 附：若隨機變量 z 服從正態分布2( , ) n m s ，則 ( 3 3 ) p z m s m s - < < + = 0997 4，160.9974 0.9592 » ， 0.0

12、08 0.09 » 規范解答 (1)抽取的一個零件的尺寸在 ( 3 , 3 ) m s m s - + 之內的概率為 09974， 從而零件的尺寸在 ( 3 , 3 ) m s m s - + 之外的概率為 00026，故 (16,0.0026) x b 因此16( 1) 1 ( 0) 1 0.9974 0.0408 p x p x ³ = - = = - = 2 分 (得分點 1) x 的數學期望為 16 0.0026 0.0416 ex = ´ = 4 分 (得分點 2) （2）如果生產狀態正常，一個零件尺寸在 ( 3 , 3 ) m s m s - + 之外

13、的概率只有 00026，一天內抽取的 16 個零件中，出現尺寸在 ( 3 , 3 ) m s m s - + 之外的零件的概率只有 00408，發生的概率很小因此一旦發生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監控生產過程的方法是合理的 6 分 (得分點 3) 由 9.97, 0.212 x s = » ，得 m 的估計值為 9.97 m = ， s 的估計值為 0.212 s = ，由樣本數據可以看出有一個零件的尺寸在 ( 3 , 3 ) m s m s - + 之外，因此需對當天的生產過程進行檢查 8 分 (得分點

14、 4) 剔除 ( 3 , 3 ) m s m s - + 之外的數據 922，剩下數據的平均數為 1(16 9.97 9.22) 10.0215´ - = ，因此 m 的估計值為 1002 9 分 (得分點 5) 162 2 2116 0.212 16 9.97 1591.134iix= ´ + ´ »å， 10 分 (得分點 6) 剔除 ( 3 , 3 ) m s m s - + 之外的數據 922，剩下數據的樣本方差為 2 21(1591.134 9.22 15 10.02 ) 0.00815- - ´ » ， 因此 s

15、 的估計值為 0.008 0.09 » 12 分 (得分點 7) 高考狀元滿分心得 得審題分：本題作為實際應用題，正確審題并準確轉化是解題的前提在第(1)問中，需要讀懂 ( 3 3 ) p z m s m s - < < + =0997 4 的含義，從而計算 ( 1) p x 及 x 的數學期望在第(2) 問中，需要理解方法的合理性與否是根據發生概率的大小作判斷，所以答題要有理由的陳述 得關鍵分：得分點 1 是一個關鍵分，涉及到后續的 x 的數學期望計算和第(2) 問的作答得分點 4 是另一個關鍵分，要準確算出 9.97 m = ， 0.212 s = 并由此判斷有一個零

16、件的尺寸在 ( 3 , 3 ) m s m s - + 之外 (1)，(2)驗證 n1，(3)對通項裂項都是不可少的過程，有則給分，無則沒分. 得計算分：概率統計問題涉及計算的準確性是得滿分的根本保證，本題除了得分點 3 之外，其它都是計算分，需要"步步為贏'，確保每一步的計算都準確無誤 構建模板 第一步：理解關聯表達式的含義，求出 ( 1) p x 及 x 的數學期望； 第二步：利用 3 s 原則判斷監控生產過程方法的合理性； 第三步：確定 ( 3 , 3 ) m s m s - + 的取值，以剔除 ( 3 , 3 ) m s m s - + 之外的數據，再用剩下的數據估計 m 和 s 【規范訓練】 (2021石家莊調研)"過大年，吃水餃'是我國不少地方過春節的一大習俗今 年春節前夕，a 市某質檢部門隨機抽取了 100 包某種品牌的速凍水餃，檢測其某項質量指標值，所得頻率分布直方圖如下： （1）求所抽取的 100 包速凍水餃該項質量指標值的樣本平均數