1、考點30 空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1.(2015·浙江高考理科·T2)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是()A.8 cm3 B.12 cm3 C. D. 【解題指南】由幾何體的三視圖判斷原幾何體的構成,再求解.【解析】選C.由題意得,該幾何體為一正方體與四棱錐的組合,所以體積V=23+×22×2=(cm3).2.(2015·浙江高考文科·T2)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是()A.8 cm3 B.12 cm3 C. cm3 D. cm3【

2、解題指南】由幾何體的三視圖判斷原幾何體的構成,再求解.【解析】選C.由題意得,該幾何體為一正方體與四棱錐的組合,所以體積 (cm3).3. （2015·安徽高考文科·T9）一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是 ( )（A） （B） （C） （D）【解題指南】根據三視圖做出幾何體的直觀圖進行計算?！窘馕觥窟xC。由該幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示：其中側面PAC底面ABC，且，由三視圖中所給數據可知PA=PC=AB=BC=，取AC中點O連接PO,BO，則在中，PO=BO=1，可得PB=，所以，故選C。4. （2015·安徽高考理科·

3、T7）一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（ ）A、 B、 C、 D、【解題指南】根據三視圖做出幾何體的直觀圖進行計算?！窘馕觥窟xB。由該幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示：其中側面PAC底面ABC，且，由三視圖中所給數據可知PA=PC=AB=BC=，取AC中點O連接PO,BO，則在中，PO=BO=1，可得PB=，所以，故選B.5. (2015·北京高考理科·T5)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的表面積是()2111正（主）視圖側（左）視圖俯視圖A.     B. C. D.5【解題指南】還原幾何體,分別計算各面的面

4、積,然后求和.ABCDE【解析】選C.還原幾何體如圖所示,SBCD=BC·DE=×2×2=2,SACD=SABD=××1SABC=BC·AE=×2×=,所以表面積為2+2.6. (2015·北京高考文科·T7)某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐最長棱棱長為()111正（主）視圖側（左）視圖俯視圖A.1B.C.D.2【解題指南】作出直觀圖,計算出各棱長比較大小.ABCDE【解析】選C.由三視圖可知AD=BC=CD=DE=EB=1,AE=AC=,AB=.所以最長棱棱長為.7.(2015·天

5、津高考理科·T10) (2015·天津高考文科·T10)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為m3.【解析】由三視圖可知,該幾何體是中間為一個底面半徑為1,高為2的圓柱,兩端是底面半徑為1,高為1的圓錐,所以該幾何體的體積答案:8.(2015·新課標全國卷理科·T6)九章算術是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛

6、米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【解題指南】利用錐體底面的弧長,確定圓錐底面半徑,求出米堆的體積,然后合成斛.【解析】選B.設圓錐底面半徑為r,則=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62229.(2015·新課標全國卷理科·T11)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20,則r=()A.1B.2C.4D.8【解析】選B.由正視圖和俯視圖知,該幾何體是半球與半個圓柱的組合體,圓柱的底面半徑與

7、球的半徑都為r,圓柱的高為2r,其表面積為×4r2+r×2r+r2+2r×2r=5r2+4r2=16+20,解得r=2.10.(2015·新課標全國卷文科·T6)九章算術是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【解題指南】利用

8、錐體底面的弧長,確定圓錐底面半徑,求出米堆的體積,然后合成斛.【解析】選B.設圓錐底面半徑為r,則×2×3r=8,所以r=,所以米堆的體積為=,故堆放的米約為÷1.6222.11.(2015·新課標全國卷文科·T11)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20,則r=()A.1B.2C.4D.8【解析】選B.由正視圖和俯視圖知,該幾何體是半球與半個圓柱的組合體,圓柱的底面半徑與球的半徑都為r,圓柱的高為2r,其表面積為×4r2+r×2r

9、+r2+2r×2r=5r2+4r2=16+20,解得r=2.12.(2015·新課標全國卷理科·T6)一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.B.C.D.【解析】選D.由三視圖得,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,截去四面體A-A1B1D1,如圖所示,設正方體棱長為a,則,故剩余幾何體體積為a3-a3=a3,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為.13.(2015·新課標全國卷理科·T9)已知A,B是球O的球面上兩點,AOB=90°,C為該球面上的動點,若三棱錐O-ABC

10、體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.256【解題指南】當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐O-ABC的體積最大,利用VO-ABC=VC-AOB列出關于半徑R的方程,求出球的半徑,然后求出球的表面積.【解析】選C.如圖所示,當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐O-ABC的體積最大,設球O的半徑為R,此時VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36,故R=6,則球O的表面積為S=4R2=144.14.(2015·新課標全國卷文科·T6)一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體

11、積與剩余部分體積的比值為()A.B.C.D.【解析】選D.由三視圖得,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,截去四面體A-A1B1D1,如圖所示,設正方體棱長為a,則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為15.(2015·新課標全國卷文科·T10)已知A,B是球O的球面上兩點,AOB=90°,C為該球面上的動點,若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.256【解題指南】當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐O-ABC的體積最大,利用VO-ABC=VC-AOB列出關于半徑R的方程,求出球的半

12、徑,然后求出球的表面積.【解析】選C.如圖所示,當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐O-ABC的體積最大,設球O的半徑為R,此時VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36,故R=6,則球O的表面積為S=4R2=144.16.(2015·山東高考理科·T7)在梯形ABCD中,ABC=,ADBC,BC=2AD=2AB=2,將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A. B. C. D. 【解題指南】因為直角梯形ABCD的兩底邊分別為1,2,高AB=1,則以AD為軸旋轉一周所得幾何體是圓柱挖去同底的圓錐(高是一

13、半).【解析】選C.如圖,所得幾何體為一個圓柱挖去一個小圓錐,其體積17.(2015·山東高考文科·T9)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A. B. C. D. 【解題指南】所求幾何體是同底等高的兩個圓錐.【解析】選B.旋轉體是兩個圓錐,其底面半徑為直角三角形斜邊的高,高半徑,故所得幾何體的體積18. （2015·重慶高考理科·5）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【解題指南】解答本題的關鍵是利用三視圖還原幾何體，然后再進行計算，該幾何體為

14、三棱錐和半個圓柱構成的組合體.【解析】選A.由三視圖可知，該幾何體為三棱錐和半個圓柱構成的組合體.由圖中數據可知，三棱錐的體積為，半個圓柱的體積為，所以幾何體的體積為.19. （2015·重慶高考文科·5）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【解題指南】解答本題的關鍵是利用三視圖還原幾何體，然后再進行計算，該幾何體為半個圓錐和一個圓柱構成的組合體.【解析】選B.由三視圖可知，該幾何體為半個圓錐和一個圓柱構成的組合體.由圖中數據可知，半個圓錐的體積為，圓柱的體積為，所以幾何體的體積為.20.(2015·福建高考文科·T

15、9)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于()A.8+2B.11+2C.14+2D.15【解題指南】根據三視圖確定每個面的面積.【解析】選B.由三視圖可知,該幾何體為底面是直角梯形的直四棱柱,所以S=2×(1+2)×1×+2×2+1×2+1×2+×2=11+2.21. (2015·陜西高考理科·T5)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.3 B.4 C.2+4 D.3+4【解題指南】將三視圖復原,此幾何體為半個圓柱體,根據三視圖所給的數據,求出表面積.【解析】選D.該幾何體為圓

16、柱體的一半,可得上下兩個半圓的表面積S1=r2=,側面積S2=2×2+·2r·2=2+4,所以此幾何體的表面積S=S1+S2=+2+4=3+4.22. (2015·陜西高考文科·T5)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.3B.4C.2+4 D.3+4【解題指南】將三視圖復原,此幾何體為半個圓柱體,根據三視圖所給的數據,求出表面積.【解析】選D.該幾何體為圓柱體的一半,可得上下兩個半圓的表面積S1=r2=,側面積S2=2×2+·2r·2=2+4,所以此幾何體的表面積S=S1+S2=+2+4=3+4.二、填空題23.（2015·四川高考文科·T14)在三棱柱中，其正視圖和側視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，設點M,N,P分別是, , 的中點，則三棱錐的體積是_【解題指南】利用三視圖與直觀圖量度關系求解?！窘馕觥康捏w積是答案：24. (2015·