1、“學(xué)”以致用 簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)建模步驟數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中學(xué)習(xí)了一個(gè)數(shù)學(xué)公式后，需要做大量的應(yīng)用題，通過(guò)訓(xùn)練來(lái)加深理解所學(xué)公式。但是在生活中又有多少實(shí)際問(wèn)題是可以 直接套用公式的呢？數(shù)學(xué)建模的引入對(duì)培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力開(kāi)辟了一條有效的途徑，讓中職學(xué)生從中體會(huì)到數(shù) 學(xué)是來(lái)源于生活并應(yīng)用于生活的 .一 模型準(zhǔn)備 先了解該問(wèn)題的實(shí)際背景和建模目的，盡量弄清要建模的問(wèn)題屬于哪一類學(xué)科的問(wèn)題，可能需要用到哪些知識(shí)，然后學(xué) 習(xí)或復(fù)習(xí)有關(guān)的知識(shí)，為接下來(lái)的數(shù)學(xué)建模做準(zhǔn)備。二 模型假設(shè) 有了模型準(zhǔn)備的基礎(chǔ)，要想把實(shí)際問(wèn)題變?yōu)閿?shù)學(xué)問(wèn)題還要對(duì)其進(jìn)行必要合理的簡(jiǎn)化和假設(shè) . 明確了建模目的又掌握了相 關(guān)資

2、料，再去除一些次要因素 . 以主要矛盾為主來(lái)對(duì)該實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化并提出一些合理的假設(shè)。三模型構(gòu)成 在模型假設(shè)的基礎(chǔ)上， 選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具并根據(jù)已知的知識(shí)和搜集的信息來(lái)描述變量之間的關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) （如 數(shù)學(xué)公式、定理、算法等） 。四 模型解析 在模型構(gòu)成中建立的數(shù)學(xué)模型可以采用解方程、推理、圖解、計(jì)算機(jī)模擬、定理證明等各種傳統(tǒng)的和現(xiàn)代的數(shù)學(xué)方法對(duì) 其進(jìn)行求解，其中有些可以借助于計(jì)算機(jī)軟件來(lái)做這些工作。五 模型檢驗(yàn)與應(yīng)用 把模型解析得到的結(jié)果與實(shí)際情況對(duì)比，以檢驗(yàn)其合理和有效性，檢驗(yàn)后獲取的正確模型對(duì)研究的實(shí)際問(wèn)題給出 預(yù)報(bào)或?qū)︻愃茖?shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析、解釋，以供決策者參考稱為第一關(guān)：接

3、觸數(shù)學(xué)建模1 】一副撲克牌有 54 張，從中任取 多少?gòu)垼梢员ＷC一定有 5 張牌的花色 是一樣的？分析 除去大、小鬼還有 52 張牌，其中 4 種花色各 13 張. 運(yùn)氣最好的情況下所取的 5 張牌都是同一花色的，哪運(yùn)氣不佳時(shí)至少要取多少?gòu)埮疲拍鼙ＷC一定有 5 張牌的花色是一樣的呢？假設(shè) 假定至少要取 N 張，才能保證一定有 5 張牌的花色是一樣的 .模型 逆向地思維解析 在運(yùn)氣最不好的情況下，每種花色各 4張，再加大、小鬼 2 張，共取 18 張是保證一定沒(méi)有 5 張牌的花色一樣 的最大可能。所以 N 4 4 2 1 19 張就可以保證一定有 5 張牌的花色是一樣的檢驗(yàn)在很多情況下采用逆

4、向地思維，可以使解題思路清晰、便捷 .練習(xí)題公園里準(zhǔn)備對(duì) 300 棵珍稀樹(shù)木依次從 1300 進(jìn)行編號(hào)，問(wèn)所有的編號(hào)中“ 1”共會(huì)出現(xiàn)的幾次？2 】一只貓發(fā)現(xiàn)離它 10 步遠(yuǎn)的前方有一只老鼠在奔跑，貓便緊追。貓的步子大，它跑 5 步的路程，老鼠要跑 9 步。但是老鼠的動(dòng)作頻率快，貓跑 2 步的時(shí)間，老鼠能跑 3 步。請(qǐng)問(wèn)：按照這種速度，貓能追得上老鼠嗎？如果能，它要跑多少步才能追到。假設(shè)模型解析此題兩問(wèn)可歸結(jié)為一個(gè)問(wèn)題：假定貓跑 x 步就能追上老鼠貓與老鼠之間頻率的最小公倍數(shù)6步.由頻率關(guān)系可知，老鼠跑 3 3 9 步時(shí)，貓跑了 2 3 根據(jù)路程關(guān)系知，貓跑 6 步其中有 1步是追上老鼠的路程

5、 可得本題的數(shù)學(xué)模型為 x 10 06解得 x 60 （步）檢驗(yàn) 由此可見(jiàn)， 按照現(xiàn)有速度，貓要跑 60 步才能追得上老鼠練習(xí)題56 元 . 問(wèn)現(xiàn)有玩具模型 20個(gè)，交給小黃加工，規(guī)定加工合格一個(gè)可得 5 元，不合格一個(gè)扣 2元，未完成的不得不扣 .最后小黃共得到 小黃在加工玩具模型中不合格的共有幾個(gè)？3】在小傅家門口有一個(gè)十字型的交通路口（如圖所示），小傅就想了，警察叔叔需要指揮多少種情況的汽車運(yùn)行線路？分析 此問(wèn)題需要分是否可以原路調(diào)頭的情況來(lái)討論 .假設(shè) （ 1）每條線路都有往返雙向線（2）設(shè) 4條路分別為 A,B,C,D ；D,（3）以 A 為起始，如允許原路調(diào)頭，則有 A A, A

6、B,A C,A 如不允許原路調(diào)頭，則有 A B,A C,A D,模型 分步乘法計(jì)數(shù)原理解析 第一步：始線路條數(shù)；第二步：終線路條數(shù)。如允許原路調(diào)頭：則 N = 4? 4=16 （種可能）如不允許原路調(diào)頭，則 N = 4? 3=12 （種可能）檢驗(yàn) 如果允許汽車原路調(diào)頭，那么在此交通路口共有 16 種不同的行車情況；如果不允許汽車原路調(diào)頭，那么在此交通路口共有 12 種不同的行車情況。練習(xí)題A WWBW5 的汽車牌照共有多鐵路京廣線（北京廣州）共有 36 個(gè)大站，問(wèn)用電腦上購(gòu)票時(shí)需要有多少種不同的火車票？4】杭州市車輛管理所的工作人員為汽車牌照的事弄得焦頭爛額，現(xiàn)在有個(gè)問(wèn)題要請(qǐng)教一下，數(shù)字號(hào)碼為

7、浙 少塊？分析 由條件知，問(wèn)題為三個(gè) W中各可以填入多少種數(shù)字或字母 假設(shè) 假定按要求的汽車牌照共有 N 種可能，且在第 i個(gè)W中共有 ni (i= 1,2,3) 種字符可以填寫 . 根據(jù)汽車牌照的特點(diǎn)，在每個(gè) W中可以填入 10 共 10 個(gè)阿 拉伯?dāng)?shù)字和 A,B,C,D ， 26 個(gè)英語(yǔ)字母，即 ni = 36 (i = 1,2,3)模型 分步乘法計(jì)數(shù)原理 .解析 因?yàn)楦?W中填入的字符數(shù)符合 N = n1 創(chuàng)n2 n3故N = 36創(chuàng)36 36=46656檢驗(yàn) 數(shù)字號(hào)碼為浙 A WWBW5 的汽車牌照共有 46656 塊。不難發(fā)現(xiàn)，無(wú)論 B 和 5 在何位置，所得結(jié)論不變 練習(xí)題出租車在

8、開(kāi)始 10千米以內(nèi)收費(fèi) 10.4元，以后每走 1千米，收費(fèi) 1.6 元，問(wèn)走 20千米需收多少錢 ?第二關(guān)：初識(shí)數(shù)學(xué)建模把 20 個(gè)蘋果全部分給小明、小惠、小曼三人，要求每人最少分 3 個(gè)，可以有多少種不同的分法？假設(shè) 先取 9個(gè)蘋果，平均每人 3 個(gè)，剩下的 11個(gè)再按不同情況討論 .模型 排列數(shù)公式解析(11,0,0),(10,1,0),(9, 2,0),(9,1,1),(8,3,0),(8, 2,1),(7, 4,0),(7,3,1),(7, 2, 2),(6,5,0),(6, 4,1),(6,3, 2),(5,5,1), (5, 4, 2),(5,3,3),15種不同種類，對(duì)每一種類再

9、考慮小明、小惠、小曼的不同次序，用排列數(shù)公式Amn即可求解 .對(duì)（ 11,0,0 ），（9,1,1 ），（7,2,2 ），（5,5,1 ），（5,3,3 ）五類，各類可以有 3種次序排法，故共有 15 種分發(fā)法. 對(duì)其余的 10類，各類可以有 6（ A33）種次序排法，故共有 60 種分發(fā)法檢驗(yàn) 所以按要求可以有 75 種不同的分法 .練習(xí)題水果店進(jìn)了十筐蘋果，每筐 10個(gè)，共 100個(gè)，每筐里的蘋果重量都一樣， 其中有九筐每個(gè)蘋果的重量都是 1 斤，另一筐中每個(gè)蘋果的重量都是 0.9 但是外表完全一樣，用眼看或用手摸無(wú)法分辨。現(xiàn)在要你用一臺(tái)普通的大秤 一次把這筐重量輕的找出來(lái)。你可以辦到么？

10、【 6】有 243 顆外形一模一樣的珠子，其中有一分析與假設(shè)將 243 顆珠子平均分成稍重的一顆在天平下沉的 1 份中 .在找出含有稍重珠子的一份中（顆稍重一點(diǎn)。用一架沒(méi)有砝碼的天平，至少稱幾次才能找出這顆珠子來(lái)3 份，每份 81 顆，任取其 2 份放置在天平兩邊，若平衡則稍重的一顆在另 含81 顆），再將其 81 顆珠子平均分成 3 份，每份 27 顆，任取其1 份中；若不平衡則2 份放置在天平兩邊，若平衡則稍重的一顆在另 1 份中；若不平衡則稍重的一顆在天平下沉的1 份中 . 在找出含有稍重珠子的一份中（含 27 顆），再將其 27顆珠子平均分成 3 份，每份 3 顆，任取其 2份放置在天

11、平兩邊， 若平衡則稍重的一顆在另 1 份中；若不平衡則稍重的一顆在天平下沉的1份中 . 在找出含有稍重珠子的一份中（含1顆），再將其 3顆珠子平均分成 3份，每份 1 顆，任取其 2 顆放置在天平兩邊，若平衡則另 1顆稍重的一顆；若不平衡則稍重的一顆為天平下沉的1 顆.模型 “三分法”解析 按“分析與假設(shè)” 所述可知，至少稱 4 次才能找出這顆珠子來(lái) .檢驗(yàn) 此題的關(guān)鍵是珠子的顆數(shù) 243，可以平均分成 3份，每份 81顆，而 81 又可以平均分成 3份，每份 27顆，而 27又可以平均分 成 3 份，每份 3 顆，而 3 可以平均分成 3 份，每份 1 顆，最后找出異樣的珠子 .練習(xí)題小敏把

12、 100 只彩色小燈泡串聯(lián)起彩燈，用來(lái)布置教室，可是其中有只小燈泡壞了，這可急壞了小敏。你能用最速捷的方法很快地找出了 那只損壞的小燈泡嗎？7】水果店進(jìn)了十筐蘋果，每筐10 個(gè)，共 100 個(gè)，每筐里的蘋果重量都一樣，其中有九筐每個(gè)蘋果的重量都是 1 斤，另一筐中每個(gè)蘋果的重量都是 0.9 斤，但是外表完全一樣，用眼看或用手摸無(wú)法分辨。現(xiàn)在要你用一臺(tái)普通的大秤一次把這筐重量輕的找出來(lái)。你可以辦到么？分析與假設(shè) 普通的大秤上是有刻度，可以稱得具體重量 .從這點(diǎn)考慮不妨將十筐蘋果進(jìn)行標(biāo)號(hào)Ai (i 1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10)并取與標(biāo)號(hào)對(duì)應(yīng)的蘋果數(shù) 1,2,3,4,5,6,7,8,

13、9,10 ，共計(jì) 55 個(gè)，再用所給的大枰稱得這 55 個(gè)蘋果的總重量若此 55 個(gè)蘋果重量均為 1 斤(理想狀態(tài)) ，則總重量應(yīng)為 55 斤，由題目條件知其中某一框蘋果重量均為0.9 斤，假定為第 j框時(shí)，那么所取蘋果數(shù)為 j 個(gè)，大枰稱得總重量就要比 55 斤少 j 兩 .模型 等差數(shù)列的求和解析 利用框數(shù)與所取蘋果數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，考慮大枰稱得總重量與理想狀態(tài) 55 個(gè)蘋果的總重量之間的差按“分析與假設(shè)” 所述可解得 .若大枰稱得總重量為 54斤3兩，比 55斤差7兩，即得框號(hào)為 A7的這框蘋果重量為 0.9 斤.練習(xí)題某單位某月 112日安排甲、乙、丙三人值夜班，每人值班4 天.要求三個(gè)人

14、各自值班日期數(shù)字之和相等。已知甲頭兩天值夜班，乙9、10日值夜班，問(wèn)丙在自己第一天與最后一天值夜班之間，最多有幾天不用值夜班？【8】甲、乙兩人去沙漠中探險(xiǎn)，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可帶一個(gè)人 4 天的食物和水。如果允許將部分食物存放于途中，其中 1 人最遠(yuǎn)可深入沙漠多少千米？（要求最后兩人返回出發(fā)點(diǎn)）分析與假設(shè) 要使其中一位探險(xiǎn)者盡可能走得遠(yuǎn)，另一位須先回，留下 食物和水給另一位，所以必須分頭行動(dòng) .問(wèn)題是在何處 留下 食物和水？ 經(jīng)過(guò)商議讓甲走得更遠(yuǎn)（最遠(yuǎn)走 4 40 80 千米，但回程就沒(méi)有 食物和水了 ），需要乙在適當(dāng)?shù)牡攸c(diǎn)留小足夠的 食物和水 . 第 1天乙在 10千

15、米處留下 1份食物和水， 到 20千米處吃 1份留下 1份，第2天走到 30千米處留下 1份食物和水后馬上往回返， 到 20 千米處再吃 1 份，第 3 天走 20 千米回出發(fā)點(diǎn) . 第 1 天甲 20 千米處吃 1 份，第 2 天走到 40 千米處吃 1 份，第 3 天走到 60 千米處吃 1 份，第 4 天走到 65 千米處然后往回返， 到 50 千米處吃 1 份（到此為止甲自帶的食物和水已吃完） ，第 5 天走到 30 千米處吃 1 份（此處食物和水是 乙留下的），第 6 天走 到 10 千米處吃 1 份，然后回出發(fā)點(diǎn)模型 錯(cuò)位推進(jìn)法解析 所謂“錯(cuò)位推進(jìn)法”對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，關(guān)鍵點(diǎn)為“乙在

16、30 千米和 10 千米處給甲留下 食物和水”，根據(jù) 分析與假設(shè) 推知結(jié)論其中 的 1 位沙漠探險(xiǎn)家最多可深入沙漠 65 千米 .檢驗(yàn) 從“第6天走到 10 千米處吃 1份，然后回出發(fā)點(diǎn)” ，感覺(jué)似乎還有 10 千米可以走，但已經(jīng)回出發(fā)點(diǎn)了 . 考慮一下甲是否還可以再 往前推進(jìn) 5 千米呢？練習(xí)題在一排 10 個(gè)花盆中種植 3 種不同的花卉，要求每 3 個(gè)相鄰的花盆中所種的花的品種各不相同，問(wèn)共可有多少種不同的種植方法？9 】家里有兩個(gè)容積分別為 5 升和 6 升的空水壺 .問(wèn)大明怎樣用這兩個(gè)水壺得到 3 升的水 .分析 從 5升的滿水壺倒出 2 升即可得到 3升的水，問(wèn)題是如何使 6 升的水

17、壺空出 21 升的空升的空間（即得到 4升水），問(wèn)題是如何使 5升的水壺空出 1 升的空間（即得到 4升水），問(wèn)題是如何使 6升的水壺空出 間（即得到 5 升水），此問(wèn)題不難解決 .假設(shè) 由上分析可以如下操作： 將 5 升的滿水壺的水全部倒出 6 升的空水壺中，在 6 升的水壺中得到 1 升的空間 . 用 5 升水壺取滿水，倒?jié)M 6 升水壺中的 1 升空間，此時(shí)的 5升水壺空出了 1 升的空間 . 將 5 升水壺中的 4 升水倒進(jìn) 6 升的空水壺，在 6 升水壺中的得到 2 升的空間 . 用 5 升 水壺取滿水，倒?jié)M 6 升水壺中的 2 升空間 ,. 此時(shí)在 5 升的水壺里剩下的就是 3 升的

18、水了 .模型 逆向推理綜合法解析 按分析及假設(shè)即可將問(wèn)題解決，得到 3 升的水 .檢驗(yàn) 逆向推理綜合法 是一種非常有用的數(shù)學(xué)思維方法，用途非常廣泛 .練習(xí)題某鹽溶液的濃度為 20%，加水后溶液的濃度稀釋為 15%.如果再加同樣多的水，問(wèn)溶液的濃度為多少？【10】箱子里放著一箱梨，第一個(gè)人拿了梨總數(shù)的一半又多半只，第二個(gè)人拿了剩下梨的一半又多半只，第三個(gè)人拿了第二次剩下的一半 又多半只，第四個(gè)人 3 拿了第三次剩下的一半又多半只，第五個(gè)人拿了第四次剩下的一半又多半只。這時(shí)箱子里的梨正好拿完，而且每人手 里的梨都沒(méi)有半只的，請(qǐng)問(wèn)箱子里原來(lái)有多少只梨 ?假設(shè) 假定箱子里原來(lái)有 x 只梨，則有條件第一

19、個(gè)人拿梨數(shù)：x 1 x 1；2 2 2第二個(gè)人拿梨數(shù)：x 1 1 1 x 1 (x )2 2 2 4第三個(gè)人拿梨數(shù)：x 1 x 1 1 1 x 1 (x )2 4 2 2 8第四個(gè)人拿梨數(shù)：(xx1x14x 1 18 )21 x 12 16第五個(gè)人拿梨數(shù)：(xx1x1x 1 x 1) 1 1 x 18 16 ) 2 2 32模型 解一元一次方程解析解方程 (121148161312)(x 1) xx 31檢驗(yàn) 按題意驗(yàn)證當(dāng)箱子里原來(lái)有 31 只梨時(shí)，題目條件符合練習(xí)題20%，問(wèn)今年該貨物的進(jìn)口價(jià)是多少？去年某種貨物的進(jìn)價(jià)為 15元/ 公斤，今年該貨物的進(jìn)口量增加了一半，進(jìn)口價(jià)增加了第二關(guān)：初識(shí)

20、數(shù)學(xué)建模11】暑假里，班里共 30 名學(xué)生，其中有姓趙、姓錢、姓孫、姓李、姓周各 的姓都不同，該如何分呢 ?6 位，為了進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，需要分成 15 個(gè)小組，現(xiàn)要使每個(gè)小組分析 題目沒(méi)有問(wèn)共有多少種分法，而是問(wèn)如何分，也就是說(shuō)只要找出方法即可，如何描述把事情說(shuō)清楚是關(guān)鍵 .假設(shè) 以姓氏趙、錢、孫、李、周分成 5 組，每組 6人，用對(duì)應(yīng)的字符 Ai,Bi,Ci,Di,Ei(i 1,2,3, 4,5,6) 表示.用一個(gè)大圓作為輔助工具，將其 6等分，把 Ai(i 1,2,3, 4,5,6) 依次放在圓上的 6個(gè)等弧上，再將 Bi(i 1,2,3,4,5,6) 依次放在 圓上的 6個(gè)等弧上，對(duì) Ci

21、,Di,Ei作同樣的操作 .此時(shí)大圓上已有 30個(gè)字符(次序以 Ai,Bi,Ci,Di,Ei(i 1,2,3, 4,5,6) 排列) .從圓上任一字符開(kāi)始，依次兩個(gè)一組，兩個(gè)一組，所得 15 個(gè)小組中每個(gè)小組的姓都不同 .模型 “等分圓特征的利用 ” .解析 根據(jù) 分析、假設(shè) 的討論即得問(wèn)題的解答 .檢驗(yàn) 巧妙利用幾何圖形，借助其幾何特征，使問(wèn)題的討論更有條理，這也是一種數(shù)學(xué)模型 .練習(xí)題100 人參加 7 項(xiàng)活動(dòng)，要求每人只能參加 1 項(xiàng)活動(dòng)，而且每項(xiàng)活動(dòng)參加的人數(shù)都不能相同，問(wèn)參加人數(shù)第四多的活動(dòng)最多有多少人？12】 2001個(gè)學(xué)生排成一排，從左向右 1至 2報(bào)數(shù)，與從右向左 1至 5報(bào)數(shù)

22、，其中兩種報(bào)數(shù)時(shí)都是偶數(shù)的共有多少人 分析 根據(jù)題目中條件的周期性，可采用通過(guò)局部（ 10 個(gè)）結(jié)論推廣到全體的方法 .假設(shè) 不妨取最右端的局部： 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5不難得出，在最右的 10 個(gè)數(shù)字中滿足條件的只有 2 個(gè).模型 數(shù)型結(jié)合法2001 1解析 2 400 （人）10檢驗(yàn) 兩種報(bào)數(shù)時(shí)多是偶數(shù)的共有 400 人.第三關(guān)：嘗試數(shù)學(xué)建模練習(xí)題1、某市將在今年 12 月舉辦一個(gè)全國(guó)招商引資交 流會(huì)議，目前確定參加的人數(shù)已經(jīng)達(dá)到 43

23、00 人。 在安排會(huì)場(chǎng)的時(shí)候，負(fù)責(zé)人打算租用一個(gè)設(shè)置 50 排座位的大劇院，第一排有 48 個(gè)座位，往后每排 都比前一排多 2 人。估算一下這個(gè)大劇院是否可 用？2、杭州市車輛管理所的工作人員為汽車牌照的事弄得焦頭爛額，現(xiàn)在有個(gè)問(wèn)題要請(qǐng)教一下，數(shù)字號(hào)碼為浙 A WWBW5 的汽車牌照共有多少塊？6 分鐘后小新才發(fā)現(xiàn)草帽被風(fēng)吹走了，于是開(kāi)船返回去追，【13】小新開(kāi)著一艘帆船在河里航行，一陣狂風(fēng)吹來(lái)，把小新的草帽吹落水中，試問(wèn)小新需要幾分鐘方可追上落水的草帽 .分析 此題按帆船逆水與順?biāo)畠煞N情況討論 假設(shè) 設(shè)船速為 x 米/分，水速為 y 米/分當(dāng)船順?biāo)旭倳r(shí)，船6 分鐘共向前行駛路程為6 x y

24、 ,草帽向前漂的路程為6y ，兩者相距6x.當(dāng)船逆水行駛時(shí)，船6 分鐘共向前行駛路程為6 x y ,草帽向后漂的路程為6y ，兩者相距6(xy) 6y 6x.模型船要追上草帽所需時(shí)間=船帽距離 /船行速度解析船要追上草帽所需時(shí)間= 6x/ x=6(分鐘)一行，每一列，每一條對(duì)角線上的此結(jié)論對(duì)判斷能否打撈草帽十分有用54315812144 個(gè)數(shù)檢驗(yàn) 由上述推論可知， 船往回返到追上草帽所需時(shí)間同等于草帽落水到發(fā)現(xiàn)草帽落水所化時(shí)間， 練習(xí)題如左圖，有正整數(shù) 1、2、3、4 16,每一個(gè)數(shù)在正方形中占有一 小格 ,圖中已填入若干數(shù)字 ,試將其余數(shù)字填入正方形的空格處,使每字的和都相等 .【14】?jī)筛?/p>

25、同樣長(zhǎng)的蠟燭， 點(diǎn)完粗蠟燭要 3小時(shí)，點(diǎn)完細(xì)蠟燭要1小時(shí)。現(xiàn)同時(shí)點(diǎn)燃兩根蠟燭，一段時(shí)間后同時(shí)熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長(zhǎng)度是細(xì)蠟燭的 3倍。 問(wèn)兩根蠟燭燃燒了多長(zhǎng)時(shí)間?分析及假設(shè) 設(shè) 兩根蠟燭額長(zhǎng)度為 l 厘米，粗、細(xì)蠟燭的燃燒速度分別為x、y （厘米 /小時(shí)） .則有 y l 3x；點(diǎn)燃兩根蠟燭一段時(shí)間后同時(shí)熄滅，粗、細(xì)蠟燭的長(zhǎng)度分別為 R、 r ，則 R 3r .模型 代數(shù)方法，等量關(guān)系疊代l r l 3r解析 根據(jù)條件有： （燃燒時(shí)間相同）yx化簡(jiǎn)為 l 4r ，即細(xì)蠟燭燃燒后的長(zhǎng)度是原來(lái)長(zhǎng)度的131 （也即燃燒了 3 ）443l3l所以燃燒的時(shí)間為 443 （小時(shí)） .yl4檢驗(yàn) 為了明確各量

26、之間的相互關(guān)系，在必要的地方可以加注練習(xí)題將自然數(shù) 1100分別寫在完全相同的 100張卡片上，然后打亂卡片，先后隨機(jī)取出 4 張，問(wèn)這 4 張先后取出的卡片上的數(shù)字呈增序的幾率是多少?個(gè)十位數(shù)字為 0 的三位數(shù)，恰好是各數(shù)字之和的 34 倍. 現(xiàn)交換個(gè)位于百位數(shù)字后得到一個(gè)新的三位數(shù)，求新數(shù)是各數(shù)字和的幾倍？假設(shè)三位數(shù)可記為a0b .其值為 100ab ；則新三位數(shù)可記為模型代數(shù)方法解析由條件 100ab 34(a 0 b)2a b100b a201a所以67a0b3a即新數(shù)是各數(shù)字和的 67 倍 .15】練習(xí)題b0a .其值為 100b a5 根甘蔗；短【 16】果農(nóng)要用繩子捆扎甘蔗，有三

27、種規(guī)格的繩子可供選擇：長(zhǎng)繩子1 米，每根可捆扎 7 根甘蔗；中繩子 0.6 米，每根可捆扎繩子 0.3 米，每根可捆扎 3根甘蔗 .現(xiàn)在有甘蔗 46根，問(wèn)果農(nóng)共有多少種繩子的取法？其中最節(jié)約的是哪一種？，不難發(fā)現(xiàn)，用短繩子比較合算分析 先求三種繩子各需多少根，根據(jù)長(zhǎng)、中、短繩子的價(jià)值（長(zhǎng)度于所捆甘蔗的根數(shù)之比）假設(shè) 設(shè)所需三種繩子的根數(shù)以次為 （ x、y、z）模型 求不定方程的自然數(shù)解解析有條件可得方程 7x 5y 3z 4646 5y 3z7，（ 3,2,5 ），要使 x 有自然數(shù)解需分子 46 5y 3z 是 7 的倍數(shù)，按 0，7,14,21,28,35,42討論可得：（0,8,2 ），（1,6,3 ），（2,4,4