1、廣東省佛山市2020屆高三數學上學期教學質量檢測試題（一）理（含解析）、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（5分）在復平面內，復數對應的點位于（2.3.4.A.第一象限（5分）已知集合A. (2, 1)（5分）已知x,B.A= xx x 2 V 0B. (- 1, 1)yC R,且 x>y>0,則A. cosxcosy>0C. Inx Iny（5分）函數>0D.第四象限B= x| x| >1,則 An B=()(0,1)D. (1, 2)B.D.f （x）的圖象向左平移一個單位長度,cosx+co

2、sy> 0Inx +lny >0所得圖象與y=ex關于y軸對稱，則f (x)=(5.- x+1A.e_ x _ 1B. e（5分）希爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數學家希爾賓斯基在一個正三角形，挖個“中心三角形”x+1D. e1915年提出，先作（即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形）然后在剩下的小三角形中又挖去一個“中心三角形”,我們用白色代表挖去的面積，那么黑三角形為剩下的面積（我們稱黑三角形為希爾賓斯基三角形）.在如圖第3個大正三角形中隨機取點則落在黑色區域的概率為 （ AAII*(2)6.7.A.(5分)A. 3(5分)B.916C.7I?D.已知等比數列an滿足3i -

3、 32 = 36 , 3i - 33 = 24,則使得a13ran取得最大值的nB. 4C. 5D. 6已知a為銳角，COS a =A. -LB. -C. 2D. 3聞28.(5分)已知雙曲線 C：工 =3 O為坐標原點，直線 x=a與雙曲線C的兩條漸近線2 , 2 1交于A, B兩點，若 OA厚邊長為2的等邊三角形，則雙曲線 C的方程為()A.工y2= 13B. x2上=139.(5分)地球上的風能取之不盡，用之不竭.風能是清潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發展風力發電，近 10年來，全球風力發電累計裝機容量連年攀升，中國更是發展迅猛，在2014年累計裝機容量就突破了100GW達到11

4、4.6 GW中國的風力發電技術也日臻成熟，在全球范圍的能源升級換代行動中體現出大國的擔當與決心.以下是近10年全球風力發電累計裝機容量與中國新增裝機容量圖.根據以上信息，正確的統計結論是()A.截止到2015年中國累計裝機容量達到峰值訴I。年中國風力發電新增裝機容量(GW)B. 10年來全球新增裝機容量連年攀升C. 10年來中國新增裝機容量平均超過20GWD.截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過y10.(5分)已知函數f(x)=-+2x+1,且f (a2)+f(2a)>3,貝Ua的取值范圍是()2工+1A.(-8, 3)U (1, +8)B.(-8,-2) U (

5、 0,+8)C.(-2, 0)D.( - 1,3)11.(5分)已知函數f (x) = sin x+sin (兀x),現給出如下結論：f（x）是奇函數；f（x）是周期函數；f（x）在區間（0,兀）上有三個零點；f （x）的最大值為2.其中正確結論的個數為（）A. 1B. 2C. 3D. 412. （5分）已知正三棱柱 ABG A1BG的側棱長為4,底面邊長為2,用一個平面截此棱柱， 與側棱AA, BB, CC分別交于點 M N Q若 MN比直角三角形，則4 MN郵積的最大 值為（）A. 3B. . C. -D. 3 ）二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，滿分20分.13. （5分）從進入

6、決賽的6名選手中決出1名一等獎，2名二等獎，3名三等獎，則可能的 決賽結果共有 種.（用數字作答）14. （5分）在ABCf, AB= 2, AC= 3, P是邊BC的垂直平分線上一點，則獲菽 =.15. （5分）函數f （x） = lnx和g （x） = ax2-x的圖象有公共點 P,且在點P處的切線相 同，則這條切線方程為 .16. （5分）在平面直角坐標系 xOy中，對曲線 C上任意一點P, P到直線x+1=0的距離與 該點到點O的距離之和等于2,則曲線C與y軸的交點坐標是；設點A（-色，0）,4則| PO+| PA的最小值為 .三、解答題：本大題共 5小題，共70分，解答須寫出必要的文

7、字說明、證明過程或演算步 驟.17. （12分）綠水青山就是金山銀山.近年來，祖國各地依托本地自然資源，打造旅游產業，旅游業正蓬勃發展.景區與游客都應樹立尊重自然、順應自然、保護自然的生態文明理念，合力使旅游市場走上規范有序且可持續的發展軌道.某景區有一個自愿消費的項目：在參觀某特色景點入口處會為每位游客拍一張與景點的合影，參觀后，在景點出口處會將剛拍下的照片打印出來，游客可自由選擇是否帶走照片，若帶走照片則需支付20元，沒有被帶走的照片會收集起來統一銷毀.該項目運營一段時間后，統計出平均只有三成的游客會選擇帶走照片.為改善運營狀況，該項目組就照片收費與游客消費意愿關系作 了市場調研，發現收費

8、與消費意愿有較強的線性相關性，并統計出在原有的基礎上，價格每下調1元，游客選擇帶走照片的可能性平均增加0.05，假設平均每天約有 5000人參觀該特色景點，每張照片的綜合成本為5元，假設每個游客是否購買照片相互獨立.(1)若調整為支付10元就可帶走照片，該項目每天的平均利潤比調整前多還是少？(2)要使每天的平均利潤達到最大值，應如何定價？18. (12分)在ABC,內角 A B,C的對邊分別為a,b,c,已知asinB= bsin(A-三).3(D 求 A；(2) D是線段BC上的點，若 AD= BD= 2, CD= 3,求ADCW面積.19. (12分)已知橢圓C:=1 (a>b>

9、;0)的離心率為1,點A (1,)在橢圓C 2上，直線11過橢圓C的有交點與上頂點，動直線 12： y=kx與橢圓C交于M N兩點，交11于P點.(1)求橢圓C的方程；(2)已知O為坐標原點，若點 P滿足|OP=_|MN,求此時|MN的長度.420. (12 分)如圖，三棱錐 P- ABO43,平面 PABL平面 ABC PA= PR / APB= / ACB= 90° ,點E, F分別是棱AB, PB的中點，點 G是 BCE勺重心.(1)證明：GF/平面PAC(2)若GF與平面ABC所成的角為60。，求二面角 B- AP- C的余弦值.21. (12 分)已知函數 f (x) =1

10、+x-2sinx, x>0.(1)求f (x)的最小值；(2)證明：f (x) > e2x.請考生在第22, 23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清楚題號.選彳4-4 :坐標系與參數方程選講F _ 222. (10分)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為- ''m (m為參數).(1)寫出曲線C的普通方程，并說明它表示什么曲線；(2)已知傾斜角互補的兩條直線 1i,匕，其中1i與曲線C交于A, B兩點，l2與C交于MN兩點，Il與 12交于點 P (X0, yo),求證：| PA?| PB = | PM?| PN . 選修 4-5 ：

11、不等式選講23. 已知函數 f (x) = |xa|+| x- 1| .(1)若f (a) v 2,求a的取值范圍；(2)當xC a, a+k時，函數f (x)的值域為1 , 3,求k的值.2020年廣東省佛山市高考數學一模試卷（理科）參考答案與試題解析、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. . （5分）在復平面內，復數 汨對應的點位于（）1+21A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出復數所對應點的坐標得答案.【解答】解：:1+2151，在復平面內，復數1+21對應的點的坐

12、標為（2, 1）,位于第一象限.故選：A.【點評】 本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題.2. （5 分）已知集合 A= x|x2-x-2<0, B= x| x| > 1,則 An B=（）A （-2, - 1）B. （ - 1, 1）C （0, 1）D. （1, 2）【分析】可以求出集合 A B,然后進行交集的運算即可.【解答 解：A= x| - 1 <x< 2, B= x|xv1 或 x> 1,.An B= （1, 2）.故選：D.【點評】本題考查了描述法、區間的定義，一元二次不等式和絕對值不等式的解法，交集的運算，考查了

13、計算能力，屬于基礎題.3. （5分）已知 x, yC R,且 x>y>0,則（）A. cosxcosy>0B. cosx+cosy>0C. Inx - Iny >0D. Inx +lny >0【分析】根據題意，結合函數的單調性分析選項A、C,可得A錯誤，C正確，對于 B D,利用特殊值分析可得其錯誤，綜合即可得答案.【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A, y = cosx在（0, +8）上不是單調函數，故 cosx-cosy>0不一定成立，A錯誤；對于 B,當 x=Tt, 丫=""時，cosx+cosy=- 1v°，

14、B不一定成立；對于 C, y= lnx 在（0, +8）上為增函數，若 x>y>0,則 lnx > lny ,必有 lnx - lny > 0,C正確；對于D,當x=1, y=時，lnx+lny =ln2<0, D不一定成立； 22故選：C.【點評】本題考查函數單調性的應用，涉及實數大小的比較，屬于基礎題.4. （5分）函數f （x）的圖象向左平移一個單位長度，所得圖象與y=ex關于y軸對稱，則f （x）=（）A. e x+1B. e x 1C. ex1D. ex+1【分析】根據函數圖象變換關系，利用逆推法進行求解即可.【解答】解：y= ex關于y軸對稱的函數為y

15、 = e x,然后向右平移一個單位得到 f （x）,得丫:一），即 f （x） =e-x+1,故選：A.【點評】本題主要考查函數圖象變換，結合條件進行逆推法是解決本題的關鍵.比較基礎.5. （5分）希爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數學家希爾賓斯基在1915年提出，先作一個正三角形，挖去一個“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個“中心三角形”，我們用白色代表挖去的面積，那么黑三角形為剩下的面積（我們稱黑三角形為希爾賓斯基三角形）.在如圖第3個大正三角形中隨機取點，則落在黑色區域的概率為 （）【分析】我們要根據已知條件，求出第 3個大正三角形的面

16、積，及黑色區域的面積，代入幾何概型計算公式，即可求出答案.二，不妨設第4【解答】解：由題意可知：每次挖去的面積為前一個三角形剩下面積的個三角形的面積為1.1;，第三個三角形的面積為則陰影部分的面積之為“C 4 7 169第3個大正三角形中隨機取點，則落在黑色區域的概率：理-L,116故選：B.【點評】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關.解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量"N （A）,再求出總的基本事件對應的“幾何度量” N,最后根據P=*L求解.N6. （5分）已知等比數

17、列an滿足ai-a2=36, ai - a3 = 24,則使得aiaan取得最大值的n為（）A. 3B. 4C. 5D. 6【分析】結合等比數列的通項公式可求通項，然后結合項的正負及增減性可求.【解答】解：,等比數列an滿足ai - a2= 36, ai-a3=24,小”鴕a （1-q）=24解可得，q=-L, ai = 27,若使得aia2一-an取得最大值，則 n應該是偶數,且 n>4 時，| an| v i,故當n=4時，aia2an取得最大值.故選：B.【點評】本題主要考查了等比數列的通項公式的簡單應用，分析數列的項的特點是求解問題的關鍵.7. （5分）已知COS a =B.,貝

18、U tan)D. 3【分析】求出tan a的值.解得tan =1,由此能求出tan2上解：: a為銳角,sin acos atan a.tan(2_.4=35 a 2tan74535,或 tan£-= - 2,7Ttarr-+tan4兀2_五=3.1-lXy故選：D.正切加【點評】 本題考查三角函數值的求法，考查誘導公式、正切函數的二倍角公式、 法定理等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.8. (5分)已知雙曲線 C:J y22 ,2 a L=山O為坐標原點，直線 x=a與雙曲線C的兩條漸近線交于A B兩點，若4OA溫邊長為2的等邊三角形，則雙曲線 C的方程為(A.-y2= 1B.

19、 xC.=1D.4 12【分析】求出雙曲線的漸近線方程，令x = a,求得A, B的坐標，由等邊三角形的性質可得a, b的值，進而得到雙曲線的方程.【解答】解：雙曲線C:=1的漸近線方程為 bx- ay=0和bx+ay=0,由x = a與雙曲線C的兩條漸近線交于 A (a, b), B (a, - b), OA提邊長為2的等邊三角形，即有 2b=2,即b=1,且a =X2=V3,可得雙曲線的方程為 t-y2=l.故選：A.【點評】本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程的應用，考查等邊三角形的性質，以及化簡運算能力，屬于基礎題.9.（5分）地球上的風能取之不盡，用之不竭.風能是清潔能源，也

20、是可再生能源.世界各國致力于發展風力發電，近 10年來，全球風力發電累計裝機容量連年攀升，中國更是發展迅猛，在2014年累計裝機容量就突破了100GW/達到114.6 GW/中國的風力發電技術也日臻成熟，在全球范圍的能源升級換代行動中體現出大國的擔當與決心.以下是近10年全球風力發電累計裝機容量與中國新增裝機容量圖.根據以上信息，正確的統計結論()A.截止到2015年中國累計裝機容量達到峰值B. 10年來全球新增裝機容量連年攀升C. 10年來中國新增裝機容量平均超過20GWD.截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過【分析】通過圖結合選項分析.【解答】解：由圖1知沒有在截止

21、到2015年中國累計裝機容量達到峰值，A錯；由圖2知，10年來全球新增裝機容量起伏，B錯；由圖 1 知，10 年中國新增裝機總容量為13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1= 197.7 ,則10年來中國新增裝機容量平均為19.77 GW C錯;故選：D.【點評】本題考查頻率直方圖，屬于基礎題.10. (5分)已知函數f (x) =+2x+1,且f (a2) +f (2a) >3,貝U a的取值范圍是()2s +1A.(-8, 3)u (1, +8)B.(-8, - 2)U ( 0, +8)C.( 2, 0)D.( 1, 3)【分析】

22、設F (x) = f (x)=-+2x+1 22(2X 4-1)+2x,分析函數F (x)的奇偶性，單調性，f (a2)+f (2a) >3,轉化為F (a2) >- F (2a),即可解出答案.【解答】 解：根據題意，設 F (x) = f (x) - -=-+2x+1 -=匕+2x,2 2 支十 12 2(2k+O則 F (0) = f (0) = 0,2又由 F( x) = - +2 ( x) = ( - +2x) = F (x),即函數 F ( x)2(2/ + 1)2(21+1)為奇函數；又由F' (x)-2xln2 -2Kln2+2(2xl)S 2K(4-ln2

23、)+2(2S) 2+2m+2=工工> 0(2X+1)2(2%1產(2x-nl)2所以函數F (x)單調遞增,若 f (a2) +f (2a) > 3,則 f (a2)一號>春-£(2a)，f (a2) -y> - f (2a)F (a2) >- F ( 2a),F (a2) > F ( - 2a),所以 a2>- 2a,解得，av - 2或a>0,故選：B.【點評】本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，涉及構造法的應用，屬于基礎題.11. (5分)已知函數f (x) = sin x+sin (兀x),現給出如下結論：f (x)是奇函數

24、；f (x)是周期函數； f (x)在區間(0,兀)上有三個零點;f (x)的最大值為2.其中正確結論的個數為(A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】根據函數奇偶性定義進行判斷，用反證法推出函數的函數無周期， f （x）=sin x+sin （兀x） = 2sin（ 1 + "）. cos（ 1=兀）x , 函數的零點為方程 sin 旦土三巨 =0 222或 cos（1-兀Jx = 0, x=匚k 1 或 x= 兀，xC （0,兀），進而得出結論，用2兀+11-H反證法推出函數的函數最大值不是2.【解答】 解：因為 f （ x） = sin （ x） +sin （兀 x） = -

25、sin x sin （兀 x） = - f （x）, 所以f （x）是奇函數，正確.假設存在周期T,=sin x+sin 兀 x,貝U sin (x+T) +sin (兀(x+T)sin (x+T) - sin x = - sin (兀(x+T) sin 兀 x,所以 sin ?cos = sin ?cos- CD,2222. “口 2兀= 2xn +T存在 xoCR,使得 cos-=0,而 cosW0,22將 x。C R, - sin 2L?cos2"= 0,由于故-sin 2LL= 0,2所以 sin -=0, sin-=0,T7TT=k % ,=mi% , k, me Z,22

26、所以ku = mi,矛盾，所以函數f （x） = sin x+sin （兀x）,沒有周期，錯誤.f (x) = sin x+sinUx)=2sinXl±coslkL,函數的零點為方程sin(l+7V)x=0 或 cos£1=0,2x=2k兀(L+2k)兀7U+11-xx=1ZL或所以f （x）在區間（0,兀）上有三個零點；故正確.假設存在這樣的x0使彳導f （x）最大值為2,X0 =兀X0 =(kCZ)兀1即 X0=玨 Jl 且 X0= - 4,k=-i,與kez矛盾，故錯誤.故選：B.【點評】本題考查三角函數的圖象和性質，屬于難題.12. (5分)已知正三棱柱 ABG A

27、BC的側棱長為4,底面邊長為2,用一個平面截此棱柱， 與側棱AA, BB, CG分別交于點 M N Q若 MNQ；直角三角形，則4 MN郵積的最大 值為()A. 3B. . C R?D. 3 )【分析】 不妨設 N在 B處，AM= h, CQ= 則有 MB= h2+4, bQ= M+4, mQ= (h- rr) 2+4 由 MB= BO+M& ni- hn+2=0. = h2-8>0? h2>8,且 h<4,可得S2=1 + h2,就可求出S最大值.【解答】解：解：如圖，不妨設 N在B處，AM= h, CO m則有 mB= h2+4, bQ= m+4, mQ= ( h

28、- nn 2+4由 mB= bQ+mQ?吊hm+2=0.得 h=£2 = n+1 m m = h2-8>0? h2>8,且 h<4,即 8<h2< 16,S=lx |mq|x |bq|, £-iS2 = x | M(Q2x | b(J2= x (hm 2+4 x( m+4)44把代入得S" = X (r+- nn 2+4 x (n+4) =- X +4 x ( ni+4) = 5+-+4 m4m2m2=5+ (上+m 2-4=1+ ( +n) 2=1+h?, mm所以 S2=1 + h2S 9 , 17,S O maxSax= J 1

29、7故選：C.Ci、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，滿分20分.13. （5分）從進入決賽的6名選手中決出1名一等獎，2名二等獎，3名三等獎，則可能的決賽結果共有 60種.（用數字作答）【分析】6名選手中決出1名一等獎有&1種方法,2名二等獎，虎種方法，利用分步計D數原理即可得答案.法 方 種2 5C【解答】解：依題意,可分三步,第一步從6名選手中決出1名一等獎有A需種方法，第二步，再決出第三步，剩余三人為三等獎，根據分步乘法計數原理得：共有 Ag?Cp60種方法.故答案為：60.【點評】 本題考查排列、組合及簡單計數問題，掌握分步計數原理是解決問題的關鍵，屬于中檔題.* 1*R1

30、4. （5分）在ABN, AB= 2, AC- 3, P是邊BC的垂直平分線上一點， 則AP?BC= .-2_-【分析】取BC的中點D, AP= （ AD+DP） = （ 6S+正）訴），DPXCB,再利用兩個向量垂直的性質及向量的運算法則，可得結果.【解答】解：取BC的中點D,由條件得 由海=（DP+DP）? AC-AB）=（標菽）故答案為：立.2【點評】此題是基礎題.本題考查兩個向量的運算法則及其意義，兩個向量垂直的性質.15. (5分)函數f (x) = lnx和g (x) = ax2-x的圖象有公共點 P,且在點P處的切線相 同，則這條切線方程為 y = x- 1 .【分析】分別求得f

31、 (x), g (x)的導數，設P (xo, yo),則lnx 0= ax02-xo，結合f ' (x" =g' (xo),聯立消掉a可得關于xo的方程，構造函數，根據函數單調性可求得唯一 xo值，進而可求P的坐標，以及切線的斜率和切線方程.【解答】解：f (x) = lnx的導數為f' (x) = , g (x) = ax2-x的導數為g' (x) K=2ax- 1,設 P (xo, yo),則 lnx o= axo2-xo,f' (xo) =g' (xo),即-l-=2axo1,化簡得 1 = 2axo2xo，Q1-y聯立消a得，l

32、nx°=二，| 2 |令 4 (x) = lnx -,曠(x) =+l>0,2x 2易知4 (x)在(0, +8)上單調遞增，又 4 ( 1) = C，所以()(x) = lnx -今工有唯一解1,即xo=1,則 yo= f (1) = o, a= 1.故P (1, o),切線的斜率為1,切線的方程為y = x- 1.故答案為：y= x - 1.【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性及導數的幾何意義，考查學生靈活運用所 學知識分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.16. (5分)在平面直角坐標系 xOy中，對曲線 C上任意一點P, P到直線x+1=o的距離與 該點到點O的距離之

33、和等于2,則曲線C與y軸的交點坐標是 (。，±1);設點A(- 匚，。)，則|PO+| PA的最小值為 二44【分析】設P (x, y), P到直線x+1 = o的距離與該點到點 O的距離之和等于2,求出P 的軌跡方程為拋物線， 根據拋物線的性質， 求出曲線C與y軸的交點坐標和|PO+| PA的 最小值.【解答】解：設P (x, y), P到直線x+1 = o的距離與該點到點 O的距離之和等于 2,則I x+1| =42.產2,化簡得y2=2x+1,令x = 0, y= 1,故曲線C與y軸的交點為(0, 1), (0, - 1),A (-0),根據題意，當 Q P, A三點共線時，則

34、 尸例PA的最小，最小值長等于IOA = *故答案為：(0, ±1);立.4【點評】考查直線與拋物線的綜合，求曲線的軌跡方程，中檔題.三、解答題：本大題共 5小題，共70分，解答須寫出必要的文字說明、證明過程或演算步 驟.17. (12分)綠水青山就是金山銀山.近年來，祖國各地依托本地自然資源，打造旅游產業，旅游業正蓬勃發展.景區與游客都應樹立尊重自然、順應自然、保護自然的生態文明理 念，合力使旅游市場走上規范有序且可持續的發展軌道.某景區有一個自愿消費的項目：在參觀某特色景點入口處會為每位游客拍一張與景點的合影，參觀后，在景點出口處會 將剛拍下的照片打印出來，游客可自由選擇是否帶走

35、照片，若帶走照片則需支付20元，沒有被帶走的照片會收集起來統一銷毀.該項目運營一段時間后，統計出平均只有三成 的游客會選擇帶走照片.為改善運營狀況，該項目組就照片收費與游客消費意愿關系作 了市場調研，發現收費與消費意愿有較強的線性相關性，并統計出在原有的基礎上，價 格每下調1元，游客選擇帶走照片的可能性平均增加0.05，假設平均每天約有 5000人參觀該特色景點，每張照片的綜合成本為5元，假設每個游客是否購買照片相互獨立.(1)若調整為支付10元就可帶走照片，該項目每天的平均利潤比調整前多還是少？(2)要使每天的平均利潤達到最大值，應如何定價？【分析】(1)當收費為20元時，照片被帶走的可能性

36、為0.3,不被帶走的概率為 0.7,設每個游客的利潤為 Y1元，則Y1是隨機變量，求出 5000個游客的平土利潤為 5000元， 當收費為10元時，照片被帶走的可能性為 0.3+0.05 X 10=0.8 ,不被帶走的概率為 0.2, 設每個游客的利潤為 Y2,則Y2是隨機變量，求出5000個游客的平均利潤為15000元，由 此能求出該項目每天的平均利潤比調整前多10000元.(2)設降價x元，則0W xv 15,照片被帶走的可能性為0.3+0.05 x,不被帶走的可能性為0.7 -0.05 x,設每個游客的利潤為 Y元，則Y是隨機變量，求出其分布列，從而E(Y) =( 15 x) X ( 0

37、.3+0.05 x) - 5X ( 0.7 - 0.05 x) = 0.0569 (x-7) 2,由此求出當定價為13元時，日平均利潤取最大值為17250元.【解答】解：(1)當收費為20元時，照片被帶走的可能性為0.3 ,不被帶走的概率為0.7 ,設每個游客的利潤為 Y1元，則Y1是隨機變量，其分布列為：Y15- 5P0.30.7E (Y) = 15X 0.3 - 5X 0.7 = 1 (元)，則5000個游客的平土羽潤為 5000元，當收費為10元時，照片被帶走的可能性為0.3+0.05 X 10=0.8 ,不被帶走的概率為 0.2,設每個游客的利潤為 Y2,則Y2是隨機變量，其分布列為：

38、Y>5- 5P0.80.2E (Y>) = 5X0.8 -5X0.2 =3 (元)，則5000個游客的平土!利潤為 5000 X 3= 15000 (元)，該項目每天的平均用J潤比調整前多10000元.(2)設降價x元，則0wxv 15,照片被帶走的可能性為0.3+0.05 x,不被帶走的可能性為 0.7 - 0.05 x,設每個游客的利潤為 Y元，則Y是隨機變量，其分布列為：Y15 -x - 5P0.3+0.05 x 0.7 - 0.05 xE (Y) = ( 15-x) X ( 0.3+0.05 x) - 5X (0.7 - 0.05 x) = 0.0569 - (x-7) 2

39、,當x = 7時，E (Y)有最大值3.45元，當定價為13元時，日平均利潤取最大值為5000X3.45 = 17250元.【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查二項分布等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.18. (12分)在ABC,內角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c,已知 asin B= bsin (A-二).(1)求 A;（2） D是線段BC上的點，若 AD= BD= 2, CD= 3,求ADC勺面積.【分析】（1）由正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得tanA=-6，結合范圍AC （0,兀），可求A的值.(2)設 / B= 0 , GE

40、 (a 馬 3,由題意可得/ BAD= 0 , / ADC= 2 0 , / DACU-。，在 ADO43,由正弦定理，三角函數恒等變換的應用可求sin 0 ="& cos （,可求sin 0 , cos 0 ,利用二倍角的正弦函數公式可求sin2 0 ,進而根據三角5形的面積公式可求 Sa adc的值.【解答】解：（1）由正弦定理可得 asin B= bsin A,則有可得bsin A= b (sin A- 2tan A=一愿，cos A),化簡可得一sin A= -cosA,22因為A （0,兀），所以2H(2)設/ B=。，日 E (0,冬 13由題意可得/ BAD=

41、0 , / ADC= 2 0 , / DAc2J-在 adcKCDADsinzDAC sinZ:ACDsin-e)所以可得 sin 0 =-, cos 0 =14SV714所以 8ad-/m)-CD'sin / ADC=ix 2X 3XSV3|15V314【點評】 本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題.19. （12分）已知橢圓 C：yb2=1 （a>b>0）的離心率為，點A （1, E）在橢圓C2上，直線11過橢圓C的有交點與上頂點，動直線 12： y=kx與橢圓C交于M N兩點，交l

42、l于P點.(1)求橢圓C的方程;(2)已知O為坐標原點，若點 P滿足|OP=_|MN,求此時|MN的長度.4【分析】(1)由離心率及過的點和 a, b, c之間的關系求出橢圓的方程;(2)直線12的方程與橢圓聯立求出點 M的坐標，由|OP=L| MN得P點坐標，P的直線 41i上求出k值，進而求出 MN的值.【解答】 解：(1)由題意得： e=, +-=1, b2= a2 - c2,解得：a2=4, b2 a 2 a2 4b2=3,所以橢圓的方程:=1 ；(2)由題意直線12的方程：y=kx,代入橢圓中整理:(3+4k2) x2=12,令M的坐標(2 , k 12)V3+4k2. | OP=|

43、 MN,由對稱性可知， 4點P為OM勺中點.故P的坐標(去粵區土，Ms；4k2),由 P在直線 11： /3x+y 5/3= 0,所以倔乂岳"+“母!-盯=0,解得：k=0或k=mZ3,故M的坐標為(2, 0),或(§, 電g),355所以 om = 2,或變n,5所以| MN的長度為4或生囪.5【點評】考查直線與橢圓的綜合，屬于中難題.20. (12 分)如圖，三棱錐 P- ABO43,平面 PABL平面 ABC PA= PR / APB= / ACB= 90° , 點E, F分別是棱AR PB的中點，點 G是 BCE勺重心.(1)證明：GF/平面PAC(2)若

44、GF與平面ABC斤成的角為60° ,求二面角 B- AP- C的余弦值.【分析】(1)連結EF,連結EG并延長，交BC于點D,由點D是BC的中點，推導出 DE / AC EF/ AP,從而DEE/平面PAC EF/平面PAC進而平面 EFG/平面PAC由此能證 明GF/平面PAC(2)連結PE,連結。所延長交BE于點Q則O為BE的中點，連結 OF則OF/ PE,以 O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出 二面角B- AP- C的余弦值.【解答】解：(1)證明：連結EF,連結EG并延長，交BC于點D,由點D是BC的中點，.D, E, F分別是

45、棱 CB AB, PB的中點，DE/ AC EF/ AP,. DE EF?平面 PAC AC, AP?平面 PAC.DE/平面 PAC EF/平面 PAC.DE EF?平面 EFG DEH EF= E,平面 EFG/平面 PAC GF?平面 EFG GF/ 平面 PAC(2)解：連結 PE, P/A= PB, E 是 AB 的中點，PEL AB,平面PABL平面 ABC平面PABH平面 ABC= AB, PR平面PAB，PE1平面 ABC連結CG延長交BE于點Q則O為BE的中點，連結 OE則OF/ PE，OFL平面 ABC / FGO! GF與平面 ABO成角，/ FGO= 60°

46、, 在 Rt FGO43,設 GF= 2,則 OG= 1, OF=J,，OC= 3, PE= 2值， .AB= 47/3, CE= 2/l, OE=VS, . OE+OC= CE, . OCL AR以O為原點，OCj x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標系, 則 A (0, 3/3, 0), C (3, 0, 0), P (0,陋),標=(3, 3/3, 0), AP= (0, 2底,2V3),設平面PAC的一個法向量n= (x, y, z),n=(近，T，1)n虹=3工+3立丫=0,Ln 11 AC=2V3y-»-2V3i=0平面PAB勺法向量1r= ( 1, 0, 0)

47、,設二面角B- AP- C的平面角為0 ,面角B- AP- C的余弦值為“正.【點評】 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.21. (12 分)已知函數 f (x) =1+x-2sinx, x>0.(1)求f (x)的最小值；(2)證明：f (x) > e：【分析】(1)求導可知xE 寺)時f (x)單減，直£ (；, TT時f (x)單增,進而求得最小值；(2)即證x>0時，g (x) = ( 1+x-2sinx) e2x> 1,利用導數容易得證.【解答】解：(1)

48、f' (x) =1 2cosx,令f' (x)=0,得皿匕二方，兀故在區間0 ,兀上，f' (x)的唯一零點是K=,當代0,；)時,(x)單調遞減；當在1，n時，(x)>0, f (x)單調遞增，故在區間0 ,兀上，f ( x)的極小值為£"14手飛，當x>兀時，TTf(x) >l-bX-2=nkJf (x)的最小值為fj)=l 十/s(2)要證 x>0 時，f (x) > e 2x,即證 x>0 時，g (x) = ( 1+x 2sin x) e2x> 1,2x2x2xg ( x) =2 (1+x - 2sin x) e + (1 - 2cosx) e = ( 3+2x - 4sin x - 2cosx) e ,令 h (x) = x- sin x, x>0,則 h' (x) = 1 cosx>0,即 h (x)是(0, +8)上的增函數，h (x) > h (0) =0,即 x>sin x,3+2x 4sin x 2co