1、APB面積： AQB面積=PM： QMp共邊定理圖：四種位置關系11如圖， ABC中，D、E分別是ABAC邊上的中點，用面積方法證明：DE/BC且DE=BC.2證明： D E分別是AB AC邊上的中點， ADE：A BDE= ADE：A CDE=1 : 1 BDE= CDE DE/ BC/ DBC=Z ADE 由共角定理得： ADE/ ABC= AD- DE/AB- BC= 1/411/ A» AB DE= BC.22這里，證明平行用到了平行的基本命題，證明線段的比值用到了共角定理.傳統證法中，要用到全等三角形、平行四邊形或相似三角形,同時要作輔助線構成全等、相似、或平行四邊形.例2

2、： （1983年美國中學數學競賽題）如圖的三角形ABC勺面積為10,D E、F分別在邊BC CA A吐，且BD- 2, DC= 3,若厶BCE與四邊形DCEF 的面積相等，則這個面積是（）A.4C.5D.6D 5.10B.解：由厶BC與四邊形DCEF勺面積相等，在四邊形BCE中分別減去這兩個 面積，得 BFD與 BFE同底且面積相等，所以 BF/ DE,可以得到AB為邊E.不確定D的兩個三角形 ABD與 ABE面積相等，因為三角形 ABC勺面積為10,且 BD- 2, DC= 3,所以 ABD勺面積等于4，即 ABET積等于4，所以 BCE 的面積等于10 4= 6，故選C.這是一道由面積相等

3、推知兩線平行的典型題目.例3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.證明：/ OA= OC OB= OD 由共角定理得： AOBA CO= OA- OB= OC-O D=1即厶AOB= COD：共底的兩個三角形 ACB= CBD - AD/ BCD同理可證AB/ CD問：共邊定理怎么證線段相等?答：常常是共邊與共角兩個定理都會用到。利用面積相等，并且面積比中有相等的線A段，消去等量，于是剩下的也是等量之比。例4:（等腰三角形兩腰上的高相等 ）已知：如圖，AB= AC, CEL AB于E, BDL AC于D,求證：BD= CE解：由三角形面積定理得:Saab一 丄 AB CB 1 AO BD2 2

4、/ AB= AC, BD= CE ;本題是直接用等底三角形面積相等推出高相等，相比于全等三角形證法要簡潔得多。例5：如圖，已知 AD平分/ BAC BDLAD DE/ AC DE交AB于F點求證：BE= EC.證明：連接C、F,由平行線性質，得 DFC=A DFA由 AD平分/ BAC DF/ AC 可得/ FAD=Z FDA - AF= FD由 BDL AD 得/ FBD=Z FDB BF= DF; AF= BF DFB= DFA DFC= DFB - BE： EC= DFC：A DFB= 1 : 1,即 BE= EC.本題是用共邊三角形面積相等推出線段相等。例 6：如圖， ABC中，AB=

5、 AC, BD= CE 求證：DF= EF.證明：連接CD BE, v AB= ACDBC與Z BCE互補，由共角三角形定理: DBC BCE= BD- BC： CE- BC/ AB= AC, BD= CE,得厶 DBC= BCE 再由共邊定理得： DBC：A BCE= DF： FE= 1 : 1 DF= EF.本題先用共角三角形定理證得厶 DBC與 BCE面積相等，再由共邊定 理推出線段相等。相比于先作平行線構造全等三角形，再由全等三角形證 線段相等的證法，面積法顯然更巧妙。例7：在等腰直角三角形 ABC的斜邊BC上取一點D ,使DC作BEAD交AC于E ,求證：AE EC .1 BC3證明

6、：連結CF,由DC AFB= 1 : 2,又由 BE1BC ,得圖中兩個陰影三角形的面積之比為3AD ,等腰直角三角形 ABC的條件，得1 : 2, 即: AFC：Z 1 + Z 2=Z 3+Z 2= 90°, / 1 = Z 3,由共角定理得:AF- AC： AB- BF=CDEF1L LBBE的連線交AC于F.解答：構造以BF為公共邊的兩個三角形厶ABF和厶DBF，則由兩個中點的條件，得三個三角形厶ABF和厶DBF、 DCF面積都相等，由圖易得AFFCABf = 1，所以 AF= - AC.CBF 23DCED4AFBEFC，EF解答:構造以BE為公共邊的兩個三角形厶AFABE和

7、厶CBE貝U-ABEFCCBEBDAE 1例2： ABC中，D是BC上的一點， =2，E為AD上一點， 一=-，求由圖易得AFFC AFC：A AFB= 1 : 2 AF： BF= 1 : 2,由厶 AFB 與AEB相似，得 AE： AB= 1 : 2, v AB= AC / AE= EC本題先用CD： DB= 1 : 2得到兩個陰影三角形的面積之比為1 : 2,再由共角三角形定理證得AF: BF= 1 : 2,過程相當簡潔明了。問：共邊定理怎么證比例線段?答：共邊定理最適合用來求同一直線上的兩條線段的比值，或反過來，已知同一直線上的 兩條線段的比值求共邊三角形的面積比。由于共邊定理有四種位置

8、圖形卻對應同一個比值, 所以怎樣選取最合適的兩個三角形就成為正確解題的關鍵。也因為圖形選擇的差異，造成 了不止一種解法。只有通過一定的練習量，才能做到迅速正確地選擇適當的共邊三角形。例1:已知在 ABC中，D為BC的中點，E為AD的中點,1求證：AF= AC.3B構造以AD為公共邊的兩個三角形厶BAD和厶FAD則旦空= BAD .由EF FADAF 1bd=-，設 FAD= 1,則厶 FDC= 6，ADC= 7;由=2，得 BADFC 6DC一 BE BAD 14=14, =.EF FAD 1例3：（三角形角平分線性質定理）如圖，AD平分/ BAC求證：證明：AD平分/ BAC由共角三角形定理

9、： ADB：A ADC= AB - AD： AC- AD= AB： AC又 ADB：A ADC= BD： CDAB： AC= BD： DC.問：全等和相似方法在新概念幾何中應當保留嗎?在新概念幾何中，可以由面積法先推導出正弦定理和余弦定理，再推出全等三角形判定定理和相似三角形判定定理，實際上，新教材中可以完全不用全等和相似方法.但作為 歐式幾何的寶貴遺產，在許多問題中它們有明顯的優勢，為了讓兩種教材更好地兼容，各取所長，減少新幾何推廣的阻力，張景中也是主張保留全等和相似方法的. 例如下面這道題目，三種解法就各有利弊.1在厶ABC內任取一點 P,連接PA PB PC分別交對邊于 X、Y、Z點.求

10、證:空 + PY + PZ = iAX YB ZC證明：這是一道用共邊定理證明的典型好題，在傳統證法難以入手的題中,一個極其簡單的直接應用， 只要用P點與各邊分成的每一個小三角形與C大三角形相比再相加，立即得到結論!空 + PY + PZ _PBC + 上CA + _fAB = 1 AX YB ZC ABC ABC ABCPP例（梅涅勞斯定理）：在 ABC勺兩邊取X、Y,直線XY與BC勺延長線交于Z點.求證：AXBZ .CY=1XBZCYA證明：AXBZCYMXZXBZCYAABXZABXZzMCXZCXZAAXZ=1 .也是Z步!2著名數學大師華羅庚在 1978年全國中學生數學競賽題解前言中

11、，給出了這樣的一道幾何題：如圖，凸四邊形 ABCD的兩邊DA CB延長后交于K,另外兩邊AB DC延長后交于L,對角線DB AC延長后分別與KL交于F、G.BKF KGFL GLKF dbk證明：2L = DBK （以BD為公共邊的兩個三角形的面積比 ）FL DBL= DBK x kbl（乘以同一個三角形 KBL,化為兩組面積的比）KBL DBL=DC x#A （化為兩組線段的比）CL ADdac kac=x C （化為有同一個三角形 DAC的兩組面積的比）LAC DAC= KG （消去公共三角形，化為線段的比 ）LAC GL這道題的的難點在于沒有全等，沒有相似，也沒有給定的比值，按照傳統方法

12、步.驟相當多，也不易理解，所以 20多年沒有人給出簡單巧妙的解在熟悉了共邊定理以后，這一類題真的變簡單了 問：怎樣用面積法證面積題?答：已知比例求面積的題目，傳統證法往往不易找到思路，所以成了難題，往往在中小學 數學競賽中出現其實，這類題使用共邊定理是最好的方法.4:如圖，四邊形 ABCD中, AOD面積=2,A DOC面積=3 COB面積=6,求厶AOB面積.解法1：/ AOD面積： DOC面積=2 : 3 = AO： OO AOB面積： COB面積,/ COB面積=6 AOB面積=4解法2：/ AOD面積： DOC面積=AO： OC=AOB面積 ： COB面積， AOB面積XA DOC面積

13、=厶COB面積XA AOD面積這里得到一個新的定理：四邊形對角線分成的四個三角形中，相對的兩個三角形面積的乘積與另一組相對的兩個三角形面積的乘積相等.用上這個定理，就可以跳過共邊定理直接用最后一步解題了. AOB面積=2X 6-3= 4.D5 （17屆希望杯全國賽初二第二試19題）：BC如圖，等腰 ABC中，AB= AC, P點在的延長線交 AC于E,若S abc = 10,則AE： EC=.解：t S ABE : S DBE = AP : PD= 1 : 2S DBE : S DEC = 1 : 2 : 2， S ABC = 10,S ABE = 2 ； S DEC = 4 ；AE： EC=

14、 S aed : S cEd = 1 ： 4BD i6 ABC中，D點在BC邊上，且，P點在BC邊上的高AD上,DC 3且AP 1PD 2BP 的延長線交 AC于 E,若 S ABC = 18,則 S ABE =, S DEC解:Sdec = 1 : 2 : 3則 S ABE =_3_ , S dec = _6_S ABE : S DBEEDAE： EC=E解答： AE：EB = 1 : 2 AE：AB = AE : CD- 1 : 3,由厶AEFA CDF可得它們的周長比為 1 : 3 ； Saade=!sABD=1 SaabcdABCD= 6 平方厘米 -S aade= 1平方厘米.；AE

15、： EC=_1 : 5_.7如圖： ABC中，E為中點，AD： DC= 2：， EBF面積是15，求 ABC的面積.解：連結CF, T E為中點且厶EBF面積是15;ECF 面積= EBF 面積=15;/ AD : DC= 2 : 1 . AFB 面積： FCB 面積=2 : 1. AFB面積=60 , E為中點 ACF面積= AFB面積=60 ABC 的面積=15+15+60+60= 150.& 如圖所示，已知在平行四邊形ABCD中, AE： EB = 1 : 2.(1 )求厶AEF與厶CDF的周長比；(2)如果Sabcd= 6平方厘米，求 SaadeDC例11:如圖所示，BD, C

16、F將長方形ABCD分成 4塊， DEF的面積是4cmi , CED的面積是 6cmf.問：四邊形 ABEF的面積是多少平方厘米？解：連結BF,則ABDF面積= CDF面積=10, BEF面積=6;設面積為X,則有: 4x= 6X 6, x = 9;A BDC面積=15,長方形 ABCD面積=30 四邊形 ABEF的面積是 15- 4= 11平方厘米 9如圖，FB AD EC互相平行， ABC的面積為1 ,求厶FDE的面積。 解：由 AD/ EC,得厶 ADC= ADE 同理AA BD-A FD,DC得厶 ADEFA AFD-A ABC= 1又由 FB/ EC 得厶 ECB=A ECFABOA

17、CE=A EF+A CE即厶 ABC=A EF= 1 FDE=A EF+AAD+AAFD= 210如圖，已知三角形 ABC面積為1,延長AB至D,使BD= AB,延長BC 至E，使CE= 2BC,延長CA至F，使AF= 3AC,求三角形 DEF的面積。解：連結 BD EC,由已知條件可得， DA B= 1 , ADBE= 2,A CBE= 2, FCE= 6,A FCD= 6, DEF= 1+ 1 + 2 + 2+ 6 + 6= 18這題也是面積法最基本的題型 FCBDC圖1E11在 ABC的三邊BC CA AB上分別取點 D E、F,使BD= 3DC, CE= 3AE, AF= 3FB,連AD BE、CF相交得三角形 PQR已知三角形 ABC的面 積為13cm2，求三角形PQR的面積.解：由圖 1 得： PQ=A ABC- ( ABPA BCQ- CAR；觀察圖 2，連結 PC,由 CE= 3AE,得厶 APE：A CPE= 1 : 3，又由 BD= 3DC 得厶 APB：A APC =3 : 1設厶 APE= 1,則厶 CPE= 3, APB= 12 , ABE= 13;由 CE= 3AE,得厶 ABE：A ABC= 1 :4, AB