1、中國礦業大學信息與電氣工程學院中國礦業大學信息與電氣工程學院LTIe(t)r(t) j 第三章第三章 連續信號連續信號的正交分解的正交分解2目目 錄錄3.4 周期信號的頻譜周期信號的頻譜3.6 常用非周期信號的頻譜常用非周期信號的頻譜3.5 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜3.7 傅立葉變換的性質傅立葉變換的性質3.8 周期信號的傅立葉變換周期信號的傅立葉變換3.1 引言引言3.2 信號表示為正交函數集信號表示為正交函數集3.3 信號表示為傅立葉級數信號表示為傅立葉級數33.1 引言引言1. 1.信號分析任務：信號分析任務：利用不同方式描述或提取信號特征利用不同方式描述或提取信號特征2.2.本

2、章內容：本章內容：信號表示為正交函數集信號表示為正交函數集周期信號的傅立葉基數及其頻譜周期信號的傅立葉基數及其頻譜非周期信號的傅立葉變換及其頻譜非周期信號的傅立葉變換及其頻譜調制信號的頻譜調制信號的頻譜采用信號分解的手段完成信號在頻域中的分析采用信號分解的手段完成信號在頻域中的分析43.2 信號表示為正交函數集信號表示為正交函數集一、完備正交函數集一、完備正交函數集1 1、正交函數集、正交函數集正交函數正交函數 定義在區間定義在區間 內的兩個函數內的兩個函數 和和 ，若兩函數的乘積在區間若兩函數的乘積在區間 內的積分為內的積分為 ，則，則稱該二函數在該區間內正交。即若稱該二函數在該區間內正交。

3、即若:),(21tt)(1tg)(2tg),(21tt0210)()(21ttdttgtg則稱函數則稱函數 和和 在區間內在區間內 正交正交)(1tg)(2tg),(21tt5正交函數集正交函數集 如果有如果有n個正交函數構成一個函數集：個正交函數構成一個函數集：當這些函數在區間當這些函數在區間 內滿足如下關系：內滿足如下關系：則稱此函數集在區間則稱此函數集在區間 內正交，該函數集內正交，該函數集稱為正交函數集稱為正交函數集 )(,),(),(tgtgtgn21 mlmlkdttgtgmttml021)()(),(21tt),(21tt6 如果在正交函數集如果在正交函數集 之外，之外，不存在函

4、數不存在函數 使之能滿足：使之能滿足： 則此函數集稱為完備正交函數集。則此函數集稱為完備正交函數集。 也即：如果能找到一個函數也即：如果能找到一個函數 ，使上式滿足，使上式滿足，也就是也就是 與函數集與函數集 的每個函數都正交，則的每個函數都正交，則它本身應屬于此函數集，如果不包括它本身應屬于此函數集，如果不包括 ，則此，則此函數集不完全（備）函數集不完全（備） )(,),(),(tgtgtgn21)(txnrdttgtxttr,)()(21021 )(tx)(tx)(tx )(tgi2 2、完備完備正交函數集正交函數集73 3、常見完備正交集常見完備正交集三角函數集三角函數集 ,sin,si

5、n,sin,cos,cos,cos,tntttmtt221在區間在區間 內組成正交函數集，而且是完備的內組成正交函數集，而且是完備的),(21tt證明證明 tjne,210 n是一正交函數集是一正交函數集復指數函數集復指數函數集證明證明8證明如下：證明如下：TttTnmTnmnmtdtntm11000coscos2TttTttnmtnmnmtnmdttnmtnm1111)()sin()()sin(21)cos()cos(21TttTnmnmtdtntm1100sinsin2Ttttdtntm110cossin滿足正交特滿足正交特性，因此是性，因此是正交函數集正交函數集因為找不到因為找不到 ，所

6、以也是完備的。，所以也是完備的。)(tx9注意：注意：是正交集但不完備是正交集但不完備,sin,2sin,sintntt,cos,2cos,cos, 1tmtt是正交集但不完備是正交集但不完備返回返回 TttTtttnmjTtttjntjmdttnmjtnmdtenmTnmdtee1111110)sin()cos()()(證明：證明：10二、信號分解為正交函數集二、信號分解為正交函數集1 1、矢量分解矢量分解平面矢量平面矢量A的分解的分解yxvcvcA21 分別表示相互垂直方向分別表示相互垂直方向上的單位矢量上的單位矢量它們組成平面中的完備正交矢它們組成平面中的完備正交矢量集量集 yxvv ,

7、 yxvv ,1c2cAxy11空間空間A矢量的分解矢量的分解zyxvcvcvcA321 zyxvvv,是三維空間中的完備矢量正交集是三維空間中的完備矢量正交集1c2c3cAxyz122 2、函數的分解函數的分解任意函數任意函數 用正交函數集用正交函數集 表示：表示：)(tf )(tgrnrrrnntgctgctgctgctftf122111)()()()()()(采用均方誤差最小來選擇采用均方誤差最小來選擇 使使 與與 最接近即最接近即:rc)(1tf)(tf2121122)()(1ttnrrrdttgctftt為最小為最小13多元函數求極值法：多元函數求極值法：02 rc nr,21 21

8、2121)()(1)()()(2ttrrttrttrrdttgtfkdttgdttgtfc證明過程證明過程證明跳過證明跳過14210)()(212ttnjjjrrdttgctfcc2112212)()()(2)()()(njjjnjjjnjjjtgctgctftftgctf證明證明過程過程0)(2)()(22122ttrrrrdttgctgtfc2121)()()(2ttrttrrdttgdttgtfc153.3 信號表示為傅立葉級數信號表示為傅立葉級數3 , 2 , 1;2 , 1 , 0sin,cosnmtntm2, 1, 0netjn 同一信號可用不同完備正交函數集表示同一信號可用不同完

9、備正交函數集表示 同一完備正交函數集可表示不同的信號同一完備正交函數集可表示不同的信號常見的完備正交函數集常見的完備正交函數集三角函數集三角函數集復指數函數集復指數函數集16一、周期信號表示為三角傅立葉級數一、周期信號表示為三角傅立葉級數1 1、表示及系數表示及系數任意一個周期為任意一個周期為T的函數的函數都可以在區間都可以在區間 內內 表示為三角傅立葉級數：表示為三角傅立葉級數：Ttt11, tbtbtataatf22221210sinsincoscos)( 102nnntnbtnaa)sincos(17系數系數 按前節所述方法確定：按前節所述方法確定：nnba , 1rrrtgctf)()

10、( TttrTttrrdttgdttgtfc11112)()()( TttTttTttntdtntfTtdtntdtntfb11111122sin)(sinsin)(321 , n TttTttTttntdtntfTtdtntdtntfa11111122cos)(coscos)(210 , n即：即：當當 時時 信號平均分量信號平均分量0n TtttfdttfTa11220)()(18 102nnntnbtnaatf)sincos()( 10)cos(2nnntnAa 三角級數的另一種表示三角級數的另一種表示其中：其中：22nnnbaA nnnabarctg nAnanbn 19)cos(si

11、ncosnnnntnAtnbtnan次諧波分量次諧波分量)cos(sincos1111tAtbta基波分量基波分量20a直流分量直流分量 n- n次諧波角頻率次諧波角頻率nA- n次諧波的振幅次諧波的振幅n - n次諧波的初相位次諧波的初相位T 2 -基波角頻率基波角頻率2 2、解釋解釋203 3、信號展成傅立葉級數的條件信號展成傅立葉級數的條件狄利赫萊條件狄利赫萊條件一周期內函數絕對可積：一周期內函數絕對可積： TttMdttf11)(一周期內極值數為有限，不能有無限次震蕩一周期內極值數為有限，不能有無限次震蕩一周期內為連續，或有有限個間斷點一周期內為連續，或有有限個間斷點實際信號一般都能滿

12、足狄氏條件，實際信號一般都能滿足狄氏條件，以后不專門討論條件問題，除非有必要以后不專門討論條件問題，除非有必要21 11)(tfTttTT 220在區間（在區間（0，T）上展開成三角付氏級數：上展開成三角付氏級數： 102nnntnbtnaatf)sincos()(TT2例：把如圖所示周期方波信例：把如圖所示周期方波信號用三角傅立葉級數表示號用三角傅立葉級數表示22 TTTTdtTdtTdttfTa00022012122)()( TTnTTtdtnTtdtnTtntfTa00220222coscoscos)( TTnnTTtdtnTtdtnTtdtntfTb004220222 sinsinsi

13、n)(evenodd 5,3, 1sin145sin543sin34sin4)(ntnnttttf 取有限取有限n項近似表示項近似表示: nkkkntkbtkaatftf102)sincos()()(誤差為：誤差為： nkkknntkbtkaatftftf102)sincos()()()( 23TT2TT2TT2ttf sin4)(1 1項項 5 , 3, 15sin14)(ntnntf 3項項 193, 119sin14)(ntnntf 10項項取前面若干項的近似結果取前面若干項的近似結果24二、函數的奇偶性與傅立葉系數二、函數的奇偶性與傅立葉系數)()()()(tftftftf tntns

14、incos偶偶*偶偶=偶偶奇奇*奇奇=偶偶偶偶*奇奇=奇奇偶函數：偶函數：奇函數：奇函數：偶函數偶函數奇函數奇函數1 1、 為偶函數為偶函數) (tftdttfTtdtntfTaTTTncos)(cos)( 2220420sin)(222 TTtdttfTbn 三角函數展開式中只含有三角函數展開式中只含有余弦項余弦項252 2、 為奇函數為奇函數) (tftdtntfTtdtntfTbTTTnsin)(sin)( 2220420222 tdtntfTaTTncos)(三角函數展開式中只含有三角函數展開式中只含有正弦項正弦項26三、周期信號表示為指數傅立葉級數三、周期信號表示為指數傅立葉級數函數

15、集函數集tjne3 , 2 , 1n是一個完備正交函數集是一個完備正交函數集一個周期為一個周期為T的函數的函數 可以用此函數集表示為：可以用此函數集表示為：)(tfntjnnectf)(其中系數為：其中系數為：TttnnTttnndttgtgdttgtfc1111)()()()(TtttjntjnTtttjndteedtetf1111)(TtttjndtetfT11)(127四、三角級數與指數級數的關系四、三角級數與指數級數的關系2jxjxeex cos 102nnntnAatf)cos()( 10212ntnjntnjnnneAeAa)()( 121ntnjnneA)( ntjnneA21

16、ntjnnec Acn21 TtttjnndtetfTA112)(njnneAA 283.4 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 102nnntnAatf)cos()( 10212ntnjntnjnnneAeAa)()( 121ntnjnneA)( ntjnneA21 ntjnnec周期為周期為T的信號展開為傅立葉級數的信號展開為傅立葉級數參數間的關系參數間的關系n次諧波的復振幅次諧波的復振幅n次次諧波的振幅諧波的振幅njnneAAnnAc2122nnnbaAnnnabarctgn次諧波的初相位次諧波的初相位29參數求解公式參數求解公式TttntdtntfTb11sin)(2TttntdtntfTa

17、11cos)(2TtttjnndtetfTA11)(2TtttjnndtetfTc11)(130一、信號的頻譜一、信號的頻譜表示表示 之間關系的圖形。之間關系的圖形。 nA 1 1、頻譜頻譜njnneAA nA振幅頻譜（幅頻特性）振幅頻譜（幅頻特性）n相位頻譜（相頻特性）相位頻譜（相頻特性）31例例t)(tf0T11)7sin715sin513sin31(sin4)( tttttf )2cos(4sin145, 3, 15, 3, 1 nntnntnn 32 nA0 3 5 7 9 nbaAnnn422 幅頻特性幅頻特性2 n相頻特性相頻特性n 例例t)(tf0T11)2cos(4)(5 ,

18、3 , 1ntnntf33離散性離散性譜線由不連續的線條組成，每一條代表一正弦分量譜線由不連續的線條組成，每一條代表一正弦分量諧波性諧波性譜線只存在于基波及各次諧波頻率上譜線只存在于基波及各次諧波頻率上收斂性收斂性隨著頻率隨著頻率 的增加，振幅的增加，振幅 將逐漸減少將逐漸減少nA2 2、頻譜特性頻譜特性34（本例具有典型（本例具有典型性和代表性）性和代表性）)(tftTT 2 2 11、指數傅立葉系數、指數傅立葉系數 222TTtjnndtetfTA)( 222 dteTtjn 222 jnjneeTjn)2sin(4 nTn TnTnT )sin(2 ,210 n二、周期矩形脈沖的頻譜分析

19、二、周期矩形脈沖的頻譜分析352、抽樣函數、抽樣函數xxxSasin)( 2x0)( xSa0 x1 )(xSa mx 0 )(xSa36)2(2)(2)sin(2nSaTTnSaTTnTnTAn3、頻譜圖、頻譜圖 n )2(2 SaT0 nA零值點零值點2 nmTn 2mn , 321 m幅頻特性幅頻特性)2(2 nSaTAn 相頻特性相頻特性 2)22(2)12( mm 02 n 2)12(2)2( mm37周期矩形脈沖的頻譜圖周期矩形脈沖的頻譜圖)2(2 SaT)2(2 SaT)2(2 nSaTAn 2T 2 525 T38變變不變，不變，T )1( 2T 2 nA525 T T 2 2

20、 nA550 T與頻譜圖與頻譜圖、 T 4零值點處頻率零值點處頻率為定值，譜線間隔為定值，譜線間隔 隨著隨著T增大增大而變小，譜線變密。而變小，譜線變密。T 2 239隨著隨著T增大，譜線變密增大，譜線變密40變變不變，不變， T)2( 2T 2 nA525 T 2T 2 nA5 . 225 T譜線間隔譜線間隔 為為定值，零值點處頻定值，零值點處頻率率 隨著隨著 變小變小而增大，振幅收斂而增大，振幅收斂速度變慢。速度變慢。T 2 2 41隨著隨著變小，譜線收斂速度變慢變小，譜線收斂速度變慢42三、頻帶寬度三、頻帶寬度BBf 2 頻帶寬度：零頻到需要考慮頻帶寬度：零頻到需要考慮的最高頻率間范圍的

21、最高頻率間范圍對于一般頻譜，常以從零頻率開始到頻譜振幅降對于一般頻譜，常以從零頻率開始到頻譜振幅降為包絡線最大值的為包絡線最大值的1/10的頻率之間的頻寬定義為的頻率之間的頻寬定義為信號的頻帶寬度，簡稱信號的頻帶寬度，簡稱帶寬帶寬B nA0A100A 2 B 1 Bf對于對于 ：是指零頻到第一個零值點頻率間隔：是指零頻到第一個零值點頻率間隔)(xSa43 2 B441.脈寬與帶寬脈寬與帶寬 B 脈寬帶寬脈寬帶寬 B 2 B結論：脈寬與帶寬成反比結論：脈寬與帶寬成反比2.信號變化快慢與帶寬信號變化快慢與帶寬四、信號的時頻關系四、信號的時頻關系45五、帕色伐爾定理五、帕色伐爾定理若信號若信號f(t

22、)看作電流看作電流i(t)，則其在則其在1電阻上消耗的平均功率：電阻上消耗的平均功率： 222)(1TTdttfTP nnC22120)2()2( nnAa 102nnntnAatf)cos()( )cos(nntnA n次諧波分量次諧波分量平均功率平均功率2)2(nA平均功率平均功率20)2(a直流分量直流分量20a周期信號的功率周期信號的功率等于等于 該信號在該信號在完備正交函數集中完備正交函數集中各分量功率之和各分量功率之和463.5 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜一、非周期信號一、非周期信號1 1、定義定義2 2、頻譜特點頻譜特點（非周期信號（非周期信號變換）變換）重復周期重復周期T

23、為無窮大時的信號稱為非周期信號。為無窮大時的信號稱為非周期信號。 T，譜線間隔：譜線間隔： 頻譜將從離散譜變為連續譜；頻譜將從離散譜變為連續譜； dT 2 T，譜線幅值趨于無窮小，譜線幅值趨于無窮小，但各頻率分量的能量仍按一定的比例分布。但各頻率分量的能量仍按一定的比例分布。TAn1 47二、二、 頻譜密度函數頻譜密度函數1 1、定義定義 22)(2TTtjnndtetfTA TAjFnT2lim)( 22)(limTTtjnTdtetf 連續譜連續譜離散譜離散譜譜線連續譜線連續譜線間隔趨于極小，譜線間隔趨于極小，時：時：當當 ndTT2 dtetfjFtj )()(付里葉正變換付里葉正變換4

24、82 2、意義意義 nTTnTATAjFlim2lim)(2由由定定義義：單位頻率的振幅值（頻譜值），有密度之意單位頻率的振幅值（頻譜值），有密度之意因此，因此，F(j)稱為原函數稱為原函數f(t)的的“頻譜密度函數頻譜密度函數”，簡稱簡稱“頻譜函數頻譜函數”。： nA493 3、表示表示相位頻譜相位頻譜振幅頻譜振幅頻譜)()()()()()()( FeFejFjFjj dtetfjFtj )()(dtttfjdtttf sin)(cos)()()( jXR 的偶函數的偶函數是是 )()( RR的奇函數的奇函數是是 )()( XX的的偶偶函函數數為為 )()()(22XRF 的的奇奇函函數數為

25、為 )()()(RXarctg50三、付里葉積分表示式三、付里葉積分表示式1 1、付里葉積分表示付里葉積分表示 ntjntjnTTntjnnedtetfTeAtf )(22121)(22 dTndT22 ：tjtjdedtetftf )(221)(2 dedtetftjtj )(21 dejFtftj )(21)(付里葉積分表示付里葉積分表示付里葉反變換付里葉反變換51nAdjF )( 付里葉積分與付里葉級數表示的對應關系付里葉積分與付里葉級數表示的對應關系 dejFtfdtetfjFtjtj)(21)()()(付里葉反變換付里葉反變換付里葉正變換付里葉正變換記為：記為：)()( jFtf52 dejFtftj )(21)( deeFtjj)()(21 deFtj)()(21 dtFjdtF)sin()(21)cos()(21 0)cos()(1 dtF與三角付與三角付里葉級數里葉級數比較：比較： 102nnntnAatf)cos()( 2 2、傅里葉變換的三角函數形式傅里葉變換的三角函數形式nAdjF )( 53非周期信號也和周期信號一樣，非周期信號也和周期信號一樣，可以分解為許多不