1、兒何的教育價(jià)值及地位如果說，數(shù)學(xué)是各國(guó)中小學(xué)課程中最為統(tǒng)一的一門學(xué)科的話，那么，兒何就 是其中最不統(tǒng)一的一部分，其原因就在于兒何的多樣性。兒何的多樣性首先反映 在它的特征上，其中包括作為空間科學(xué)的兒何;作為概念和過程的直觀表示的兒何; 作為數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)模型源泉的結(jié)合點(diǎn)的兒何;作為思維和理解的一種途徑的兒 何;作為演繹推理教學(xué)范例的兒何;作為應(yīng)用的工具的兒何等。其次反映在它的活動(dòng)方式上。兒何活動(dòng)一般涉及三種認(rèn)知過程:視覺、構(gòu) 造、推理，每一種過程通常乂涉及多個(gè)方面，如從視覺上看，有維度上的不同,結(jié)構(gòu)上 的差異，背景上的區(qū)分，位置上的變化;從構(gòu)造上看，有實(shí)驗(yàn)性的操作，直觀的構(gòu)造，概 念的形成,理

2、論的構(gòu)建;從推理上看，包括直覺的推理，歸納的推理，非嚴(yán)格的自然推 理，嚴(yán)密的演繹推理。正因?yàn)槿绱耍瑑汉渭瓤梢宰鳛椴煌降膭?chuàng)造活動(dòng)的源泉， 也可以成為訓(xùn)練各種推理能力的場(chǎng)所;既可以作為日常生活中所必需的基礎(chǔ)知識(shí), 也可以成為解決各種問題的工具。此外還反映在課程處理的途徑上。從認(rèn)知過程看，有操作的、直覺的、演繹 的或者分析的兒何;從課程結(jié)構(gòu)上看，有靜止的與動(dòng)態(tài)的兒何;從課程形式上看，乂 可以分為實(shí)驗(yàn)兒何、歐氏兒何、仿射兒何、解析兒何、拓?fù)鋬汉巍⒎菤W兒何等。兒何的多樣性帶來了兒何眾多的教育價(jià)值。從各國(guó)的研究情況看，兒何的教 育價(jià)值主要表現(xiàn)在以下兒個(gè)方面。1兒何有利于形成科學(xué)世界觀和理性精神現(xiàn)代社會(huì)

3、的一個(gè)顯著特征是，科學(xué)已經(jīng)成為社會(huì)的一個(gè)直接的生產(chǎn)力。因此, 學(xué)校教育的一個(gè)重要方面是讓學(xué)生熟悉如何構(gòu)造科學(xué)理論的一個(gè)具體實(shí)例，熟悉 科學(xué)的方法。在這點(diǎn)上，作為世界文明史上的一個(gè)科學(xué)系統(tǒng),兒何是極好的模型， 因?yàn)閮汉螐暮?jiǎn)單而清楚的基礎(chǔ)出發(fā)，運(yùn)用推理的方法（以若干明顯的步驟）,有順序 地導(dǎo)出一系列重要的推斷,這些推斷不僅有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，而且使人在這變幻 莫測(cè)的世界上體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的確定性。正如愛因斯坦所說：“世界笫一次LI睹了一 個(gè)邏輯體系的奇跡。這個(gè)邏輯體系如此精密地一步一步推進(jìn)，以致它的每一個(gè)命 題都是絕對(duì)不容置疑的一一我這里說的是歐兒里德兒何。推理的這種可贊嘆的勝 利，使人類的理智獲得了取

4、得以后成就所必需的信心。”因此,學(xué)校中的兒何教學(xué)有 助于學(xué)生科學(xué)世界觀的形成。俄羅斯（包括東歐的一些國(guó)家）的兒何課程就比較重 視這一點(diǎn)。相比之下，西方所追求的理性精神則具有更為廣泛的意義，它不僅包括方法論 的成分（如科學(xué)的世界觀），也包括情感方面的因素（如科學(xué)的態(tài)度）。但即便如此, 兒何也仍然是一個(gè)很好素材。而且，這種意義上的拓廣也有利于擺脫歐氏邏輯體 系和演繹推理（特別是傳統(tǒng)三段論）的框框。2兒何有助于培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣波利亞說過，數(shù)學(xué)教育的意義并不是要教會(huì)學(xué)生去使用數(shù)學(xué)知識(shí)，而是要培養(yǎng) 學(xué)生的思維習(xí)慣,一種數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)。從這層意義上講，兒何是一種有效的訓(xùn)練手 段。兒何材料具有深刻的邏輯結(jié)構(gòu)

5、、豐富的直觀背景和鮮明的認(rèn)知層次。通過兒 何的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生學(xué)會(huì)利用不同途徑去解決問題，對(duì)兒何結(jié)果形成合理的猜想, 對(duì)數(shù)量結(jié)論進(jìn)行快速的佔(zhàn)訃，為解決具體問題提供直觀的模型，進(jìn)而養(yǎng)成推理嚴(yán) 謹(jǐn)、言必有據(jù)和條理化的思維習(xí)慣。3兒何有助于發(fā)展演繹推理和邏輯思維能力這一點(diǎn)，在歐氏兒何兩千多年的歷史中已經(jīng)得到了充分的肯定。正如英國(guó)學(xué) 者費(fèi)克爾（D. S. Fielker）所說：“歐兒里德的那些定理之所以重要，不是因?yàn)樗怯?用的，能夠應(yīng)用的或它們本身的價(jià)值，而是因?yàn)樗麄兪茄堇[推理系統(tǒng)的自然發(fā)展的 一部分。”當(dāng)然,對(duì)于歐氏兒何在發(fā)展演繹推理和邏輯思維能力中的作用，我們還是 應(yīng)該辨證地看待。首先，兒何在培養(yǎng)

6、邏輯思維和演繹推理能力方面仍有著重要的作用，這是毫無 疑問的。因?yàn)閮汉我髮?duì)思維進(jìn)行系統(tǒng)的、較為嚴(yán)格的訓(xùn)練，這有利于對(duì)演繹推 理有較深入的理解。當(dāng)學(xué)生掌握了定義的作用并且學(xué)習(xí)只運(yùn)用這些定義而不運(yùn)用 他的直覺知識(shí)時(shí)（這些知識(shí)常常凌駕于具有定義所呈現(xiàn)的性質(zhì)的對(duì)象上），當(dāng)他不 得不謹(jǐn)慎地區(qū)分直覺的途徑、直覺的真實(shí)性和證據(jù)與推理的方法時(shí)，他就開始理 解什么是論證。正是在兒何中（而不是在代數(shù)中）產(chǎn)生的這種直覺和形式化的十分 特殊的聯(lián)系，使得兒何仍然成為啟發(fā)邏輯思維和培養(yǎng)演繹推理能力的最有效的途 徑。也正是因?yàn)檫@個(gè)緣故,兒何不能被當(dāng)作一個(gè)完全成熟的精確模型，而應(yīng)該作為 一種訓(xùn)練匸具，使學(xué)生通過訓(xùn)練掌握邏輯

7、思維和演繹推理的基本方法:如發(fā)現(xiàn)解決 問題的“好”的策略;從特殊情形探索出一般結(jié)果;尋找命題的不同證明;逐步地形 成理論等等。其次，在初級(jí)階段，兒何作為一種訓(xùn)練邏輯思維與演繹推理的工具，有它的長(zhǎng) 處,它的內(nèi)容的直觀性、難度的層次性、真假的實(shí)驗(yàn)性以及推理過程的可預(yù)見性, 使它成為訓(xùn)練邏輯思維與演繹推理的理想材料。但是，從本質(zhì)上來說，邏輯思維與 演繹推理不能依賴于直觀和直覺，因此，要使學(xué)生的邏輯思維水平達(dá)到較高層次, 純符號(hào)推理的代數(shù)證明應(yīng)該引起足夠的重視。此外,歐氏綜合兒何也不能被認(rèn)為是中學(xué)中演繹方法的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)暮瓦壿嫷奈┮?模型。已有一些學(xué)者提出用邏輯學(xué)或數(shù)學(xué)的其他材料（如組合數(shù)學(xué)等）來代替兒何

8、的教育功能，但I(xiàn)CMI的研究表明，到口前為止,還缺乏令人信服的證據(jù)和成功的實(shí) 驗(yàn)。而相比之下，兒何材料則經(jīng)歷了上千年的千錘百煉。4. 兒何是一種理解、描述和聯(lián)系現(xiàn)實(shí)空間的工具按照ICMI的觀點(diǎn)，“兒何作為一種理解、描述和聯(lián)系現(xiàn)實(shí)空間的工具，也許 是數(shù)學(xué)中最直觀、具體和真實(shí)的部分”。當(dāng)數(shù)學(xué)的其他分支經(jīng)過多次的現(xiàn)代處理 而漸漸遠(yuǎn)離其生活源泉的時(shí)候兒何（特別是歐氏綜合兒何）仍保持著與現(xiàn)實(shí)空間 的直接的豐富的聯(lián)系。事實(shí)上，初等歐氏兒何本身就是對(duì)現(xiàn)實(shí)空間質(zhì)樸地加以數(shù) 學(xué)化和直接應(yīng)用的結(jié)果。兒何中兒乎所有概念都是在對(duì)物理空間的具體概念進(jìn)行 組織的過程中發(fā)展起來的。這種局部組織對(duì)人類的日常活動(dòng)仍有重要的意義

9、。學(xué) 生在他的一生中將面對(duì)具體的對(duì)象、具體的關(guān)系、具體的變換，它們可以分別形 象地表現(xiàn)為兒何的對(duì)象、兒何的關(guān)系、兒何的變換。通過這種生動(dòng)的類比，學(xué)生 能夠建立實(shí)際情況的兒何模型，從而用概括化的數(shù)學(xué)方法去解決問題。5. 兒何能為各種水平的創(chuàng)造活動(dòng)提供豐富的素材首先，兒何能夠?yàn)閷W(xué)生的個(gè)體活動(dòng)提供豐富多采的問題和練習(xí)。可以說，沒有 哪一門學(xué)科的練習(xí)題能像兒何習(xí)題這樣，從教育性和科學(xué)性兩方面都經(jīng)過了千錘 口煉,從而形成了許多突出的優(yōu)點(diǎn)，如兒何題的綜合性便于學(xué)生在研究時(shí)能夠借助 于觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、直覺和推理等多種手段;兒何題的層次性使得不同能力水 平的學(xué)生都能從中得到益處;兒何題的啟發(fā)性可以使學(xué)生建立

10、廣泛的聯(lián)系,并把兒 何應(yīng)用于更多的領(lǐng)域;而兒何題的系統(tǒng)化則有利于學(xué)生長(zhǎng)期地有計(jì)劃地進(jìn)行訓(xùn) 練。其次，兒何活動(dòng)常常包含創(chuàng)造活動(dòng)的各個(gè)方面，從構(gòu)造猜想、表述假設(shè)、提供 證明、發(fā)現(xiàn)特例和反例，到最后形成理論，這些過程在各種水平的兒何活動(dòng)中都可 以被發(fā)現(xiàn)。許多數(shù)學(xué)家都認(rèn)為，雖然古典兒何作為一門學(xué)科來說已經(jīng)死亡,但各種 水平的兒何活動(dòng)仍然是創(chuàng)造力的取之不盡的源泉。此外，創(chuàng)造活動(dòng)的一個(gè)重要因素就是直覺。一方面兒何直覺在數(shù)學(xué)活動(dòng)中常 常起著關(guān)鍵的作用，代數(shù)的分析中出現(xiàn)的眾多的兒何術(shù)語表明:在某種意義上，兒 何的直覺已經(jīng)滲透到一切數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，棋至在那些看來兒何是無所作為的領(lǐng)域內(nèi), 兒何直覺仍然保持有強(qiáng)盛的生命

11、力，其原因就在于兒何直覺所能啟示的東西是重 要的，可接近的和有趣的，并且可以警告我們不致在問題、思想和方法的廣闊沙漠 中迷失方向。另一方面，隨著計(jì)算機(jī)的普及，兒何語言（如圖形、表格、圖像等）已 經(jīng)成為日常生活中一種重要工具，從而也為兒何直覺在其他領(lǐng)域的廣泛遷移提供 了條件。正因?yàn)槿绱耍ベ嚨撬栒J(rèn)為：“把這種從學(xué)主在物理空間的具體活動(dòng)通 過抽象、繪圖、作出模型的有限步驟達(dá)到兒何直覺的最高階段的道路清楚地描繪 出來是有巨大的教育學(xué)方面的好處的。可以肯定的是:道路是存在的，并且兒何教 學(xué)的U標(biāo)之一應(yīng)該是按照使之成為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一種有效工具的道路,延長(zhǎng)或 改造原始的空間直覺”。6. 兒何可以作為各種抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的模型過去100年的數(shù)學(xué)史表明,今天的兒何既是線性代數(shù)的源泉也是其應(yīng)用的領(lǐng) 域。不僅如此,許多重要的數(shù)學(xué)理論（如希爾伯特空間，拓?fù)鋵W(xué),測(cè)度論，群論，格論, 微分兒何和代數(shù)兒何等）都可以通過兒何的途徑以自然的方式組織起來，或者從兒 何模型中抽象出來。這些理論中的每一種都有它本身的兒何面貌,盡管它們中沒 有一種在兒何面貌中是完善